用銳角三角函數(shù)解決問題之三大題型（解析版）

專題04用銳角三角函數(shù)解決問題之三大題型

題型導(dǎo)向

目錄

【題型一仰角俯角問題】...................................................................1

【題型二坡度坡比問題】...................................................................8

【題型二實(shí)物抽象出幾何圖形問題】.......................................................14

典型例

【題型一仰角俯角問題】

例題：（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）為了預(yù)防近視，要求學(xué)生寫字姿勢應(yīng)保持"一尺、一拳、一寸"，即眼睛

與書本距離約為一尺（約33cm）,胸前與課桌距離約為一拳，握筆的手指與筆尖距離約為一寸.如圖，

8。為桌面，某同學(xué)眼睛尸看作業(yè)本A的俯角為50。,BC為身體離書桌距離3C=9cm,眼睛到桌面的距離

PC=20cm.

⑴通過計(jì)算，請判斷這位同學(xué)的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合要求；

⑵為確保符合要求，需將作業(yè)本沿54方向移動.當(dāng)眼睛尸看作業(yè)本A的俯角為37。時，求作業(yè)本移動的距

離.（sin50。=0.77,cos50。=0.64,tan50。=1.19,sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,結(jié)果精確到

0.1）

【答案】⑴不符合要求

⑵作業(yè)本移動的距離約為9.9cm

【分析】(1)依題意，ZPAC=ZQPA=50°,在Rt.ACP中，求得AP的長，比較大小，即可求解.

(2)依題意，移動后，NR4c=37。，在Rt.ACP中，求得AC的長，與在(1)中求得AC,求差即可求

解.

EAP=--------?-------?26.0cm,AC=--------------?——?16.8cm

sin50°0.77tanAPAC1.19

026<33

回這位同學(xué)的眼睛與作業(yè)本的距離不符合要求；

(2)依題意，移動后，ZR4C=37°,

PC

在Rt-ACP中，tanNPAC=—

AC

PC20

團(tuán)AC=-------------x——比26.7

tanZPAC0.75

團(tuán)26.7—16.8=9.9cm

答：作業(yè)本移動的距離約為9.9cm

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江?一模)如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的幾位同學(xué)在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為

60°,沿山坡向上走到尸處再測得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為45。.測得BC=60m,AP與BC的延長線交于點(diǎn)

D,同學(xué)們用測傾器測得山坡的坡度為J(BPtanZPCD=1).

22

⑴求該建筑物的高度A3的長.

⑵求山坡上點(diǎn)尸處的鉛直高度（測傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號的形式）.

【答案】（1）60鬲

(2)(20G-20)m

【分析】（1）直接利用正切函數(shù)的定義列式求值即可；

（2）過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作尸于點(diǎn)M.設(shè)尸H=x,利用三角函數(shù)關(guān)系設(shè)法用x表示

AM和尸Af,再利用AM=PM列方程求解即可.

【詳解】（1）解：在中，

3c=60,ZACB=60°,

tan60°=^^,

BC

即

?，-AB=604.

答：該建筑物的高度AB的長為60Gm.

（2）如圖，過點(diǎn)尸作a于點(diǎn)/7,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)

設(shè)7W=x.

在Rt^CP”中，

1pH

tanNPCD=—=—,

2CH

:.CH=2x,BM=PH=x,

又：ZAPM=45°,

:.AM=PM,

=BC+CH,

即60G-X=60+2X,

解得：x=2073-20.

山坡上點(diǎn)尸處的鉛直高度為（20否-20）m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角，解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造

直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系求值，或列方程求解.

2.（2023,浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時的仰角和俯角，利用量角器

和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示.

⑴如圖2,在尸點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)C,當(dāng)量角器零刻度線上AB兩點(diǎn)均在視線PC上時，測得視線與

鉛垂線所夾的銳角為a,設(shè)仰角為夕，請直接用含a的代數(shù)式示4.

⑵如圖3,為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)BC分別測得氣球

A的仰角―血）為37。，/ACD為45。,地面上點(diǎn)BC,。在同一水平直線上，BC=20m,求氣球A離

地面的高度AD.（參考數(shù)據(jù)：sin37。土0.60,cos37。土0.80,tan37°?0.75）

【答案】（1）6=90。一a

⑵AD=60m

【分析】（1）如圖所示，鉛垂線與水平線相互垂直，從而利用直角三角形中兩銳角互余即可得到答案;

（2）根據(jù)題意，AD±BD,在RtA4CD中，448=45。，由等腰直角三角形性質(zhì)得到CD=AD；在

AnAnAn

RtZvWD中，/ABD=37°,由tan/ABO=tan37。=——=------=--------,解方程即可得到答案.

BDCD+20AD+20

【詳解】⑴解:如圖所示:

c

a

A

D

P

由題意知O。，尸。,

在Rt尸0。中，？O90?,則NP+NPOD=90°,即c+/7=9O。，

/.p=90°-a；

（2）解：如圖所示:

ADJ.BD,

在RLAACD中，Z4CD=45°,由等腰直角三角形性質(zhì)得到CD=AD,

在RtA4B￡>中，NABD=37°,

AnADAD

由tan/ABD=tan37。=——

BDCD+20~AD+20

AD

即0.75=

AD+20

解得AD=60m,

「?氣球A離地面的高度AD=60m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)測高

等，熟練掌握解直角三角形的方法及相關(guān)知識點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)

才能被識別），其示意圖如圖2,攝像頭A的仰角、俯角均為15。，攝像頭高度。4=160cm,識別的最遠(yuǎn)水

平距離05=150cm.

陽I

⑴身高208cm的小杜，頭部高度為26cm,他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請問小杜最少需要

下蹲多少厘米才能被識別.

⑵身高120cm的小若，頭部高度為15cm,踮起腳尖可以增高3cm,但仍無法被識別.社區(qū)及時將攝像頭

的仰角、俯角都調(diào)整為20°(如圖3),此時小若能被識別嗎？請計(jì)算說明.(精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)

sin15°x0.26,cos15°?0.97,tan15°?0.27,sin20°?0.34,cos20°x0.94,tan20°?0.36)

【答案】(1)12.9cm

⑵能，見解析

【分析】(1)根據(jù)正切值求出石廠長度，再利用三角形全等可求出所尸=35.1(cm),最后利用矩形的性

質(zhì)求出CE的長度，從而求出蹲下的高度.

(2)根據(jù)正切值求出MP長度，再利用三角形全等可求出MP=PN=54.0(cm),最后利用矩形的性質(zhì)求出

3尸的長度，即可求出3N長度，與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)C作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E,D,交水平線于點(diǎn)尸，如圖所示，

圖2

在RtAEE中，tanZE4F=——.

AF

￡F=AF-tan15°=130x0.27=35,1(cm).

AF=AF,ZEAF=ZDAF,ZAFE=ZAFD=90°,

.-.AADF^AAEF.

：.EF35.

CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),ED=2EF=35.1x2=70.2(cm)>26(cm),

小杜下蹲的最小距離=208-195.1=12.9(cm).

(2)解：能，理由如下:

過點(diǎn)8作0B的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)N,交水平線于點(diǎn)尸，如圖所示,

仰角20°

極像頭A「(二水平線

俯角

圖3

MP

在RtAAPAf中，tanZMAP=——.

AP

:.MP=AP-tan20°=150x0.36=54.0(cm),

AP=AP,ZMAP=/NAP,ZAPM=ZAPN=90°,

:.AAMP^AANP.

，PN=MP=54.0(cm),

BN=BP-PN=160-54.0=106.0(cm).

小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3=123(?11).

二小若頭頂超出點(diǎn)N的高度123-106.0=17O(cm)>15(cm).

小若墊起腳尖后能被識別.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性

質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識.解題的重點(diǎn)在于熟練掌握

相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法.

4.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）大善塔位于紹興市區(qū)城市廣場東南角，始建于梁天監(jiān)三年（504）,為明代建

筑，在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，李老師布置了一個任務(wù)：請根據(jù)所學(xué)知識設(shè)計(jì)一種方案，測量大善塔的

⑴【實(shí)踐探究】某小組通過思考，繪制了如圖2所示的測量示意圖，即在水平地面上的點(diǎn)C處測得塔頂端

A的仰角為點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離BC=。米，即可得出塔高AB=米（請你用。和。表示）.

（2）【問題解決】但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：由于無法直接到達(dá)塔底端的B點(diǎn)，因此BC無法直接測量，該小組對測

量方案進(jìn)行了如下修改：如圖3,從水平地面的C點(diǎn)向前走到點(diǎn)Z）處，在。處測得塔頂端A的仰角為用，

即可通過計(jì)算求得塔高A3,若測得的戊=37。，6=60。，CZ）=26米，請你利用所測數(shù)據(jù)計(jì)算塔高

AB.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37。“0.6,cos37。。0.8,豆=1.732）

【答案】⑴a?tanc

⑵塔高約34.4米

【分析】（1）在Rt/VIBC中，根據(jù)三角形函數(shù)直接求解即可；

（2）設(shè)塔高AB的長為尤米，先在Rt/XABC中，利用銳角三角函數(shù)表示出BC,再在中，求出

X.

【詳解】(1)解：在RtzXABC中，ZABC=90°,ZACB=a,

團(tuán)AB=a-tana；

（2）解：設(shè)塔高AB的長為x米,

在中，ZABC=9Q°,

「“cSin(70.6_3_AB

團(tuán)tana=tan37=------

cos。E8-4-BC

44

SBC=-AB=-x^,

13co=26米,

4

0BD=BC-CD=(-x-26)7^,

在RtAABD中，？ABD90?,

團(tuán)tanp=tan60°==,3,

x

0x?34.4,BPAB?34.4（米），

答：塔高約34.4米.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)表示

線段的數(shù)量關(guān)系.

【題型二坡度坡比問題】

例題：（2023?浙江?模擬預(yù)測）某種電纜在空中架設(shè)時，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線>=工爐的形

狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米.

⑴如圖1,若水平距離間隔80米建造一個電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多

少米的高度？

⑵如圖2,若在一個坡度為1:5的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20

米的塔柱.求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？

【答案】⑴22米

(2)14.75米

【分析】(1)由題意，最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是40,代入函數(shù)表達(dá)式中可求得高度即可;

(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，利用待定系數(shù)法求得拋物線

的解析式為y=+直線DE的解析式為y=3,設(shè)加卜,擊蘇-、加+2()](0〈根＜50)為

拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)〃作軸于R交DE于G,則由

1O11

MG=——m2——m+20——m=——(m-25)2+13.75可求解.

100105100V)

【詳解】(1)解：由題意，最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是40,則丁=**4。2=16,

16+6=22(米)，

答：固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有22米的高度；

(2)解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

圖2

設(shè)此時拋物線的解析式為y+6x+c,

由于斜坡的坡度為1:5,且CD=50米，

EICE=10米，

而3C=CE+BE=10+20=30（米），

回川50,30）；

0A（O,2O）,

4（0,20）,3（50,30）坐標(biāo)兩點(diǎn)分別代入解析式中，得

,3

c=20b=-----

解得10,

25+50&+c=30

c=20

13

團(tuán)y=----x29------x+20

10010

131

即丁=——x2——％+20=——（％—15）9+17.75

10010100v7

即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（15,17.75）；

過點(diǎn)M作“軸于F，交DE于G,

團(tuán)坡度為1:5,DF=15,

0GF=|xl5=3（米），

IWG=MF—Gr=17.75—3=14.75（米），

答：在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為14.75米.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用、坡度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江金華?統(tǒng)考三模）如圖，垂直于地平線8。的旗桿AB上系一旗幟，在距旗桿底部3點(diǎn)6米的

。處有一坡比為1:若的斜坡OR.旗幟在點(diǎn)C時，其影子落在斜坡端點(diǎn)。，測得旗高3c=3m；繼續(xù)拉動

旗幟到桿頂A時，其影子落在斜坡￡＞尸上的E點(diǎn)，測得DE=8m.

(1)求坡角NEDG的度數(shù)

⑵求旗桿A3的高度.

【答案】⑴NRDG=30。

⑵AB=1+26

【分析】(1)過E作EHL3G于X,用坡度比求解;

(2)延長AE交3G于點(diǎn)用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出勾股定理求出D”，進(jìn)而得到3〃的

長度，根據(jù)ABL8G和題意易得到利用相似三角形的性質(zhì)求出,易得

公ABMSAEHM,最后用相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)解：過E作于如下圖

由題意得￡7八〃7=1:百,

0tanZFDG=—,

3

0ZFDG=3O°；

(2)解：延長AE交BG于點(diǎn)

RtAOEH中,

DE=8,

0EH=-DE=-x8=4,

22

DH=[DE。-EH。=^82-42=4G，

^\BH=BD+DH=6+4y/3.

回￡7f_L3G,AB±BG,

回NCB￡）=NEffi0=9O。.

團(tuán)旗幟在點(diǎn)C時，其影子落在斜坡端點(diǎn)。，繼續(xù)拉動旗幟到桿頂A時，其影子落在斜坡。尸上的E點(diǎn)，

由平移的性質(zhì)可得NCDB=NEMH,

EHHM

團(tuán)---=----,

CBBD

目口4HM

即彳=^,

36

^\HM=8.

國/CBD=/EHM=90。,ZAMB=ZEMH,

團(tuán)AABMs^EHM,

EHHM

團(tuán)---=----,

ABBM

48

gn----=---------------

AB6+4百+8'

4x（6+4—+8）「

^AB=—------------'-=”26

8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坡度比，相似三角形判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，含30。的直角三角形

的性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵.

2.（2023?浙江寧波??？既＃┞柫⒃趯幉êＪ飬^(qū)的天封塔始建于唐武則天"天冊萬歲"至"萬歲登封"（695-

696）年間，因建塔年號始末"天""封"而得名（如圖1）,在天封塔正前方有一斜坡C￡）,長為13米，坡度

為1:2.4,高為DE.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用測角儀在斜坡底的點(diǎn)C處測得塔上觀景點(diǎn)P的仰角為

64°.在斜坡頂?shù)狞c(diǎn)。處測得塔上觀景點(diǎn)尸的仰角為45。（其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上，如圖2）.

圖1

⑴求斜坡的高DE;

⑵求塔上觀景點(diǎn)尸距離地面的高度（精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin64°?0.9,tan64°?2）

【答案】⑴5米

⑵塔上觀景點(diǎn)P距離地面的高度AP為34米

【分析】⑴由斜坡co的坡度為1:2.4,可得名=二7=j設(shè)DE=5x,則CE=12x,在Rtz\C￡>E

CE2.412

中，由勾股定理得DE2+CE2=cr>2,即（5x）2+（12x）2=132,計(jì)算求出滿足要求的解即可;

（2）如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)孔則四邊形?！?F是矩形，AF=DE=5米，DF=AE,

Ap

PF=DF,^PF=DF=a,貝ljAC=a—12,AP=5+a,在RtAAPC中，tanZACP=——,即

AC

生q它2,解得a=29,進(jìn)而可求AP的值.

a-12

【詳解】（1）解：回斜坡8的坡度為1:2.4,

DE

i?i______1_—__5

CE2.412'

設(shè)。E=5x,則CE=12x,

在RtACDE中，由勾股定理得OE2+C”=C￡>2,即（5x）2+（12x）2=132,

解得x=l,x=—l（舍去）,

回。￡=5米,

答：斜坡的高DE為5米;

（2）解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)尸，則四邊形。E4R是矩形,

團(tuán)NPQ尸=45。，

國PF=DF,

^PF=DF=a,貝！jAC=a—12,AP=5+a,

在Rt/XAPC中，tanZACP=——,即上一n2,解得a=29,

ACa-12

EIAP=34（米），

答：塔上觀景點(diǎn)P距離地面的高度AP為34米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理.解題的關(guān)鍵在于

明確線段之間的數(shù)量關(guān)系.

【題型三實(shí)物抽象出幾何圖形問題】

例題：（2023?浙江舟山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）倡導(dǎo)"低碳環(huán)保"讓"綠色出行”成為一種生活常態(tài).小海買了一輛自

行車作為代步工具，各部件的名稱如圖1所示，該自行車的車輪半徑為26cm,圖2是該自行車的車架示意

圖，立管AB=24cm,上管AC=32cm,且它們互相垂直，座管AE可以伸縮，點(diǎn)A、B、E在同一條直

線上，且—ABD=75。.

⑴求下管BC的長；

（2）若后下叉與地面平行，座管AE伸長至IJ13cm,求座墊E離地面的距離.（結(jié)果精確到1cm參考數(shù)據(jù)

sin75°~0.97,cos75°?0.26,tan75°~3.73)

【答案】⑴下管2C長40cm;

⑵座墊E離地面的距離是62cm.

【分析】⑴在RfACB中利用勾股定理求得BC即可.

(2)在過后作叱，筋，在及一EE4中，利用三角函數(shù)求跖=AEsin75。，即可得到答案.

【詳解】(1)解：在RjACB中，AB=24cm,AC=32cm,

^BC=V242+322=40cm

團(tuán)BC=40cm,

答:下管3c長40cm.

(2)解：過點(diǎn)E作EFLDB,垂足為尸，

圖2

回3E=AB+AE=24+13=37(cm),

0EF=BEsin75°=37sin75°=36cm

036+26=62(cm),

答：座墊E離地面的距離是62cm.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱。4垂直地面。8,支架

CO與Q4交于點(diǎn)A,支架CGLCD交Q4于點(diǎn)G,支架DE平行地面。8,籃筐政與支架DE在同一直線

⑴求NG4c的度數(shù).

⑵某運(yùn)動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在髡子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上

籃網(wǎng)嗎？請通過計(jì)算說明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin32°。0.53,cos32。。0.85,tan32°。0.62)

【答案】⑴58。

(2)該運(yùn)動員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解；

(2)延長。LED交于點(diǎn)根據(jù)題意得出ZADM=32。，解RtZvUW,求得AAf,根據(jù)

OM=OA+AM與3比較即可求解.

【詳解】⑴解：0CG±cr),

0ZACG=90°,

EZAGC=32°,

回NG4c=90°—32°=58°.

(2)該運(yùn)動員能掛上籃網(wǎng)，理由如下.

如圖，延長。4即交于點(diǎn)

^\OAYOB,DE//OB,

回"MA=90°,

又回ADAM=Z.GAC=58°,

^\ZADM=32°,

在RtAADM中，AM=?Wsin32。?0.8x0.53=0.424,

^OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924<3,

回該運(yùn)動員能掛上籃網(wǎng).

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵.

2.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考三模)圖1是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力.圖

2是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖，已知AC,3。互相平分于點(diǎn)。，AC=BD=26cm,若

ZA(9B=60°,ZDCE=3T.

⑴求CO的長.

⑵求點(diǎn)D到底架CE的高。尸(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,

tan37°?0.75).

【答案】(l)13cm

⑵7.8cm

【分析】(1)根據(jù)題意得出。4=OS=OC=OD=13cm,由NCOD=NAOB=60。，證明，AOB與

均是正三角形，即可得出答案；

(2)在RtaCDF中，利用正弦定義求解即可.

【詳解】(1)解：AC=BD=26cm,AC,8。互相平分于點(diǎn)。，

OA=OB=OC=OD=13cm,

ZCOD=ZAOB=60°,

二AOB與均是正三角形，

CD=13cm.

DF

(2)解：在RtZkCD尸中，sinZDCF=—,

即OF=sinZDCF=13xsin37°它13x0.6=7.8(cm),

答：點(diǎn)￡＞到底架CE的高為7.8cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確計(jì)算.

3.(2023,浙江寧波??？级?如圖1是一種可折疊臺燈，其主體部分的示意圖如圖2,由固定燈座

(RtAABC)和可轉(zhuǎn)動的光源(BD)組成，其中BD//AC,經(jīng)測量，燈座高度(AB)為

30cm,光源(BD)為24cm,ZABC=8°.

圖1圖2圖3

⑴求臺燈燈座的寬度AC的長；

（2）此種臺燈配置的是合蓋關(guān)燈，當(dāng)光源3。繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)至光源與燈座（BC）夾角不超過30。時，臺燈自動

關(guān)閉電源.求臺燈自動關(guān)閉電源時，臺燈光源末端。，距桌面的最大高度.（結(jié)果精確到0.參考數(shù)

據(jù)；sin8°?0.139,cos8°?0.990,tan8°?0.141,sin38°?0.616,cos38°?0.781,tan38°20.788）

【答案】⑴臺燈燈座的寬度AC的長約為4.3cm；

⑵臺燈自動關(guān)閉電源時，臺燈光源末端M距桌面的最大高度約為11.3cm.

【分析】（1）在Rt^ABC中，利用正切函數(shù)的定義即可求解；

（2）過點(diǎn)。叫乍DFLAB于點(diǎn)片在RtAD'B/中，利用余弦函數(shù)的定義求得的的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）解：在.ABC中，ABJ.AC,即/3AC=90,AB=30cm,ZBAC=8°,

AC

0tan80=——?0.141,

AB

團(tuán)ACe30x0.141e4.3（cm）,

答：臺燈燈座的寬度AC的長約為4.3cm；

（2）解：過點(diǎn)。，作。尸，AB于點(diǎn)凡

由題意得/DBF=/DBE+ZABC=38°,

在RtAD'5/中，BD=24cm,

BF

0cos38°=——?0.781,

BDf

024x0.781?18.7,

0AF=AB-B^=30-18.7=11.3（cm）,

答：臺燈自動關(guān)閉電源時，臺燈光源末端。，距桌面的最大高度約為11.3cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.

4.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）讀書架也稱臨帖架、書托架，可幫助我們解放雙手和保護(hù)眼睛，非常適合

書法人群和學(xué)生使用.圖1是實(shí)木讀書架實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其工作原理是通過調(diào)節(jié)點(diǎn)。在CE

上的位置，來改變的傾斜角度.已知AB=30cm,AD=20cm,當(dāng)點(diǎn)。調(diào)節(jié)到圖2位置時，測得

NABE=65°,ZCAD=50°,NDEB=30°.

⑴求點(diǎn)A到班;的距離.

(2)求的長.(參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.91,cos65°~0.42,tan65°~2.14)

【答案】(l)27.3(cm)

(2)18.2(cm)

【分析】（1）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)尸，解即可求解；

（2）延長交3E于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作DHLBE于點(diǎn)根據(jù)已知得出/4BG=NAG3,進(jìn)而得出

AG=AB=30cm,在RtDHG中,求得DH,在RtDHE中,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可

求解.

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AF_L3E于點(diǎn)尸.

在RtAM中，ZABF=65°,

AF=AB-sinZABF?30x0.91=27.3(cm).

A

BFHGE

(2)延長AD交班于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作。石于點(diǎn)H.

ZABG=65°,ZCAD=50°,

NAG5=180?！狽ABG—NOW=65。.

「.ZABG=ZAGB.

AG=AB=30cm.

DG=AG-AD=30-20=10(cm).

在Rt_D"G中，DH=DG-sinZDGH?10x0.91=9.l(cm).

在RtDHE中,ZDEB=30°

/.DE=2DH=2x9.1=18.2(cm).

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)如圖①是一把折疊躺椅，其示意圖如圖②所示，其中DE平行地面，人們

可通過調(diào)整/7DE和/DEG的大小來滿足不同需求，經(jīng)測量兩支腳AB=AC=50cm,支點(diǎn)。在AC上且

AD=10cm,椅背。尸=80cm,躺椅打開時兩支腳的夾角N3AC=80。.

圖①圖②

⑴求躺椅打開時兩支腳端點(diǎn)8、C之間的距離；

⑵躺椅打開時，調(diào)整椅背使NEDP=14O。，求此時椅背的最高點(diǎn)/到地面的距離.(參考數(shù)據(jù):

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84)

【答案】⑴64cm

(2)82cm

【分析】(1)如圖，過點(diǎn)A作加交BC于點(diǎn)根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可

求解；

(2)過點(diǎn)。作DPL3C交BC于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作交即延長線于點(diǎn)N,在Rt.DPC和Rt44VF

利用銳角三角函數(shù)求出DP和FN即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)A作M，8C交BC于點(diǎn)M,

0ZAMC=9O°,

回AB=AC=50,ZBAC=80°,

0ZAMC=-ZBAC=-x8O°=4O°,BC=2MC,

22

[?]MC=ACxsin40°?50x0.64=32,

團(tuán)BC=2MCx64(cm),

回躺椅打開時兩支腳端點(diǎn)5、C之間的距離為64cm.

(2)過點(diǎn)。作DPL5C交5C于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作交互)延長線于點(diǎn)N,

^\DP//AM,/DPC=90。,

團(tuán)NCDP=NC4M=40。，

團(tuán)AD=10,

團(tuán)CD=AC—4)=50—10=40,

團(tuán)DP=CDxcos40°x40x0.77=30.8,

0Z)F=8O,NED尸=140。，F(xiàn)N-LED

團(tuán)Z7V=90。，ZFDN=1800-ZEDF=40°,

團(tuán)7W=。/xsin40Op80x0.64=51.2,

0DP+/W?30.8+51.2=82(cm),

團(tuán)此時椅背的最高點(diǎn)方到地面的距離為82cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，平行線的判定和性質(zhì).通過

作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)桑梯一一登以探桑，它是我國古代勞動人民發(fā)明的一種采桑工具.圖1是明

朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知4?=AC=1.6米，

AD=1.2米，設(shè)N&4c=c,為保證安全，a的調(diào)整范圍是30。＜戊490。.

⑴當(dāng)夕=60。時，若人站在AD的中點(diǎn)E處，求此人離地面(BC)的高度.

⑵在安全使用范圍下，求桑梯頂端。到地面2C的距離范圍.(參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.97,cos75°?0.26,

tan750-3.73,小\.73,虎。1.41,精確到01米）

【答案】⑴此人離地面的高度約1.9m

⑵。與地面的距離范圍為2.0mWDMW2.7m

【分析】(1)過E作EH工BC,由題意易得/C=60。，然后問題可求解；

(2)過點(diǎn)。作然后分當(dāng)1=30。時和當(dāng)(/=90。時，進(jìn)而分類求解即可.

【詳解】(1)解:過E作EHJ.BC,

回cr=60°,AB=AC,

0ZC=6O°,

團(tuán)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AZ)=1.2米，

回AE=0.6m,

團(tuán)￡C=2.2m,

EH-x/3

在RtAE"C中，sin60°=—-----=—，