圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題與長(zhǎng)度和、差、商、積問題【八大題型】原卷版-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

錐曲線中的弦長(zhǎng)問題與長(zhǎng)度和、差、商、積問題

【八大題型】

?題型歸納

【題型1橢圓的弦長(zhǎng)問題】.....................................................................2

【題型2雙曲線的弦長(zhǎng)問題】...................................................................3

【題型3拋物線的弦長(zhǎng)問題】...................................................................4

【題型4長(zhǎng)度及其最值(范圍)問題】..........................................................5

【題型5長(zhǎng)度之和問題】.......................................................................6

【題型6長(zhǎng)度之差問題】.......................................................................7

【題型7長(zhǎng)度之商問題】.......................................................................8

【題型8長(zhǎng)度之積問題】.......................................................................9

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題與長(zhǎng)度和、差、商、積問題

圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，弦長(zhǎng)問題與長(zhǎng)度和、差、商、積問題

是考查的重要方向，以選擇題或填空題的形式考查時(shí)，難度不大；以解答題的形式考查時(shí)，有時(shí)會(huì)與向量、

數(shù)列等知識(shí)結(jié)合考查，難度較大；聯(lián)立直線與圓錐曲線方程并靈活運(yùn)用弦長(zhǎng)公式是解決此類問題的關(guān)鍵，

復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題】

1.橢圓的弦長(zhǎng)問題

(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

Y2V2

⑵弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線/:片如?+加交橢圓層+會(huì)=1(a>6>0)于z,尸2(電了2)兩點(diǎn),

則出Al=,1+左2比一X1或田尸B—y2\.

2.雙曲線的弦長(zhǎng)問題

2

(1)弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d=y/1+k\xi-x?\=+-p\yi-y2\■

(2)解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

(3)處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

(4)雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還

是在〉軸上，雙曲線的通徑總等于”2b.2

3.拋物線的弦長(zhǎng)問題

設(shè)直線與拋物線交于/(4,%),乃)兩點(diǎn)，則

2

|/3|=M(1+r)(%—Xz)2=y/\+k-，(％+X2)2—4X1X2或

|叫=1+—處)2=+(?,5+處尸—4乂為(左為直線的斜率，存0).

4.弦長(zhǎng)公式的兩種形式

(1)若43是直線＞=履+機(jī)與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程聯(lián)立后消去丹得到一元二次方程

ax2+bx+c=G,則|48|=1|xi—啊|=+I。?.

I。I

(2)若48是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程聯(lián)立后消去x,得到一元二次方程

222

ay+by+c=O,則=y/l+m|j^i—y2\=y/l+m?-^-y-.

?舉一反三

【題型1橢圓的弦長(zhǎng)問題】

【例1】(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))已知直線/是圓C:/+y2=i的切線，且/與橢圓￡：9+y2=i交

于N,8兩點(diǎn)，則的最大值為()

A.2B.V3C.V2D.1

2-TT

【變式1-1](23-24高二上?浙江紹興?期末)已知橢圓C.+y2=i,過原點(diǎn)。且傾斜角為4的直線交橢圓于

48兩點(diǎn)，則|4引=()

AV10R2同3Vmn4同

A--r-

22

【變式1-2](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))己知橢圓。條+底=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,點(diǎn)P(g,g)

為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的面積為2份.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若傾斜角為:的直線/與C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)4B,求|AB|的最大值.

【變式1-31(2024?河北衡水一模)已知橢圓％|+3=l(a>b>0)過(1,|)和(四,乎)兩點(diǎn).七尸2分別為

橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)(P不在x軸上)，過橢圓右焦點(diǎn)&的直線，與橢圓交于&B兩點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求|4B|的范圍.

【題型2雙曲線的弦長(zhǎng)問題】

【例2】(2024?北京?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線。步―9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為%尸2,過％的直線與雙曲線C

的同一支交于4B兩點(diǎn)，且=2|AFi|,則線段4B的長(zhǎng)度為()

927

A.-B.9C.—D.6

44

【變式2-1](2024?山東?模擬預(yù)測(cè))過雙曲線爐—川=2的左焦點(diǎn)作直線Z,與雙曲線交于48兩點(diǎn)，若

\AB\=4,則這樣的直線/有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

22

【變式2-2](2024?海南?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C套一言=l(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2vL點(diǎn)P(2,㈣在

雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P且斜率為2e的直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,求|PQ|.

22

【變式2-3](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C套一廢=l(b>a>l)的左、右焦點(diǎn)分別為％、F2,

兩條漸近線的夾角為60。，M(低打)是雙曲線上一點(diǎn)，且△M%F2的面積為4逐.

(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)。在以PQ為直徑的圓上，求|PQ|的最小值.

【題型3拋物線的弦長(zhǎng)問題】

【例3】(2024?河南開封?一模)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線。產(chǎn)=8%焦點(diǎn)尸的直線與C交于4,8兩點(diǎn),

若[4F|=\AO\,貝!11aBi=()

A.5B.9C.10D.18

【變式3-1](2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線=4%的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,直線/過

其焦點(diǎn)尸且與C交于4,B兩點(diǎn)，若直線力M的斜率為等，則|4B|=()

D.5

【變式3-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)P(a,6)(a>0,6>0)在拋物線=2pK(p>0)上，記。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，|OP|=|,以P為圓心，|OP|為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切.

(1)求拋物線C的方程；

(2)記拋物線C的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作直線/與直線PF垂直，交拋物線C于4B兩點(diǎn),求弦4B的長(zhǎng).

【變式3-3](2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))己知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2.

⑴求C的方程；

(2)若P為直線/:久=—2上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的切線P4PBAB為切點(diǎn)，直線48與咬于點(diǎn)M,過產(chǎn)作AB

的垂線交/于點(diǎn)N,當(dāng)|MN|最小吐求|4B|.

【題型4長(zhǎng)度及其最值（范圍）問題】

【例4】（23-24高三上?湖北武漢?開學(xué)考試）設(shè)雙曲線電%2—9=1的左右焦點(diǎn)為％,左頂點(diǎn)為4點(diǎn)

M是雙曲線E在第一象限中內(nèi)的一點(diǎn)，直線交雙曲線E的左支于點(diǎn)N,若M4〃MF2，則IMF2I=（）

AIB-C-D-

A.42J34

【變式4-1］（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線。產(chǎn)=4光的焦點(diǎn)為尸,A是C上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOF

的面積為迎+1,則|4/|=（）

A.2^2^+2B.2^2^+4

C.4V2+2D.3V2+2

【變式4-2］（23-24高三下?河南周口?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓過點(diǎn)F（l,0）且與直線久=—1

相切，設(shè)該動(dòng)圓的圓心C的軌跡為曲線匚

（1）求「的方程；

（2）設(shè)P為r在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作曲線r的切線0，直線％過點(diǎn)P且與A垂直，l與「的另外一個(gè)交點(diǎn)

為Q,求|PQ|的最小值.

22

【變式4-3］（2024?河北張家口?三模）己知點(diǎn)尸1/2分別為橢圓。器+方=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過

%（—c,0）的直線/（斜率不為0）交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，\PQ\=3c.

（1）求橢圓。的離心率；

（2）若點(diǎn)/,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且△P4B面積的最大值為2舊，直線PA與直線QB相交于點(diǎn)

求|。蛇的取值范圍.

【題型5長(zhǎng)度之和問題】

【例5】(2024?河北承德?二模)已知橢圓嗒+3=1(a>6>0)的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,且C的離

心率是，過左焦點(diǎn)F的直線/與橢圓交于4B兩點(diǎn)，過左焦點(diǎn)且與直線/垂直的直線。與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求|4B|+|MN|的取值范圍.

【變式5-1](23-24高三上?陜西西安?開學(xué)考試)已知點(diǎn)F為拋物線。鏟=2p久(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P(l,2),

<2(0,1),且|PF|=\QF\.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若正方形4BCD的頂點(diǎn)4、B在直線/:久―y+2=0上，頂點(diǎn)C、。在拋物線C上，求|FC|+|FD|.

【變式5-2](2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)己知拋物線P:y2=2px(0<p<5)上一點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)Q至憔

點(diǎn)F的距離為5,過點(diǎn)尸做兩條互相垂直的弦AB、CD.

(1)求拋物線P的方程.

(2)求|2B|+|CD|的最小值.

【變式5-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓*|+'=1（￡1>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1尸2,上、

下頂點(diǎn)分別為4/2，四邊形公尸遇2/2的面積為2舊且有一個(gè)內(nèi)角為方

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若以線段F1%為直徑的圓與橢圓C無公共點(diǎn)，過點(diǎn)4（1,3）的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上

方），線段PQ上存在點(diǎn)M,使得黑=瑞，求|MFi|+|MF2l的最小值.

【題型6長(zhǎng)度之差問題】

【例6】（24-25高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）設(shè)橢圓C：3+9=1的右焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)4是直線

4x—5y—12=0上的動(dòng)點(diǎn)，貝U|P川—|PF|的最小值為（）

A16V41B-聞?-低4D4-俯

*41*4141,41

【變式6-1］（23-24高二上?天津?期末）已知雙曲線E［—?=1（爪>0）的離心率為2,右焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P

在雙曲線右支上，點(diǎn)4（0,2）,則|PF|—|P川最大值為（）

A.V5B.V5-2

C.2V2D.2V2-2

【變式6-2］（23-24高二上?上海?課后作業(yè)）已知點(diǎn)P是雙曲線慈一經(jīng)=1右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是圓

y10

（久+5）2+*=4和（久一5）2+產(chǎn)=1上的點(diǎn),求|PM|—|PN|的最大值.

【變式6-3](2024?山東濟(jì)南?三模)如圖所示，拋物線產(chǎn)=2px(p>0)的準(zhǔn)線過點(diǎn)(一2,3),

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若角a為銳角，以角a為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于/、3兩點(diǎn)，作線段4B的垂

直平分線/交x軸于點(diǎn)P,證明：|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值.

【題型7長(zhǎng)度之商問題】

【例7】(2024?四川綿陽?三模)過點(diǎn)4(2,0)的直線，與拋物線=2px(p>0)交于點(diǎn)M,N(M在第一象

限)，且當(dāng)直線I的傾斜角為:時(shí)，|MN|=3V2.

(1)求拋物線的方程；

(2)若B(3,0),延長(zhǎng)MB交拋物線C于點(diǎn)P,延長(zhǎng)PN交x軸于點(diǎn)Q,求需的值.

【變式7-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知直線=kx+m(m2=k2+l,k豐0)和橢圓T[+y2=1.

(1)證明：[與T恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)若4B為/與7的兩個(gè)交點(diǎn)，過原點(diǎn)且垂直于/的直線交T于C,D兩點(diǎn)，求黑的最小值.

【變式7-2](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線嗎|—看=1缶＞。力＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為乙尸2，點(diǎn)

4(一2,3)在雙曲線M上，且|/|+1/1=8.

⑴求雙曲線M的方程；

(2)記的平分線所在的直線為直線/,證明：雙曲線M上存在相異兩點(diǎn)B,C關(guān)于直線/對(duì)稱，并求出提

(E為BC的中點(diǎn))的值.

【變式7-3](2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè))已知過點(diǎn)(0,2)的直線，與拋物線C:/=2py(p＞0)交于4B兩點(diǎn),

拋物線在點(diǎn)4處的切線為小在8點(diǎn)處的切線為路直線"與直線％交于點(diǎn)M,當(dāng)直線1的傾斜角為45。時(shí)，

\AB\=4V6.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)線段4B的中點(diǎn)為N,求溫的取值范圍.

【題型8長(zhǎng)度之積問題】

[例8](2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線容一看=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為％尸2，焦

距為4,C上一點(diǎn)P滿足COSNFF2P=—字且的面積為2VL

⑴求C的方程；

(2)過C的漸近線上一點(diǎn):T作直線I與C相交于點(diǎn)M,N,求|TM|?|TN|的最小值.

【變式8-1](2024?陜西安康?三模)已知M(l,2)為拋物線C:y2=2px上一點(diǎn).

(1)求拋物線C的準(zhǔn)線方程；

⑵過點(diǎn)7(0,1)的直線/與拋物線C交于/,8兩點(diǎn)，且直線M4與MB的傾斜角互補(bǔ)，求的值.

【變式8-2](2024?黑龍江哈爾濱?二模)已知直線Z與橢圓+=1交于「(八加依物⑸兩不同點(diǎn)，且

△OPQ的面積SA°PQ=1,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)證明：猶+看和比+%均為定值；

(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M,求|OM|?|PQ|的最大值.

【變式8-3](2024?江西?一模)已知雙曲線C:'—，=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為去C的

右焦點(diǎn)F到該漸近線的距離為2b.

(1)求C的方程；

(2)若過尸的直線與C的左、右支分別交于點(diǎn)4,B,與圓0:%2+7=02交于與/,2不重合的加，N兩點(diǎn).

(i)求直線斜率的取值范圍；

(ii)求|4B|?|MN|的取值范圍.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?河北秦皇島?二模)己知/,3為橢圓C：9+?=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)(直線力B與y軸不平行)，F(xiàn)

為C的右焦點(diǎn)，且|4用+|BF|=4,若線段4B的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P,則|FP|=()

A.I"B.|C.|D.1

2.(2024?新疆?三模)已知拋物線C：產(chǎn)=久的焦點(diǎn)為R在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)p,M,Q,N,若弦PQ

11

與弦MN的交點(diǎn)恰好為凡且PQ1MN,則兩+兩=()

A.苧B.1C.V2D.2

3.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線唁一看=l(a>0/>0)的左焦點(diǎn)為心，圓。:爐+必=42.若

過F1的直線分別交C的左、右兩支于/,5兩點(diǎn)，且圓。與相切，C的離心率為3,Fi到C的漸近線的距離為

2位，則|4B|=()

432-30-20-16

A.—B.—C.—D.—

4.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知橢圓C：5+餐=l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為4左頂點(diǎn)為

B,Fi，尸2分別是C的左、右焦點(diǎn)，且AFi/lB的面積為亨，點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn)，則高+高的取值范

圍為()

A.[1,2]B.[V2(V3]C.[V2,4]D.[1,4]

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線C:\—，=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為91尸2產(chǎn)為雙曲

線右支上一點(diǎn)，且F2P的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)4且aaPFi的內(nèi)切圓半徑為4,aPFFz的面

積為9,貝UMF2IIPF2I=（）

A.18B.32C.50D.14

2-I

6.（23-24高二上?河南商丘?階段練習(xí)）設(shè)雙曲線/一y2=i的左、右焦點(diǎn)為％、F2,漸近線方程為y=±

X,過Fi直線，交雙曲線左支于4、8兩點(diǎn)，則M&l+田尸2|的最小值為（）

A.9B.10C.14D.y

7.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線。產(chǎn)=6x的焦點(diǎn)為凡。為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為。的直線2過點(diǎn)

F且與C交于M,N兩點(diǎn)，若△OMN的面積為3VI，則（）

A.sin0=1

B.\MN\=24

C.以MF為直徑的圓與y軸僅有1個(gè)交點(diǎn)

D3=漁或3=g

WW3^\NF\VD

8.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）已知橢圓E：卷+!=1的左焦點(diǎn)為F,過尸的直線2與E交于4B兩點(diǎn)，則

下列說法正確的是（）

A.若直線續(xù)直于x軸，則|盟=當(dāng)

B.|AB|6律,61

C.若［4用=5,則直線1的斜率為苧

D.若［4F|=2\BF\,則|4B|=y

二、多選題

9.（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=—x+1經(jīng)過橢圓E：《+\=l（a>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)和一

個(gè)頂點(diǎn)Q,且與E在第四象限交于點(diǎn)P,E的左、右焦點(diǎn)分別為用尸2,貝I（）

A.E離心率為：B.的周長(zhǎng)為4魚

C.以PFi為直徑的圓過點(diǎn)QD.|PQ|=2V2

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:9—y=1的右焦點(diǎn)為乩動(dòng)點(diǎn)M,N在直線■=|上，且

FM1FN,線段FM交C于點(diǎn)P,過P作/的垂線，垂足為R,貝U（）

A.AFMN的面積S*B.鼠=孚

C.\MR\-\HN\^\FH\-\PR\D.扁\M局P\-\N為F\定值

11.（2024?福建龍巖?三模）已知拋物線C:y2=2p久（p>0）與圓0:久2+必=20交于N,g兩點(diǎn)，且

=8.過焦點(diǎn)尸的直線I與拋物線C交于N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線

。的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（）

A.若麗^3前，則直線1的斜率為士苧B.|MF|+4|NF|的最小值為18

C.NMON為鈍角D.點(diǎn)P與點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)相同時(shí)，篇J最小

三、填空題

2

12.（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線*=1的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A,B分別在。的

兩條漸近線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形。APB為平行四邊形，且|P*=1,則|PB|=,

13.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸是圓（久一2/+y2=1的圓心，過點(diǎn)F的直

線I,自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)4BCD,則|48