圓周角重難點題型專訓（八大題型）（解析版）

第二十四章圓

專題17圓周角重難點題型專訓（八大題型）

言【題型目錄】

題型一圓周角的概念辨析

題型二圓周角定理

題型三同弧或等弧所對的圓周角相等問題

題型四半圓所對的圓周角是直角問題

題型五90°的圓周角所對的弦是直徑問題

題型六已知圓內(nèi)接四邊形求角度

題型七求四邊形外接圓的直徑

題型八圓周角綜合問題

【知識梳理】

知識點一、圓周角

1.頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）

2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應的其余各組量分別相等.

圓周角定理及其推理

名稱文字語言幾何語言圖示

一條弧所對的圓周角等于它所NA是里更對的一個圓周角”

定理對的圓心角的一半NBOC是前所對的一個圓心角K--

.,.ZA=|ZBOC\j/

??.NC、ND都是前---所--對--圓--周--角---，-------------，爭

同弧或等弧所對的圓周角相等；

推理

---------------------------------------------------------D

---公康半圓（AB是直徑），=NC=ZD=90°

半圓（或直徑）所對的圓周角是90。；

90。的圓周角所對的弦是直徑.■.ZC=90o或ND=90°,1.AB是。O的直徑'o―TP

3.一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角。

圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

幾何語言

???四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形,

.,?ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180"

41經(jīng)典例題一圓周角的概念辨析】

1.（2020秋?浙江寧波?九年級?？计谥校┫铝姓f法：（1）三點確定一個圓；（2）直徑所對的圓周角是直角；

（3）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；（4）相等的圓心角所對的弧相等；（5）圓內(nèi)接四邊形

的對角互補.其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)確定圓的條件、直徑的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：（1）任意三點確定一個圓；錯誤，應該是不在同一直線上的三點可以確定一個圓；

（2）直徑所對的圓周角是直角；正確；

（3）平分弦的直徑垂直于弦；并且平分弦所對的弧，錯誤，直徑與直徑互相平分，但不一定互相垂直；

（4）相等的圓心角所對的弧相等；錯誤，應該是在同圓或等圓中；

（5）圓內(nèi)接四邊形對角互補；正確；

故選：B.

【點睛】本題考查確定圓的條件、直徑的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解

題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD的頂點A,B,C在圓上，且邊CD與該圓交于點

E,AC,BE交于點F.下列角中，弧AE所對的圓周角是（）

dD

B

A.ZADEB.ZAFEC.zABED.ZABC

【答案】C

【分析】直接運用圓周角的定義進行判斷即可.

【詳解】解：弧AE所對的圓周角是：NABE或NACE

故選：C

【點睛】本題考查了圓周角的定義，掌握圓周角的定義是解題的關鍵.

3.（2023?湖南婁底?校考一模）已知點A、B、C、。在圓。上，且ED切圓。于點。，OELCD于點E,

對于下列說法：①圓上應是優(yōu)?。孩趫A上癡是優(yōu)??；③線段/C是弦；④和乙”）廠都是圓周

角；⑤/CCM是圓心角，其中正確的說法是.

【答案】①②③⑤

【分析】根據(jù)優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項分析判斷即可

【詳解】解：AbB，痂都是大于半圓的弧，故①②正確，

???4C在圓上，則線段4C是弦；故③正確；

C,4。都在圓上，

是圓周角

而尸點不在圓上，則9不是圓周角

故④不正確；

'''。是圓心，C,N在圓上

是圓心角

故⑤正確

故正確的有：①②③⑤

故答案為：①②③⑤

【點睛】本題考查了優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義，理解定義是解題的關鍵.優(yōu)

弧是大于半圓的弧，任意圓上兩點的連線是弦，頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，頂點

在圓心，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角.

4.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，直線/經(jīng)過。。的圓心O,且與。。交于48兩點，點C在。。

上，且//OC=30°,點尸是直線/上的一個動點（與圓心。不重合），直線C尸與。。相交于另一點。，如

果。尸=。。，則/。。尸=_.

【分析】點尸是直線/上的一個動點，因而點尸與線段工。有三種位置關系，在線段上，點P在。延

長線上，點尸在0/的延長線上.分這三種情況進行討論即可.

【詳解】解：①根據(jù)題意，畫出圖1,

在AQOC中，oc=。。，

ZOQC=ZOCP,

在△OP。中，QP=QO,

ZQOP=ZQPO,

XvZAOC=30°,

...ZQPO=ZOCP+ZAOC=ZOCP+30°,

在△OPQ中，ZQOP+ZQPO+ZOQC=i80°,

gp(ZOCP+30°)+(ZOCP+30°)+ZOCP=l80°,

整理得，3ZOCP=120°,

ZOCP=40°

②當尸在線段04的延長線上，如圖2

Q

OJA\

???OC=OQ,

ZOQP=(180°-NQOC)x；①，

OQ=PM,

NOPQ=(180°-ZOQP)x；②，

在AOQP中，30°+ZQOC+ZOQP+ZOPQ^180°③,

把①②代入③得/。。。=20。，則NOQP=80。

ZOCP=100°；

③當P在線段ON的反向延長線上，如圖3,

ZOCP=ZOQC=(180°-NCOQ)x；①，

VOQ=PQ,

/P=(18OO-/O0P)x；②，

???ZAOC=30°,

ZCOQ+ZPOQ=150。③,

■：NP=/POQ,2NP=ZOCP=ZOQC?,

①②③④聯(lián)立得NP=10°，

ZOCP=l80°-150°-10°=20°.

故答案為:40。、20°、100°.

【點睛】本題主要考查了圓的認識及等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，畫出圖形，進行分類討論是解題的關

鍵.

5.(2023?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模)把下面的語句還原成圖形:

(1)OM的半徑為1cm,N8是。M的一條弦(22不經(jīng)過M),NAMB、//CB分別是劣弧令所對應的圓

心角和圓周角；

(2)方是。。中的一條弧，且蕊=族.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)畫非直徑的弦N2,在優(yōu)弧右上取點C,連接/C,BC,即可解答;

(2)在。M上取一點。，以為半徑畫弧，交。M于點E,即可.

【詳解】(1)解：如圖，44Ae和N/C3為所作;

(2)解：如圖，在。河上取一點。，以48為半徑畫弧，交?！庇邳cE,根據(jù)等弦對等弧,可得蕊=花，

方即為所作,

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解

乘基本作圖，逐步操作即可.

6.(2023秋?河南信陽?九年級統(tǒng)考期末)(1)【學習心得】

小明同學在學習完'圓''這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問

題變得非常容易.

例如如圖1,在ZkABC中，AB=AC,ABAC=9Q°,。是外一點，且4D=/C,求乙BDC的度數(shù).若

以點/為圓心，N8為半徑作輔助則點C、。必在ON上，N8/C是。/的圓心角，而N8DC是圓周角，

從而可容易得到°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形4BCD中，乙BAD=^BCD=90。,乙BDC=27°,求乙&1C的數(shù).

(3)【問題拓展】

如圖3,E,尸是正方形4BCD的邊AD上兩個動點，滿足尸.連接C尸交AD于點G,連接AE交NG

于點若正方形的邊長為4,則線段。〃長度的最小值是.

【答案】(1)45；(2)27°；(3)2^5-2

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由/、B、C、。共圓，得出

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得48=/。=。。，乙BAD=￡CDA,UDG=ACDG,然后利用“邊角邊”證明A48E和

△DCF全等,根據(jù)全等三角形對應角相等可得41=42,利用￡4年證明ZkADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角

形對應角相等可得乙2=/3,從而得到41=43,然后求出乙4期=90。，取的中點。，連接OH、OD,根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得?！?。/3=2,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形

的三邊關系可知當O、D、〃三點共線時，?！ǖ拈L度最小.

【詳解】解：(1)如圖1,

'-AB=AC,AD=AC,

???以點/為圓心，為半徑作輔助。4則點8、C、D必在。力上,

?.ZR4C是。/的圓心角，而MOC是圓周角，

???^BDC=三乙BAC=45°,

故答案是：45；

(2)如圖2,

圖2

取AD的中點。，連接40、C0.

,:乙BAD=^BCD=9U°,

.?.點4B、C、。共圓，

???乙BDC=Z-BAC,

vz5DC=27°,

：/BAC=ZT,

(3)如圖3,

圖3

在正方形48。。中，AB=AD=CD,(BAD=(CDA,乙ADG—CDG,

在ZUBE和△DCF中,

AB=CD

<ABAD=/CDA,

AE=DF

??.△ABEzADCF(SAS),

.??Z1=Z2,

在A4OG和△C7X?中，

AD=CD

<ZADG=ZCDG,

DG=DG

.--AADG=ACDG(SAS)f

.??z2=z3,

?,?41=43,

?:乙BAH+公=Z.BAD=90°,

.?zl+必4H=90。，

???乙4//=180。-90°=90°,

取48的中點O,連接OH、OD,

則OH=AO=3AB=2,

在RtAAOD中，OD=^AO2+AD2=722+42=2VL

根據(jù)三角形的三邊關系，OH+DHAOD,

.?.當O、D、〃三點共線時，的長度最小,

最小值=OD-OH=I4S-2.

故答案為：2舊-2.

【點睛】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,

熟練掌握圓的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關鍵.

J［經(jīng)典例題二圓周角定理】

1.（2023春?福建福州?九年級?？计谥校┤鐖D，點N,B,C,。在。。上，ZAOC=140°,3是弧/C的中

點，則/。的度數(shù)是（）

35°C.45°D.70°

【答案】B

【分析】連接03,如圖，利用圓心角、弧、弦的關系，然后根據(jù)圓周角定理求解.

【詳解】解：連接05,如圖所示,

■-B是弧ZC的中點,

即功=前，

ZAOB=ACOB=-ZAOC=-xl40°=70°,

22

和//O8都對標，

.-.ZD=-ZAOB=35°.

2

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理：熟練掌握圓心角、弧、弦的關系和圓周角定理是解決問題的關鍵.

2.（2023春?陜西榆林?九年級?？计谥校┤鐖D，。。是“8C的外接圓，且48是。。的直徑，點。在。。

上，連接。。、BD,且2O=8C,若N8OD=50。，則248c的度數(shù)為（）

A.65°B.50°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根據(jù)=得出N3/C=；NBOO=25。，根據(jù)月3是。。的直徑，得出//C3=90。，最后根據(jù)

直角三角形兩銳角互余，即可解答.

【詳解】解：,??8O=3C,ZBOD=50°,

NBAC=LNBOD=25°,

2

???AB是。。的直徑，

.-.ZACB=90°,

/ABC=90°-ZACB=65°,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，解題的關鍵是在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角是圓心角

的一半，直徑所對的圓周角是直角.

3.Q023秋?黑龍江哈爾濱?九年級校考開學考試）如圖，48是。。的一條弦，,垂足為點C,交。。

于點D,點E在。。上，NAED=3Q°,OB=10,則弦AB的長是.

【答案】10也

【分析】根據(jù)垂徑定理得到花=麗，結合44即=30。得到Z8QD=60。，結合三角函數(shù)直接求解即可得

到答案；

【詳解】W："ODLAB,

???AD=BD，4B=2BC,

??,NAED=30。，

/.ZBOD=60°,

??.NQBC=30。，

???03=10,

/.OC=—OB=5,

2

??BC=yJOB2-OC2=573，

???AB=1073，

故答案為：ioG.

【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理及勾股定理，解題的關鍵是得到介=筋.

4.（2023秋?九年級課時練習）如圖，已知是半圓。上的三等分點，連接ZCICC。。。*。和。。相

交于點E,有下列結論：?ZCBA=30°；@OD1BC■（3）OE=^AC；④四邊形NODC是菱形.其中

正確的有（填序號）.

【答案】①②③④

【分析】①首先根據(jù)點C,。是半圓。上的三等分，求出//OC的度數(shù)然后根據(jù)圓周角定理，求出/CR4

的度數(shù)即可；②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出/8￡。=90。，即可判斷出O0L3C；③根據(jù)垂徑定理判

斷出￡是的中點，然后得到C史是的中位線，即可判斷出=④先證明/C〃OD,再證

明“OC是等邊三角形，得到NC=CM=OD,根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形NOAC是菱形.

【詳解】解：連接OC,

?.?已知C,。是半圓。上的三等分點,

NAOC=NCOD=ZBOD=L180。=60°,

3

ZCBA=11x60=30°,故①正確；

ZBEO=180°-ZBOD-ZCBA=180°-60°-30°=90°,

■.OD1BC,故②正確；

BE=CE,OB=OC,

??.OE是△/C2的中位線，

.-.OE=^AC,故③正確；

AB是半圓。的直徑，

AC1BC,又OD1BC,

AC//OD,

OC=OA,ZAOC=60°,

??.ooc是等邊三角形，

AC=OA=OD,

二四邊形/ODC是平行四邊形，5LAC=OA,

.??四邊形/ODC是菱形.故④正確，

故答案為：①②③④.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦三者的關系，菱形的判定和性質(zhì)，等邊

三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定義及中位線性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬

于中考?？碱}型.

5.(2023春?安徽?九年級專題練習)如圖1,已知N8為。。的直徑，C為。。上一點，CEJ.AB于E,D為

弧的中點，連接分別交CE、C8于點廠和點G.

(1)求證：CF=CG；

(2)如圖2,若AF=DG,連接。G,求證：0GL/2.

【答案】(1)見解析

（2）見解析

【分析】（1）連接NC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得=90。，從而可得NC4G+zJGC=90。，根

據(jù)垂直定義可得NC￡/=90。，從而可得NE4￡+NNFE=90。，然后根據(jù)已知可得比=屬，從而可得

NC4G=NFAE,進而可得ZAGC=ZAFE,最后根據(jù)對頂角相等可得NAFE=NCFG,從而可得NAGC=4CFG

進而根據(jù)等角對等邊即可解答；

（2）連接/C,CD,利用（1）的結論，再根據(jù)等角的補角相等可得44FC=NCG。，然后根據(jù)SAS證明

△AFC為DGC,從而可得NC=C。，進而可得就=比=筋，最后根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得

ZABC=ZDAB,從而可得GN=GB,進而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）證明：連接/C,

48為。。的直徑，

:"ACB=90°,

■.ZCAG+ZAGC=90°,

■■CE1AB,

ACEA=90°,

ZFAE+ZAFE=90°,

■■-D為弧8c的中點，

■■DC=DB^

??.ZCAG=ZFAE,

.?.ZAGC=ZAFE,

??.ZAFE=/CFG,

ZAGC=/CFG,

.-.CF=CG；

(2)解：連接4C,CD,

-ZCFG=ZCGF,

??.180?！狽CFG=180°-NCGF,

/AFC=ZCGD,

-CF=CG,AF=DC,

???△/7C二Z)GC(SAS),

：.AC=CD,

-AC=DC^

■:DC=DB，

???AC=DB，

???/ABC=NDAB,

：.GA=GB,

?/OA-OB,

/.GO1AB.

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o

助線是解題的關鍵.

6.(2022秋?江蘇鹽城?九年級?？茧A段練習)如圖，是。。的一條弦，ODLAB,垂足為點C,交。。

于點。，點E在。。上.

(1)若￡)/0。=50。，求/DE3的度數(shù);

(2)若。。=6,OA=10,求48的長.

【答案】（1）25。

（2）AB的長為16

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論可得「方=防，再根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解

即可；

（2）利用勾股定理列式求出/C,根據(jù)垂徑定理的推論可得4C=5C,即可求解.

【詳解】（1）解：???48是。。的一條弦，OD1.AB,

■■AD=DB^

又「EM00=50°,

ADEB=-Zy4<9D=-x50°=25°.

22

（2）解：-：ODLAB,

：.^AOC=90°,

在Rt^AOC中，AC=^OA2-OC2=V102-62=8，

???43是。。的一條弦，OD±AB,

：.AC=BC,

貝i|4B=/C+C2=2/C=16.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，解題的關鍵是明確在同圓或等圓中，同弧或等弧所對

的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

【經(jīng)典例題三同弧或等弧所對的圓周角相等問題】

1.（2021春?福建南平?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，A/CD是。。的內(nèi)接三角形，AC=CD,連接/。并延

長交。。于點2,連接3C,若NA4C=32。，則//CD等于（）

A.64°B.62°C.60°D.58°

【答案】A

【分析】先證明/ZC5=90。，可得乙4。。=445。=90。—32。=58。，證明NC4。=/4DC=58。，再利用三

角形的內(nèi)角和定理可得答案.

【詳解】解：???28為。。的直徑，

：.NACB=90°,

?；NB4c=32°,

ZADC=ZABC=90°-32°=58°,

AC=CD,

ACAD=AADC=58°,

.??//CD=180°-2x58°=64°；

故選A.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應用，熟記圓周角定理是解本題的關鍵.

2.（2022?北京西城??？寄M預測）如圖，△4DC內(nèi)接于OO,2C是。。的直徑，若44=66。，則乙BCD

等于（）

A.66°B.34°C.24°D.14°

【答案】C

【分析】根據(jù)同弧所對圓周角相等得到=66。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到/8DC=90。，根

據(jù)直角三角形兩銳角互余，得到/8。=24。.

【詳解】「4=66。,

；"B=N4=66°,

?."C是。。的直徑，

/BDC=90。,

.?.N3CZ）=90°-66°=24°.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理及推論.熟練掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，直角三角形兩銳角互余，是解決問題的關鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，”8C內(nèi)接于。。，48是。。的直徑，點。是。。上一點，

【分析】根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論.

【詳解】解：?.78是。。的直徑，

NACB=90°,

■：N4=/D=55°,

ZABC=180°-ZACB-ZA=35°,

故答案為：35.

【點睛】本題考查了考查了圓周角定理、三角形的外接圓與外心，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵.

4.（2023?云南德宏?統(tǒng)考一模）已知：如圖，是。。的直徑，48垂直弦于點E,則在不添加輔助線

的情況下，圖中與NCD3相等的角是—（寫出一個即可）.

【答案】NG48或/BCD或—DAB

【分析】利用垂徑定理和圓周角定理即可求解.

【詳解】48是。。直徑,

BC=BD，

：.ZCDB=NCAB=ZBCD=ZDAB,

故答案為：/C4B或NBCD或NDAB.

【點睛】此題考查了垂徑定理和圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握以上定理的應用.

5.（2023秋?九年級課時練習）如圖所示，四邊形48CD內(nèi)接于。。，

NB=50°,ZACD=25°,ABAD=65°.

(1)^D=CD；

(2)45是。。的直徑.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】Q)連接8。，根據(jù)圓周角定理得/1=44。。=25。，再由乙43。=50?？捎嬎愠?2=25。，則行=麗,

然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關系即可得到4。=8；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出乙4。5=180。-=90。，則根據(jù)圓周角的推理即可得到23為。。

的直徑.

【詳解】(1)證明：連接5。，如圖，

Zl=ZACD=25°,

而/Z5C=50。，

Z2=/ABC-Zl=50°-25°=25°,

.*.Z1=Z2,

tAb=CD^

AD=CD；

(2)/BAD=65。,Nl=25。，

ZADB=180°-Zl-/BAD=180°-65°-25°=90°,

.ZB為。。的直徑.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

6.(2022秋?甘肅定西?九年級統(tǒng)考期末)已知：。。的兩條弦4B,CD相交于點“，且48=8.

圖1圖2

(1)如圖1,連接ND.求證：AM=DM.

⑵如圖2.若在而上取一點E,使防=前，4E交CD于點尸，連接.判斷NE與NDFE

是否相等，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)/￡與/。相相等.理由見解析

【分析】⑴根據(jù)得益=①，即蠢?+命=瓦?+麗，AC=BD＜得/A=/D,即可得；

(2)連接/C,根據(jù)防=前得NC48=NE48,根據(jù)4B，CD得/C=/尸，即乙4。尸=乙4/C,根據(jù)

N4CF=NE,ZAFC=ZDFE,即可得.

【詳解】(1)證明：,??48=CD,

:.AB^CD

口n、一、1,、一.、—

即/C+5C=5C+5。，

:.AC=BD^

NA=/D,

，AM=DM.

(2)與/立花相等.理由如下:

解：連接/C,如圖，

???BE=BC，

/CAB=/EAB,

?/ABVCD,

:.AC=AF,

ZACF=/AFC,

???NACF=NE,ZAFC=NDFE,

/.ZDFE=ZE.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握圓周角定理，垂經(jīng)定理，角、弧、弦的關系.

_31經(jīng)典例題四半圓所對的圓周角是直角問題】

1.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，在“中，AC=BC,OO是一的外接圓，48是O。的

直徑，點。在。。上，連接CQ交4g于點連接0。，若/5。。=120。，則/3瓦＞的度數(shù)為（）

75°C.100°D.105°

【答案】D

【分析】連接5。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/。8。=/。。5=30。，根據(jù)平角的定義得到

N/8=180。-120。=60。，根據(jù)圓周角定理得到/ZCB=90。，求得乙4=45。，根據(jù)圓周角定理得到

NCQ3=N/=45。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結論.

【詳解】解：連接班,

?/OD=OB,ZBOD=120°,

ZOBD=ZODB=30°,ZAOD=180°-120°=60°,

是。。的直徑，

ZA=ZABC=45°,

■：AC=BC,

N4=45°,

ZCDB=ZA=45°,

ZCDO=ZCDB-NODB=15°,

ABED=180°-60°-15°=105°,

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是

解題的關鍵.

2.（2022?河北衡水??？寄M預測）如圖，點4B,C在。。上，BC//OA,連接80并延長，交。。于點

D,連接4C,DC.若/D=40°,下列結論不正確的是（）

A.4=50。B.直線垂直平分。。C.AA=-ABD.4c8=30。

2

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理可得/BCD=90。，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出-8,A選項即可判斷；根據(jù)平行

的性質(zhì)及圓周角定理設44==貝ijN8O4=2x,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出x的值，從而求出

/ACB,ZAOB,從而可判斷C、D選項；延長/。交于點E,根據(jù)對頂角相等可得到NDOE,

從而求出/?！?。=90。，再結合垂徑定理可判斷出/。與CD的關系，即可判斷出選項B.

【詳解】解：如圖，延長/。交CO于點E,

Qa）是。。的直徑,

二./BCD=90°,

/B=1800—々CD-ZD=180°-90°-40°=50°,

故A選項正確，不符合題意；

??.BC//OA,

設==貝ij/5cM=2x,

x+2x=50°+x

x=25°,

:.NACB=NA=25。,ZBOA=50°

廠?故D選項不正確，符合題意；

ZB=50°,

:.ZA=-ZB；

2

故C選項正確，不符合題意；

根據(jù)對頂角相等可得：ZDOE=ZBOA=50°,

ZOED=180°-50°-40°=90°,

OE±CD,

是圓心，

DE=CE,

直線AO垂直平分CD；

故B選項正確，不符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查圓周角定理及垂徑定理，涉及到垂直平分線的定義、三角形內(nèi)角和等，解題關鍵是熟練

運用圓周角定理和垂徑定理.

3.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，40是。。的直徑，/8C是。。的內(nèi)接三角形.若ND4C=N4BC,

AC=4,則。。的直徑ND=.

【答案】45

【分析】連接CD,OC,根據(jù)在同圓中直徑所對的圓周角是90?？傻?/0=90。，根據(jù)圓周角定理可得

NCOD=NCOA,根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關系可得NC=CZ）,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接C。，OC,如圖：

C

ZACD=90°,

???ZDAC=/ABC,

ZCOD=ZCOA,

：.AC=CD,

又T/C=4,

;CD=4,

在RtAZC。中，AD=YIAC2+CD2=A/42+42=472-

故答案為：4V2.

【點睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是90。，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關系，勾股定

理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

4.（2022秋?江蘇泰州?九年級?？茧A段練習）如圖，己知。。的直徑N8,。為。O上一點（不與A、8重

合），連接40、BD.弦DC平分/工。2,交AB于點、E,過點A作/尸，CD于點尸，交。。于點G,連

接DG,若DG=AE,則NG的度數(shù)為°.

D

w

c

【答案】67.5

【分析】DG交AB于H,如圖，根據(jù)圓周角定理得到乙4。3=90。，則/）。。=45。，再證明/CU尸=45。,

AF=DF,則可判斷RLZKFZRMOG尸，所以/EAF=NGDF,接著證明/。=乙4在=90。，則根據(jù)垂徑

定理得到麗=前，然后根據(jù)圓周角定理得到"4G="40=22.5。，最后利用互余可計算出NG的度數(shù).

【詳解】解：DG交AB于H,如圖，

???。。的直徑45,

:.ZADB=90°f

???弦。C平分

:.ZADC=45°,

AFLCD,

ZAFD=90°,

ZDAF=45°fAF=DF,

在KAAEF和RtADGF中,

[AE=DG

[AF=DF"

...RMZ￡尸ZRtziQGb(HL),

ZEAF=ZGDF,

???ZAEF=ZDEH,

NDHE=ZAFE=90°,

/.ABLDG,

BD=BG，

ABAG=ABAD=-ZDAG=22.5°,

2

NG=90°-ZGAH=67.5°.

故答案為：67.5.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定

理.

5.（2023春?浙江杭州?九年級?？茧A段練習）已知：如圖，點E是邊長為2的正方形中邊上一點

（不與/、5重合），以CE為直徑的。。分別交。E和于點RM,DH_LCE于點、H.

⑴求證：BE=CM

（2）猜想/￡與"E的大小關系，并說明理由.

（3）當。尸=C"時，求△￡）￡〃的面積.

【答案】（1）見解析

Q）AE<HE,理由見解析

【分析】（1）連接用以，根據(jù)正方形性質(zhì)得出==90。，根據(jù)直徑所對圓周角為直角得出

Zt7ie=90°,證明四邊形AEMC為矩形，即可求證

（2）根據(jù)題意可得N/=NZVffi=90。，ADCD,在中，DH<CD,則根據(jù)勾股定

理得出/￡2=?！?-血)2,HE?=DE?-DH?，得出/爐<加2,則/￡<〃￡；

(3)連接CF,證明RtACO尸0RtAOC7/(HL),得出/DCH=NCDE,則。E=C￡,根據(jù)三線合一得出

CM=DM=gcD=\,即可用勾股定理求出OE=CE=?,根據(jù)，求出

?！?逑，在RtZXDEH中，用勾股定理求出￡〃=述，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解.

55

【詳解】(1)解：連接加0,

?.?四邊形/BCD為正方形，，

:"B=NBCM=90°,

???CE為。。直徑，

：./OE=90°,

.??四邊形3EMC為矩形，

BE=CM；

???四邊形45C。是正方形，DHVCE,

=ADHE=90°,AD=CD,

?在RtADC”中，DH<CD,

DH<AD,

在RS/DE中，根據(jù)勾股定理可得：AE2=DE2-AD2-

在RtZiHOE中，根據(jù)勾股定理可得：HE2=DE--DH2,

???AE2<HE1，^AE<HE-,

（3）解：連接CF,

?：CE為OO直徑,

ZCFE=ZCFD=90°,

在RtAC￡>F和RtADCH中，

(CD=DC

[CH=DE'

...Rt^CDF^RtADCH(HL),

ZDCH=ZCDE,

則DE=CE,

由(1)可得/=90°,

.-.CM=DM=-CD=l,

2

?.?四邊形8EMC為矩形，

EM=BC=2,

在RtzXCME1中，根據(jù)勾股定理可得：CE=ylcM2+EM2=75>

貝I]DE=CE=5

■.■S=-DC-EM=-CEDH,

nrF22

：.DC-EM=CEDH,即2x2=同)H,

解得：DH=迫,

5

__________3/7

在RtZXOEH中，EH^^DE1-DH1=—,

5

.a_1nrr八0」3754V5_6

△DEH22555

D

A

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相關性質(zhì)定理，并熟練運用，正確作出輔助線，構造矩形和

全等三角形.

6.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，點2,C為0。上兩定點，點N為。。上一動點，過點8作

BE//AC,交。。于點E,點。為射線2C上一動點，且NC平分2氏4。，連接CE.

⑴求證：AD//EC；

（2）連接若BC=CD,試判斷四邊形E3C4的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）四邊形E8C4是矩形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，可得=再根據(jù)圓周角定理可得/E=NB/C,再根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得進而得到NEC4=ND4C,最后再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可證明結

論；

（2）由角平分線的定義，可得=乙D2C,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得

NACB=NACD=90。，即N/E8=90。，進而得到NE8C==90。，再根據(jù)矩形的判定定理，即可得出

答案.

【詳解】（1）證明：MC平分/A4。，

ABAC=ADAC,

???NE=ABAC,

??"E=/DAC,

-BE//ACf

=/ECA,

???/ECA=ZDAC,

EC//AD.

（2）解：四邊形防C4是矩形，理由如下：

???/C平分N54D,

ABAC=ADAC,

又?.?BC=CD,

："ACB=/ACD=9。。,

.??/5為00的直徑.

???ZAEB=90°,

BE//AC,

：.ZEBC=/ACD=90°,

???四邊形EBCZ是矩形.

【點睛】本題主要考查圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定定理，靈活運

用相關知識是解答本題的關鍵.

J【經(jīng)典例題五90°的圓周角所對的弦是直徑問題】

1.（2023秋?江蘇?九年級專題練習）如圖，08c是等邊三角形，AB=2,點、P是“BC內(nèi)一點、,且

ZBAP-ZCBP=30°,連接“，則C尸的最小值為（）

A

C.2-V3D.V3-1

【答案】D

［分析］根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NABC=60。，AB=BC=AC,繼而推出NAPB=90°，可得點尸在以

為直徑的圓上，得知當C,D,尸三點共線時，C尸最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】解：是等邊三角形,

ZABC=60°,AB=BC=AC,

?;NBAP-NCBP=3Q0,

ZBAP-(60°-NABP)=30°,

整理得：ZBAP+ZABP=90°,

則//P8=90°,

.??點P在以4B為直徑的圓上，

如圖，設45的中點為。，連接DP,即。P長度不變,

:.CP+DP>CD,

二當C,D,尸三點共線時，CP最小，此時

???AB=BC=AC=2,

.-.DP=^AB=\,CD=4BC1~BD-=73-

C尸的最小值為CD—OP=G—］,

故選D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，三角形三邊關系的應用，解題的關鍵是

根據(jù)已知條件推出ZAPB=90°,得到點尸在以N8為直徑的圓上.

2.（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，正方形/3CD中，48=12,點P為邊。N上一個動點，連接

CP,點￡為CD上一點，且?！?4,在AB上截取點。使￡0=。尸，交CP于點"，連接,則的最

小值為（）

A.8B.12C.4N/16-4D.783-5

【答案】C

【分析】如圖所示，過點E作￡尸，Ag于尸，當點尸運動時，點〃在以CE為直徑的半圓上，即點初在圓

心為。的半圓上運動，當點M運動到。連線上時，BM的值最小,根據(jù)題意可證Rt△斯00RQC。尸（HL）,

由此可證ACEN是直角三角形，可得點〃在以CE為直徑的半圓上運動，可求出半圓的半徑，在Rt^BC。

中，可求出。8的長，由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點E作A8于尸，連接30,如圖所示:

?.?四邊形/BCD是正方形,

AB=BC=CD=AD=12,NA=NABC=NBCD=ND=NEFQ=90：

???EF±AB,

.?.四邊形AFED是矩形，則AD=￡尸=。，

在RtAEFQ和RtACDP中，

[EQ=CP

\EF=CD'

RtZ\EF0名RtZkCDP(HL),

；./FEQ=/DCP,

vZFEQ+ZCEM=ZCEF=90°,

.?.ZDCP+ZCEM=90°,

ZEMC=9Q°,即是直角三角形，

???當點尸運動時，點〃在以CE為直徑的半圓上運動，設圓心為O,當點“運動到C石連線上時，8M的值

最小，

?.。=12,。￡=4,

CE=CO-OE=12-4=8,則半圓的半徑=OC=-C￡=-x8=4,

22

在RtA5CO中，＜JB=^OC2+BC2=V42+122=4710，

當點〃"運動到03連線上時，8M的值最小，

??.8A/的最小值為4而-4,故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查正方形與圓的結合求最值，理解動點的運動規(guī)律，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關鍵.

3.（2023?重慶?九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，四邊形/3CD是矩形，=4,=6,點￡是平面內(nèi)的一個

動點，連接/￡、DE,在運動的過程中，/E始終垂直于?！?將NE繞點A順時針旋轉90。得到的，連接

【答案】V37+3

【分析】先通過則可判斷點E在4D為直徑的圓上運動，將4D繞點A順時針旋轉90。至ADL

設4D'的中點為“，則點E在4D'為直徑的圓上運動，當點C,M,尸三點共線時，CF有最大值，最后

利用勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，

AEIDE,

：.AAED=90°,

???點E在4D為直徑的圓上運動，

將AD繞點A順時針旋轉90°至4D',設ND的中點為M,

又???AEVAF,

二由題意可知點E在AD'為直徑的圓上運動，

當點C,M,尸三點共線時，C尸有最大值，

???四邊形N3CD是矩形，

AD=BC=6,AB=4,ZABC=90°,

?；4D=4D'=6,"為/D中點，

.■.AM=3,BM=1,

在RtA"C中，由勾股定理得：CM=y/BM2+BC2=Vl2+62=737-

??.CF的最大值為：V37+3.

【點睛】此題考查了旋轉變換和圓有關的概念，解題的關鍵是正確理解點￡,下的運動路徑是圓.

4.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，ZABC=ABAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點￡在線段3c上運動，點/在線段/E上，ZADF=ZBAE,則線段BF的最小值為.

【答案】V29-2/-2+V29

【分析】設AD的中點為。，以為直徑畫圓，連接03,設03與。。的交點為點尸"證明/DE4=90。,

可知點尸在以為直徑的半圓上運動，當點尸運動到03與。。的交點產(chǎn)，時，線段BF有最小值，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：設/。的中點為。，以ND為直徑畫圓，連接。5,設。與。。的交點為點一，

NABC=ABAD=90°,

AD//BC,

/.NDAE=AAEB,

"ZADF=ZBAE,

ZDFA=ZABE=90°,

.?.點/在以為直徑的半圓上運動，

???當點廠運動到OB與。。的交點F'時，線段BF有最小值,

AD=4,

：.AO=OF'=-AD=1,,

2

BO=A/52+22=V29，

BF的最小值為亞-2，

故答案為：V29-2.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點尸的運動

軌跡是解題的關鍵.

5.(2022秋?福建福州?九年級統(tǒng)考期中)正方形43。邊長為4,點￡為平面內(nèi)一點，以CE為腰作等腰直

角ACEF,其中/EC尸=90。，ACEF可繞點C旋轉.

⑴如圖1,連接BE,DF.

①求證：4BCE會4DCF；

②判斷與