2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)試題選擇性必修二（人教A版2019）綜合測評

綜合測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.對于數(shù)列1,37,314,321,…,則398是這個數(shù)列的()A.不在此數(shù)列中 B.第13項C.第14項 D.第15項答案:D2.已知等差數(shù)列{an},且a1+a2+a3+a4=10,a13+a14+a15+a16=70,則前16項的和等于()A.140 B.160 C.180 D.200解析:∵a1+a2+a3+a4+a13+a14+a15+a16=4(a1+a16)=80,∴a1+a16=20.∴所求和為16(a1答案:B3.若函數(shù)f(x)=13x3f'(1)·x2x,則f'(3)的值為(A.0 B.1 C.8 D.8解析:f'(x)=x22f'(1)·x1,則f'(1)=122f'(1)·11,得f'(1)=0.故f'(x)=x21,從而f'(3)=8.答案:C4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前6項和S6=6,且1a22為a1,a3的等差中項,則a7+a8+a9=(A.2 B.8 C.10 D.14解析:由題意得2a2=a1+a3,∴a1+a2+a3=2,又S6=6,∴a4+a5+a6=4.又{an}為等比數(shù)列,∴S3,S6S3,S9S6為等比數(shù)列,∴42=2(S9S6),∴S9S6=8,即a7+a8+a9=8.答案:B5.兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且SnTn=7n+2A.94 B.37C.7914 D.解析:a2答案:D6.若函數(shù)f(x)=13x3ax2+ax在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)有極小值,則實數(shù)a的取值范圍是(A.1,43 C.(∞,0)∪(1,+∞) D.0解析:f'(x)=x22ax+a,由題意知,f'(x)=0在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)都有根,則f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即a>0,1-a<0,4答案:A7.設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x>0時,xf'(x)f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A.(∞,1)∪(0,1) B.(1,0)∪(1,+∞)C.(∞,1)∪(1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)解析:設(shè)F(x)=f(x)則F'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,∴F(x)=∵f(x)為奇函數(shù),且f(1)=0,∴f(1)=0,于是F(1)=0.∴在區(qū)間(0,1)內(nèi),F(x)>0;在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),F(x)<0,即當(dāng)0<x<1時,f(x)>0;當(dāng)x>1時,f(x)<0.又f(x)為奇函數(shù),∴當(dāng)x∈(∞,1)時,f(x)>0;當(dāng)x∈(1,0)時,f(x)<0.綜上可知,f(x)>0的解集為(∞,1)∪(0,1).故選A.答案:A8.已知函數(shù)f(x)=ax1+lnx,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,則實數(shù)a的取值范圍是(A.(2,+∞) B.(∞,3) C.(∞,1] D.[3,+∞)解析:函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),不等式ax1+lnx≤0有解,即a≤xxlnx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有解.設(shè)h(x)=xxlnx,則h'(x)=1(lnx+1)=lnx.令h'(x)=0,可得x=1.由h(x)的單調(diào)性可得,當(dāng)x=1時,函數(shù)h(x)=xxlnx取得最大值1.要使不等式a≤xxlnx在(0,+∞)內(nèi)有解,只要a小于等于h(x)的最大值,即a≤1.所以選C答案:C二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d≠0,且a1d≤1.記b1=S2,bn+1=S2n+2S2n,n∈N*,則下列等式一定成立的是(A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C.a42=a2a8 D.b42解析:A.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2a4=a2+a6,故A一定成立;B.b4=S8S6=a7+a8,b2=S4S2=a3+a4,b6=S12S10=a11+a12,又由題意可得2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12,所以2b4=b2+b6,故B一定成立;C.a42=a2a8?(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故CD.b8=S16S14=a15+a16,當(dāng)b42=b2b8時,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),即(2a1+13d)2=(2a1+5d)·(2a1+29d),得2a1=3d,這與已知a1d≤1矛盾,答案:AB10.已知函數(shù)y=mex的圖象與直線y=x+2m有兩個交點,則實數(shù)m的取值可以是()A.1 B.1 C.2 D.3解析:設(shè)f(x)=mexx2m,則f'(x)=mex1.要使函數(shù)y=mex的圖象與直線y=x+2m有兩個交點,需f(x)有兩個零點.當(dāng)m≤0時,f'(x)=mex1<0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,不可能有兩個零點,不符合題意,舍去.當(dāng)m>0時,由f'(x)=0得x=ln1m當(dāng)x∈ln1m,+∞時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈-∞,ln1m時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,且f(0)=m<0又當(dāng)x?∞,f(x)?+∞,x?+∞時,f(x)?+∞,所以當(dāng)m>0時,函數(shù)f(x)有兩個零點,即函數(shù)y=mex的圖象與直線y=x+2m有兩個交點,觀察各選項,知m的取值可以是1,2,3.故選BCD.答案:BCD11.已知函數(shù)f(x)=exlnx,則下列說法正確的是A.f(x)的定義域是(0,+∞)B.當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)的圖象位于x軸下方C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D.f(x)有且僅有兩個極值點解析:∵f(x)=exlnx,∴l(xiāng)nx≠0,∴x>0,且x≠1,即f(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞).故A錯誤;當(dāng)x∈(0,1)時,lnx<0,∴f(x)<0.故B正確;由f(x)=exlnx,得f'(x)=ex(xlnx-1)x(lnx)2.當(dāng)0<x<1時,f'(x)<0,∴f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.設(shè)g(x)=xlnx1,則g'(x)=lnx+1.當(dāng)x>1時,g'(x)>0,則g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又g(1)=1<0,g(2)=2ln21>0,∴存在x0∈(1,2)使g(x0)=0,即f'(x0)=0.∴當(dāng)1<x<x0時,g(x)<0,即f'(x)<0,當(dāng)x>x0時,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在區(qū)間(0,1)和(1,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,故選BC.答案:BC三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案寫在題中的橫線上)12.已知周長為20cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱,則該圓柱體積的最大值為cm3.

解析:設(shè)矩形相鄰兩邊長分別為x(0<x<10)cm,(10x)cm,繞長為(10x)cm的一邊旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的體積V(x)=πx2(10x)=10πx2πx3,則V'(x)=20πx3πx2.令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=203.當(dāng)x∈0,203時,V'(x)>0,V(x)在區(qū)間當(dāng)x∈203,10時,V'(x)<0,V(x)在區(qū)間20因此當(dāng)x=203時,V(x)取得最大值為4000答案:413.設(shè)直線y=m與曲線C:y=x(x2)2的三個交點分別為A(a,m),B(b,m),C(c,m),其中a<b<c,則實數(shù)m的取值范圍是,a2+b2+c2的值為.

解析:設(shè)f(x)=x(x2)2,則f'(x)=3x28x+4.令f'(x)=0,解得x=23或x=2由f(x)的單調(diào)性,得f(x)的極大值為f23=3227,極小值為f若直線y=m與曲線C:y=x(x2)2有三個交點,則0<m<3227,即m的取值范圍為0設(shè)g(x)=f(x)m=x(x2)2m=x34x2+4xm.若直線y=m與曲線C:y=x(x2)2有三個交點,且其坐標(biāo)分別為A(a,m),B(b,m),C(c,m),則方程x34x2+4xm=0有三個根,分別為a,b,c,即x34x2+4xm=(xa)(xb)(xc)=x3(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)xabc.故a+b+c=4,ab+bc+ac=4,于是a2+b2+c2=(a+b+c)22(ab+bc+ac)=8.答案:0,3214.數(shù)列{an}滿足:nan+2+(n+1)an=(2n+1)·an+11,a1=1,a2=6,令cn=ancosnπ2,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,則S4n=解析:∵nan+2+(n+1)an=(2n+1)an+11,∴nan+2nan+1=(n+1)an+1(n+1)an1,∴an∴a2-a1a3a4……an-an-上述n1個式子相加得5an+1-a即an+1an=4n+1(n≥2).又當(dāng)n=1時,a2a1=4×1+1=5也成立,∴an+1an=4n+1.∴a2a1=4×1+1,a3a2=4×2+1,a4a3=4×3+1,……anan1=4(n1)+1(n≥2),上述n1個式子相加得an1=(n1)(2n+1),即an=n(2n1)(n≥2).又當(dāng)n=1時,a1=1×(2×11)=1也成立,∴an=n(2n1).∵cn=ancosnπ∴c4k3+c4k2+c4k1+c4k=0(4k2)(8k5)+0+4k(8k1)=32k10(k∈N*).∴S4n=(c1+c2+c3+c4)+(c5+c6+c7+c8)+…+(c4n3+c4n2+c4n1+c4n)=(32×110)+(32×210)+…+(32n10)=16n2+6n.答案:16n2+6n四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(13分)已知在等差數(shù)列{an}中,a1=60,a17=12,求數(shù)列{|an|}的前n項和.解:由a1=60,a17=12知,等差數(shù)列{an}的公差d=a17-a所以an=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由an≤0,即3n63≤0,得n≤21,即{an}中前20項是負(fù)數(shù),從第21項起為非負(fù)數(shù).設(shè)Sn和Sn'分別表示{an}和{|an|}的前n項和.當(dāng)n≤20時,Sn'=Sn=-60n+3n(n-1)2當(dāng)n>20時,Sn'=S20+(SnS20)=Sn2S20=60n+3n(n-1)22-60綜上,Sn'=-16.(15分)已知函數(shù)f(x)=x32ax2+bx+c,(1)當(dāng)c=0時,f(x)在點P(1,3)處的切線平行于直線y=x+2,求a,b的值;(2)若f(x)在點A(1,8),B(3,24)處有極值,求f(x)的解析式.解:(1)當(dāng)c=0時,f(x)=x32ax2+bx,則f'(x)=3x24ax+b.由題意得f(1)=3,f'(1)=1,即1解得a(2)因為f(x)=x32ax2+bx+c,所以f'(x)=3x24ax+b.由題意知1,3是方程3x24ax+b=0的兩根,所以-解得a=32,b=9由f(1)=12ab+c=8,a=32,b=可得c=3,所以f(x)=x33x29x+3.檢驗知,符合題意.17.(15分)已知成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3,b4,b5.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列Sn+(1)解:設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為ad,a,a+d.依題意得ad+a+a+d=15,解得a=5.所以數(shù)列{bn}中的b3,b4,b5依次為7d,10,18+d.依題意得(7d)(18+d)=100,解得d=2或d=13(舍去).故數(shù)列{bn}是第3項為5,公比為2的等比數(shù)列.所以其通項公式為bn=b3·qn3=5·2n3.(2)證明:數(shù)列{bn}的前n項和Sn=54(1-2n)1即Sn+54=5·2n2所以S1+54=5因此Sn+54是以518.(17分)設(shè)函數(shù)f(x)=a2lnxx2+ax(a>0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求所有使e1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立的a的值.(注:e為自然對數(shù)的底數(shù))解:(1)函數(shù)f(x)=a2lnxx2+ax(a>0)的定義域為(0,+∞),f'(x)=a2x2x+a=由于a>0,故當(dāng)x∈(0,a)時,f'(x)>0,于是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a);當(dāng)x∈(a,+∞)時,f'(x)<0,于是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,+∞).(2)由題意得f(1)=a1≥e1,則a≥e.由(1)知f(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,要使e1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立,只需f(1)=因此當(dāng)a=e時,e1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立.19.(17分)已知函數(shù)f(x)=lnxf'(1)·x+lne2,g(x)=3x2-2xf(x)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù)h(x)=x2x+m,若存在x1∈(0,1],對任意的x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)∵f'(x)=1xf'(1),∴f'(1)=1f'(1)∴f'(1)=12.∴f(x)=lnx12x+ln∴f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1x∵當(dāng)0<x<2時,f'(x)>0;當(dāng)x>2時,f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞).(2)∵g(