高中數(shù)學(xué)《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》第2課時(shí)教案設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1、通過具體情景，讓學(xué)生感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在的不等關(guān)系，理解和掌握列不等式的步驟2、能靈活用作差法比較兩個(gè)數(shù)與式的大小，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：將不等關(guān)系用不等式表示出來，用作差法比較兩個(gè)式子大小；難點(diǎn)：在實(shí)際情景中建立不等式（組），準(zhǔn)確用作差法比較大小?！窘虒W(xué)過程】過程設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、溫故知新你能回憶起等式的基本性質(zhì)嗎？性質(zhì)1若a=b，則b=a；性質(zhì)2若a=b，b=c，則a=c；性質(zhì)3若a=b，則a±c=b±c；性質(zhì)4若a=b，則ac=bc；性質(zhì)5若a=b，，則；類比等式的性質(zhì)，你能猜想出不等式的性質(zhì)，并加以證明嗎？二、探索新知不等式的性質(zhì)（1）對(duì)稱性文字語(yǔ)言不等式兩邊互換后，再將不等號(hào)改變方向，所得不等式與原不等式等價(jià)符號(hào)語(yǔ)言a>b?b<a作用寫出與原不等式等價(jià)且異向的不等式證明:∵a>b，∴a-b>0.由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得-（a-b）<0.即b-a<0，∴b<a.同理可證，如果b<a，那么a>b.跟蹤訓(xùn)練.1.與m≥（n-2）2等價(jià)的是（）.A.m<（n-2）2 B.（n-2）2≥mC.（n-2）2≤m D.（n-2）2<m答案:C（2）傳遞性文字語(yǔ)言如果第一個(gè)量大于第二個(gè)量，第二個(gè)量大于第三個(gè)量，那么第一個(gè)量大于第三個(gè)量符號(hào)語(yǔ)言a>b，b>c?a>c變形a≥b，b≥c?a≥c；a<b，b<c?a<c；a≤b，b≤c?a≤c作用比較大小或證明不等式你能證明嗎？（3）加法法則文字語(yǔ)言不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得的不等式與原不等式同向.符號(hào)語(yǔ)言a>b?a+c>b+c變形a<b?a+c<b+ca≤b?a+c≤b+ca≥b?a+c≥b+c作用不等式的移項(xiàng)，等價(jià)變形證明:∵（a+c）-（b+c）=a-b>0，∴a+c>b+c.（4）乘法法則文字語(yǔ)言不等式的兩邊都乘同一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向不變；都乘同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變.符號(hào)語(yǔ)言a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bc變形a≥b，c>0?ac≥bc；a≥b，c<0?ac≤bca<b，c>0?ac<bc；a<b，c<0?ac>bca≤b，c>0?ac≤bc；a≤b，c<0?ac≥bc作用不等式的同解變形證明:ac-bc=（a-b）c.∵a>b，∴a-b>0.根據(jù)同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)，得當(dāng)c>0時(shí)，（a-b）c>0，即ac>bc；當(dāng)c<0時(shí)，（a-b）c<0，即ac<bc.歸納總結(jié)：1、該性質(zhì)不能逆推，如ac>bca>b.2、ac>bc?a>b，c>0或a<b，c<0.3、不等式兩邊僅能同乘（或除以）一個(gè)符號(hào)確定的非零實(shí)數(shù).（5）加法單調(diào)性文字語(yǔ)言兩個(gè)同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向.符號(hào)語(yǔ)言a>b，c>d?a+c>b+d變形a<b，c<d?a+c<b+da≥b，c≥d?a+c≥b+da≤b，c≤d?a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式證明:a>b?歸納總結(jié)：1、此性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，即兩個(gè)或兩個(gè)以上的同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向。2、兩個(gè)同向不等式只能兩邊同時(shí)分別相加，而不能兩邊同時(shí)分別相減。3、該性質(zhì)不能逆推，如a+c>b+da>b，c>d。（6）乘法單調(diào)性文字語(yǔ)言兩邊都是正數(shù)的兩個(gè)同向不等式相乘，所得的不等式與原不等式同向.符號(hào)語(yǔ)言a>b>0，c>d>0?ac>bd作用兩個(gè)不等式相乘的變形證明:∵a>b>0，c>0，∴ac>bc.∵c>d>0，b>0，∴bc>bd.∴ac>bd.歸納總結(jié)：1、這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，這就是說，兩個(gè)或更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.2、a>b>0，c<d<0?ac<bd；a<b<0，c<d<0?ac>bd.3、該性質(zhì)不能逆推，如ac>bda>b，c>d.（7）正值不等式可乘方文字語(yǔ)言當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)乘方所得的不等式與原不等式同向.符號(hào)語(yǔ)言a>b>0?an>bn（n∈N，且n≥1）作用不等式兩邊的乘方變形性質(zhì)（7）可看作性質(zhì)（6）的推廣：當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，由a>b可得an>bn。跟蹤訓(xùn)練：1.給出下列結(jié)論：①若ac>bc，則a>b；②若a<b，則ac2<bc2；③若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則a>b；④若a>b，c>d，則a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，則ac>bd.其中正確結(jié)論的序號(hào)是___③_.解析①當(dāng)c>0時(shí)，由ac>bc?a>b，當(dāng)c<0時(shí)，由ac>bc?a<b，故①錯(cuò)、②當(dāng)c≠0時(shí)，由a<b?ac2<bc2，當(dāng)c＝0時(shí)，由a<beq\o(?,/)ac2<bc2，故②錯(cuò)、③∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b，故③正確。④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，兩不等式不等號(hào)的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d錯(cuò)誤。⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))?ac<bd，但eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d))eq\o(?,/)ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0))eq\o(?,/)ac>bd.反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法：（1）運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷.要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想象捏造性質(zhì)。（2）特殊值法.取特殊值時(shí)，要遵循如下原則:一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算。典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式。例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋（－c）>b＋（－d）>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟蹤訓(xùn)練：1、若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).歸納總結(jié)：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)。（1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式、解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用。（2）應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則。典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍例2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范圍。解析∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).兩式相加，得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又∵α<β，∴eq\f(α－β,2)<0.∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.規(guī)律總結(jié)：求取值范圍的問題要注意解題方法是否符合不等式的性質(zhì)，是否使范圍擴(kuò)大或縮小。跟蹤訓(xùn)練1已知1<a<2，3<b<4，求下列各式的取值范圍：（1）2a＋b；（2）a－b；（3）eq\f(a,b).解析（1）∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；（2）∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；（3）∵3<b<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，又1<a<2，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(2,3).通過學(xué)生熟悉的等式性質(zhì)出發(fā)，設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)不等的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示不等式的性質(zhì)。由不等式七個(gè)性質(zhì)的分析與證明，體會(huì)證明不等式的基本方法；培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)及時(shí)歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；通過練習(xí)鞏固不等式的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，提高思維的靈活性和速度。通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生明確問題模型，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、已知a<b<0，c<d<0，那么下列判斷中正確的是（）A、a－c<b－d B、ac>bdC.eq\f(a,d)<eq\f(b,c) D、ad>bc解析：根據(jù)不等式的同向同正的可乘性知，B正確、答案：B2、若a、b、c∈R，且a>b，則下列不等式中一定成立的是（）A、a＋b≥b－cB、ac≥bcC.eq\f(c2,a－b)>0D、（a－b）c2≥0解析：∵a>b，∴a－b>0.選項(xiàng)A中，當(dāng)c＝0時(shí)，（a＋b）－（b－c）＝a＋c，由于a∈R，則選項(xiàng)A不成立；選項(xiàng)B中，ac－bc＝c（a－b），由于c∈R，則選項(xiàng)B不成立；選項(xiàng)C中，由于c∈R，則c2≥0，∴eq\f(c2,a－b)≥0，則選項(xiàng)C不成立；選項(xiàng)D中，a－b>0，c2≥0，∴（a－b）c2≥0，則選項(xiàng)D成立、答案：D3、設(shè)2<a<3，-2<b<-1，則2a-b的范圍是________、解析：4<2a<6，-2<b<-1，∴1<-b<2，由同向不等式相加得到5<2a-b<8答案：5<2a-b<84、已知a>b>0，c<d<0.求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又∵a>b>0，∴－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.∴eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c)).兩邊同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。四、小結(jié)不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?____?2傳遞性a>b，b>c?_____?3可加性a>b?a＋cb＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?acbcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?acbc5同向可加性eq\