浙江省紹興市諸暨市2022-2023學(xué)年高三年級上冊數(shù)學(xué)1月期末試卷

浙江省紹興市諸暨市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)1月期末試卷

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=3-3則z?N=()

A.-3B.0C.4D.5

2.已知集合［/=口，a2,3a+1},集合Z=U,且QA=口，4},則a=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2)

3.邊長為2的正AABC中，G為重心，P為線段BC上一動點(diǎn)，則E?前=()

A.1B.2

C.(BG-BA)■(BA-BP}D.^(AB+AC)-AP

4.2022年，考古學(xué)家對某一古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年

代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的57.4%.若碳14的初始量為k,衰減率為p(0<p<l),經(jīng)

過x年后，殘留量為y滿足函數(shù)為y=k(l-p尸，已知碳14的半衰期為5730,則可估計(jì)該建筑大約是哪一年

建成.(參考數(shù)據(jù)lgO.574=-0.241,lg20.301)()

A.公元前1217年B.公元前1423年

C.公元前2562年D.公元前2913年

5.已知雙曲線C：/—嗜=1，%,B分別為左、右焦點(diǎn)，P為曲線C上的動點(diǎn)，若Z&PF2的平分線與x軸

45

交于點(diǎn)M(L0),則|OP|為()

A.V19B.V31C.4V2D.6

6.已知函數(shù)/(%)=sin(a久+電，(3>0)對任意XC(0,沿都有/'(久)>：,則當(dāng)3取到最大值時(shí)，f(x)的一

個(gè)對稱中心為()

A.蛤，0)B.塞，0)C.0)D.(苧，0)

7.已知a=sinO.l,b=lnl.1,c=e01—1.005,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

8.數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的的六位數(shù)，A表示事件力和2相鄰、B表示事件“偶數(shù)不相

鄰”，C表示事件“任何連續(xù)兩個(gè)位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇數(shù)按從小到大的順序排列”.則

1

A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.事件A與事件C相互獨(dú)立

C.事件A與事件D相互獨(dú)立D.事件B與事件C相互獨(dú)立

二'多選題

9.“直線/：、=/<:久+/）和圓。：/+y2=2有公共點(diǎn)”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.b=1B.k=1C.b2-k2<1D.b2-2k2<2

10.已知a,bGN*,函數(shù)fQ）=（1+久）。+（1+久）%其中x的系數(shù)為8,則/的系數(shù)可能為（）

A.12B.16C.24D.28

11.已知拋物線C；y2=4久的焦點(diǎn)為F,尸是拋物線C的準(zhǔn)線與％軸的交點(diǎn)，A,B是拋物線C上兩個(gè)不同的動

點(diǎn)，（）

A.若直線AB過點(diǎn)F,則APAB面積最小值為4

B.若直線AB過點(diǎn)F,則麗?麗20

C.若直線過點(diǎn)P,貝+\BF\<2\PF\

D.若直線4B過點(diǎn)P,則|AF|+\BF\>2\PF|

12.定義域?yàn)镽的函數(shù)/(久)的導(dǎo)數(shù)為f'(%),若/(1)=1,且0</'(x)</(%),貝I]()

A-B./(2)<2

c.2/(—/1>/1(—$D.1(2)〈盍2

三、填空題

13.設(shè)是首項(xiàng)為1的數(shù)列，且斯斯+1=2、貝必1()=.

14.已知aC(0,^),tana=貝(jsina=.

273-V2sincr---------

15.如圖，正四棱臺4BCD上下底面分別是邊長為4,6的正方形，若|441|6[百，3b],貝U該

棱臺外接球表面積的取值范圍是

16.已知函數(shù)/'（X）=三五,若勺，x2ER,實(shí)數(shù)m滿足/'（久力?f（久2）=-62則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

四、解答題

17.已知Sn為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的和，且％=1,。?+1=戶匚+底?

2

(I)求數(shù)列｛S"的通項(xiàng)公式；

(2)若垢=(一1)%?,求數(shù)列｛3｝的前2n項(xiàng)和不公

18.記銳角AZBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△4BC外接圓的半徑為R,已知acosB—bcosZ=

R.

(1)若B=今，求A的值；

(2)求等的取值范圍.

19.如圖，四棱錐P—ABC。中，底面ABCD為平行四邊形，PAiffiABCD,481PC,BC=AP=y[2AB=

2.

(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；

(2)求二面角C—尸0—4的正弦值.

20.某課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了高年級的100名學(xué)生某次考試的成

3

績(滿分100分)，若按單科85分以上(含85分)，則該課成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)調(diào)查成績得出下面的2X2列聯(lián)

表(單位：人).

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀

物理成績優(yōu)秀1614

物理成績不優(yōu)秀2050

(1)根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，該課題組至少有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系？

(2)隨機(jī)從這100名學(xué)生中抽取1名學(xué)生，在已知該學(xué)生“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”的情況下，求該學(xué)生物理成績不

優(yōu)秀的概率

(3)隨機(jī)從這100名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，記2人中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)為x,物理成績優(yōu)秀的人數(shù)為

y,設(shè)X=x—y,求X=1的概率.

2

附.r2____n(ad-bc)_______

八-(a+b)(c+d)(a+c)(fa+d)

Pg>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(一2,0),B(2,0),直線PA與直線PB的斜率之積為一記動點(diǎn)P

的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線/：y=k久+血與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，直線MA,NB與y軸分別交于E,F兩點(diǎn)，若前=

3OF,求證：直線1過定點(diǎn).

22.已知函數(shù)/(%)=axeax—Inx,a>0.

(1)若a=l,記/(%)的最小值為m,求證：m>|+ln2.

■x1

(2)方程/(%)=a%+b,b€R有兩個(gè)不同的實(shí)根％i，x?，且％I+%2=2,求證：^i2a2e2a'

5

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】由z(l+i)=3T,則有z=數(shù)=貂熱=1-23

所以z-￡=(l-2i)(l+2i)=5.

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則對稱復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)與共甄復(fù)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得出復(fù)

數(shù)Z的共甄復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則得出z-Zo

2.【答案】C

【解析】【解答】因?yàn)榧稀?{1,a2,3a+1},集合4UU,且Q4={1，4},

所以{1,4}c[1,a2,3a+1},

所以若3a+1=4na?=1,不滿足元素互異性，

則a?=4=a=+2=3a+1=7或3a+1——5,滿足互異性，

所以a=±2.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合集合間的包含關(guān)系和補(bǔ)集的運(yùn)算法則，再結(jié)合元素的互異性，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的

值。

3.【答案】B

【解析】【解答】如圖：以BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線所在直線為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)

系，由題意可知：A(0,V3),C(-l,0),B(l,0),

因?yàn)镚為△ABC的重心，所以G(0,")，

因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)PQ,0)(-1<%<1),

所以襦=(0,—孥)，而=(x,-V3),則前.屁=0.%+(_孥)x(一百)=2，

6

故答案為：B.

【分析】以BC所在直線為%軸，線段BC的垂直平分線所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知空間點(diǎn)的

坐標(biāo)，再結(jié)合G為AABC的重心，進(jìn)而得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P為線段BC上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)PQ,0)(-1<

x<1),再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出品.晶的值。

4.【答案】C

【解析】【解答】由題意可得57.4%=(1—p),50%=(l—p)573。，則備=嚅普=鬻|=久”4588,

J/JUUaJxJ?J

則4588-2022=2566,

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合函數(shù)建模的方法，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的模型合代入法，進(jìn)而可估計(jì)該建筑大約建成

的時(shí)間。

5.【答案】B

【解析】【解答】由題意可知a=2,c=3,\FrM\=c+1=4,|F2Ml=c—1=2,

不妨設(shè)P在右支上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得解=翳六率又|P&|-〃1=2。=4,

所以IP&I=8,\PF2\=4,在4P0F2中，由余弦定理得COSNP&F2=

進(jìn)而|OP|=JPFJ+&。2-2Pa?FIOCOSNP&M=164+9—2x8x3x(=V31；

方法二；由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知MP為切線，設(shè)P(%o,y0),故其方程為竽—爭=1,

又因?yàn)檫^M(l,0),則?=1=>久。=4=%=15,則|OP|=V^I.

故答案為：B.

【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a,c的值，再結(jié)合雙曲線的定義得出|aM|,|F2Ml的值，不妨設(shè)P在右支

上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得掰=翳/=東再利用雙曲線的定義得出|PFi|,|PF2|的值，在APF1F2中，

由余弦定理得出OP的長;

7

方法二：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知MP為切線，設(shè)PQo,y0),故其方程為學(xué)—管=1,再利用雙曲線過

M(l,0)結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再結(jié)合代入法得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)求距離公式

得出OP的長。

6.【答案】C

【解析】【解答】:X6(0,誓)，諄<3%+與<噌

rz、、137r3,7T,5zr

.../(x)>...T

0<O)<I，所以3的最大值為去

當(dāng)3=凱寸f(%)=singx+號)，令gx+號=kmkeZ,解得力——今+.kmkeZ,

所以函數(shù)的對稱中心為(―a+引兀，0),kez,

所以函數(shù)的一個(gè)對稱中心為6，0).

故答案為：c.

【分析】利用已知條件結(jié)合X的取值范圍合不等式的基本性質(zhì)，進(jìn)而得出3的取值范圍，從而得出口的最大

值，進(jìn)而得出對應(yīng)的函數(shù)的解析式，再利用換元法結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求對稱性的方法，進(jìn)而得出函數(shù)f(x)的

一個(gè)對稱中心。

7.【答案】D

TT

【解析】【解答】設(shè)/(久)=sinx-In(久+1),xG(0,小)

則/(X)=cosx-

令zn(x)=晶(久)=-sinx+1亶,

'(久+1)

因?yàn)閥=sin久在(0,”上單調(diào)遞增，丫二日匚了在(°，號)上單調(diào)遞減，則加(久)在(。，1)上單調(diào)遞減，

由加(0)=1>0,m(g)=-1+-^-2<0；所以me(0,J),WQ0)=0,

°

所以當(dāng)x￡(0,%o),m\x)>0,所以TH。)在(0,%0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)口€(%o,看)，m/(x)<0,所以m(%)在(%。,看)上單調(diào)遞減，

又m(0)=0,租(看)=亨一>。，

從而m(%)>0即/%)>0在(0,3)上恒成立，

故”乃在(0,親上單調(diào)遞增，

8

所以/'(x)>/(0)=0,即sin%>ln(x+1)=>sinO.l>lnl.1,

構(gòu)建。(久)=ex—^x2—1—x)則g'(X)=ex—x—1,

令0(x)=ex—x—1,則/(久)=ex—1,

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(久)>0,則0(久)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以W(%)>0(0)=e0-0-1=0,即g'(K)>0,

故gO)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則g(%)>g(0)=0,

故e*—^%2—1>%在(0,+8)恒成立，

取了=0.1,可得e0i-1.005>0.1,

構(gòu)造八(%)=x—sinx,則=1—cos%，

當(dāng)xe(0,芻時(shí)，江⑺>0,故h㈤在(0，芻單調(diào)遞增，

所以％(久)>/i(0)=0,所以當(dāng)xG(0,今時(shí)，

x>sinx,?。?0.1,則0.1>sinO.l,

綜上所述得:lnl.1<sinO.l<e01-1.005,即c>a>b.

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合恒成立問題求解方法,

進(jìn)而得出函數(shù)的值域，再結(jié)合比較大小的方法，從而比較出a,b,c的大小。

8.【答案】C

253333吊

【解析】【解答】尸⑷=爺巖，「伊)=竽=白％)=牛=東超=人」，

A6A36，

A6A3

對于A,P(4B)=為4遙+4洌f)+*退屑=圣手P⑷P(B),A不符合題意，

A6

對于B,p(")=點(diǎn)必邛2岐41=黑=9P(4)P(C),B不符合題意,

/u/乙UJrJ

111

^cc

-451

6-

對于C,P(AD~)A點(diǎn)=P(4)P。)，C符合題意,

6

對于D,P(BC)=P(C)aP(B)P(C),D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式以及古典概型求概率公式，再結(jié)合獨(dú)立事件的定義，從而找

9

出正確的選項(xiàng)。

9.【答案】A,C

,網(wǎng)

【解析】【解答】由''直線Ay^kx+b和圓0：久2+y2=2有公共點(diǎn)”可得圓心到直線的距離弓=-T^=

yjk+1

應(yīng)0b2W2爐+2,

當(dāng)b=l時(shí)，b2<2k2+2,即1W2k2+2顯然成立，A符合題意；

當(dāng)k=l時(shí)，M〈2/+2，即后<2X儼+2=4不一定成立，不滿足充分性，B不符合題意；

當(dāng)戶―時(shí)，可得d</+1<2/+2，C符合題意；

當(dāng)d―2/式2,即非〈2y+2,此時(shí)滿足充分必要條件，D不符合題意.

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法，進(jìn)而得出“直線Z：y=kx+b和圓。：x2+y2=

2有公共點(diǎn)”的一個(gè)充分不必要條件。

10.【答案】A,B

【解析】【解答】x的系數(shù)為8,則以+或=a+b=8,

當(dāng)或｛；二｝寸，/的系數(shù)為21;

當(dāng)｛°12時(shí)，則/的系數(shù)為C：+=；(a?—a+用一b)=：(a+b)(a+b—1)—ab—28—ab,

因?yàn)閍,b￡N*,所以ab可能為7,12,15,16,21,

則28-ab可取12,16.

故答案為：AB.

【分析】利用已知條件結(jié)合二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再結(jié)合展開式中的通項(xiàng)公式得出x的系

數(shù)，進(jìn)而得出a,b的值，再結(jié)合分類討論的方法得出滿足要求的實(shí)數(shù)a,b的值，再利用展開式中的通項(xiàng)公式

得出/的系數(shù)。

U.【答案】A,B,D

【解析】【解答】由題意可得：拋物線C；y2=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線與％軸的交點(diǎn)P(-1,0).

若直線4B過點(diǎn)尸(1,0),可設(shè)力3：%=my+1,代入拋物線方程，有y2=4jny+4.

22=

設(shè)2(第1，yi),8(%2，丫2)，則有』=(-4m)—4X(—4)=16(m+1)>0,y1+y24m,yty2=-4.

2216m2

對于A：SAPAB=SAPFA+sAPFB=1x2x|y1-y2|=-y2)=J(y1+y2)-^yry2=V(+?

4.A符合題意；

10

對于B：PA-PB=(久i+1,yj?(%2+1，y-2)=久1肛+久1+久2+1+匕%=4+m2—4>0

=%1久2++久2+1+

=(小力+1)(W2+1)+fnyi+1+my2+1+1+

2

=(m+1)為丫2+2m(yx+y2)+4

把、1+%=46，X丫2=一4代入，得：西?麗=4血22o.B符合題意；

若直線ZB過點(diǎn)P(—1,0),可設(shè)43：x=ny—1,代入拋物線方程，有y2=4ny-4.

所以判別式/=(―4n)2—42>0,則n2>1.

設(shè)4(%3，y3)>B(X4，yQ，則有y3+y4=4〃y3y4=&

2

由拋物線的定義：\AF\+\BF\=X1+l+x2+l=n(yr+y2)-2+2=4n.

因?yàn)?>1,所以|4尸|+\BF\=4n2>4.

而|PF|=2,所以|4F|+\BF\>2\PF|.

C不符合題意，D符合題意.

故答案為：ABD.

【分析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得拋物線C；/=4%的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再結(jié)合準(zhǔn)線方程和x

軸對應(yīng)的方程，進(jìn)而得出準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，若直線2B過點(diǎn)F(l,0),可設(shè)AB：x^my+1,再設(shè)

4(/，月)，B(%2,")，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理得出4>0,yi+

y2=4m,yiy2=-4；利用已知條件結(jié)合三角形的面積關(guān)系和三角形的面積公式以及韋達(dá)定理和判別式法得

出的最小值。利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及韋達(dá)定理和判別式法得出易.

PB>0；若直線AB過點(diǎn)P(-l,0),可設(shè)AB：x=ny-l,再設(shè)4(久「月)，B(x2,y2),再利用直線與拋物線

相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理得出層>1和丫3+%=4九，當(dāng)丫4=4，由拋物線的定義和韋達(dá)

定理以及代入法和小>1,所以|AF|+|BF|>4,而|PF|=2,所以|AF|+|BF|>2|PF|,進(jìn)而找出正確的選

項(xiàng)。

12.【答案】A,C

【解析】【解答】由題意可知構(gòu)造函數(shù)g(x)=牌，

則/(乃=[?」)曰外初<0,所以g(%)=曾在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，

于是：綽>哈=今于是用)>=>；，所以A符合題意；

e2e2

11

號<乎=3于是/(2)<e,所以B不符合題意;

eee

于是f(一$<e町(―》<2/(-｝，所以C符合題意;

由于f(2)>"J而/(2)<e,所以/?)/(2)的范圍無法確定，D不一定正確.

e2z

故答案為：AC

【分析】利用已知條件構(gòu)造函數(shù)g(久)=等，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和

函數(shù)的解析式代入法以及比較法，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。

13.【答案】32

CCQ71+1(1

【解析】【解答】％+1%+2==2,得于垃=2,又。通2=2,得。2=2,所以40=。2?24=32.

2Un

故答案為：32.

【分析】利用已知條件結(jié)合遞推公式變形和代入法，進(jìn)而得出數(shù)列第十項(xiàng)的值。

14.【答案】今三

4

【解析】【解答】tana=包”=?co六+1,化簡得bsina-cosa=V2,即sin(a-芻=q>0,

cosaV3—V2sina'6，2

又ae(o,今，所以aY是第一象限角，得cos(a—*=*

故sina=sin[（a一卷）+=sin（a—看）cos看+cos（a—1）sin看

梟梟裊巨審.

答案為:76+72

-4~

【分析】利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和輔助角公式以及角的取值范圍和象限角的判斷方法，

再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得出cos(a-看)的值，再結(jié)合角之間的關(guān)系式和兩角和的正弦公式，進(jìn)而得出sina

的值。

15.【答案】［72兀，153兀］

【解析】【解答】由題意得正四棱臺的上下底面外接圓半徑分別為廠］="y=2/，萬=上產(chǎn)=3/,

IWJ為人=J|aAi|2_(萬—乃)2=|［441|2—(3/一2V^)2=-2,

因?yàn)閨44i|E[V3,3V3],所以hG[1,5];

12

設(shè)正四棱臺的外接球半徑為R,球心到上下底面的距離分別為心和④，

當(dāng)球心在上下底面之間時(shí)，dr+d2=h,

當(dāng)球心不在上下底面之間時(shí)，d1-d2=h,

所以di+d2=h,

又W+造=解，送+城=廢，則詢=JR2_若=JR2-8,d2=_r2=JR2_⑶

所以％=7R2一8±、R2-18,

所以九土7R2-18=7R2—8,

_______2______2

2

所以(h±JR2-18)=(7/?-8)'

所以±2/iV/?2-18+解_18=/?2_8，即廬±2/iV/?2-18=10，

所以2，腔-18=I"半|，因?yàn)閔C[l,5],所以2，R2-18=|八一曲e[0,9],

所以4R2c[72,153],所以棱臺外接球表面積SC[72兀，153兀].

故答案為：[72兀，1537rl.

【分析】由題意得正四棱臺的上下底面外接圓半徑，再利用勾股定理得出高為小AA——2,再結(jié)合

[V3,3遮],進(jìn)而得出高的取值范圍，設(shè)正四棱臺的外接球半徑為R,球心到上下底面的距離分別為四和d2,

當(dāng)球心在上下底面之間時(shí)，di+d2=h,當(dāng)球心不在上下底面之間時(shí)，dr-d2=h,所以di±d2=h,再利

用勾股定理得出2W?2—18=①―乎|,再結(jié)合he口，5],進(jìn)而得出2UR2—18的取值范圍,從而得出4爐的

取值范圍，再結(jié)合球的表面積公式得出棱臺外接球的表面積。

16.【答案】[一2,2]

4Y—n1

【解析】【解答】設(shè)￡=4%—Q,則y=/(%)=號=a+2口；；：2+16?e

當(dāng)￡=0時(shí)，y=0；

16

當(dāng)tH。時(shí)，y="+%/

LI{I乙Ct-

1>0時(shí)，t+吟竺227^不1石，當(dāng)且僅當(dāng)土=吟"即亡=中』等號成立,

c,16一8

所以?！?百黑,

t+￡i±16<_2V^T16-當(dāng)且僅當(dāng)"上沖即"―庇』等號成立,

8,16

所以E二-<0.

t+a^+16+2a

13

f(%)max=r>0,/(%)min=/<0

a+Jq2+i6CL—Jci2+16

88

綜上所述，/2-f(%)-/2

CL-ja+16a+Ja+16

由/'(久1),f(久2)=一加?？，所以一瓶22fQ)max=-4,即加之44.解得一2WTHW2.

故答案為：[—2,2].

【分析】利用已知條件結(jié)合換元法和分類討論的方法，再結(jié)合均值不等式球最值的方法，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)m的

取值范圍。

17.【答案】(1)解：因?yàn)閍n+i=Sn+i—S”所以S?+1—=+信，解得后=1，

所以｛、用｝是公差為1的等差數(shù)列，則/霖=757+n-1=n,得5>1=712.

2

(2)解：由(1)可得：Sn=n,則即=+JSn_i=?i+n—1=2n—1,

n2n-12n

得bn=(-l)(2n-1),有電51+b2rl=(-l)[2x(2n-1)-1]+(-l)(2x2n—1)=2,

則72n=血+b2)+(b3+b4)+-??+(b2n-i+b2n)=2n.

【解析】【分析】(1)利用即，S.的關(guān)系式和等差數(shù)列的定義，進(jìn)而判斷出數(shù)列｛店｝是公差為1的等差數(shù)

列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出數(shù)列｛S"的通項(xiàng)公式。

n

(2)利用已知條件結(jié)數(shù)列｛S"的通項(xiàng)公式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用bn=(-l)an,進(jìn)而得出數(shù)列

｛%｝的通項(xiàng)公式，再利用分組求和的方法，進(jìn)而得出數(shù)列｛"｝的前2n項(xiàng)和。

18.【答案】(1)解：1艮據(jù)正弦定理‘1萬=一=2R,有a=2Rsin4b=2/?sinB,c=2RsinC,

sin/isine。=sine，

由acosB-bcosA=R,有2Rsirh4cosB—2RsinBcosA=R,得sin(4—B)=5，

因?yàn)?Be(0,5),所以力一Be(—5，芻，

所以4-8=生由B=J,解得4=彗

(2)解：因?yàn)樗訡=兀一(4+3)=猾一23,

兀

o<力<-(0<J+B<5

2I6L

為

因o<B<7r-，即［0<B<5，所以36(/芻，

C2

O<<7r

2-

則R—c_R—2RsinC_1—2sinC_1-2sin償-28)_1—cos2B—月sin28

b-2/?sinB-2sinB-2sinB-2sinB

2sin2B—2V3sin^cos^.石.7r.

=-----2SE.-------=sinBn—V3cos8n=2nsm(/BD—可)，

BG(5,有B0),所以2sin(B—0e(—1,0),

14

所以片的取值范圍為(-1,0).

【解析】【分析】⑴利用已知條件結(jié)合正弦定理，則a=2Rsin4b=27?sinB,c=2RsinC,由acosB-

bcosA=R,有2Rsirh4cos3-2RsinBcos4=R,再結(jié)合兩角差的正弦公式得出sin(力一B)的值，再利用4BE

(0,務(wù)和不等式的基本性質(zhì)得出A-B的取值范圍，進(jìn)而得出A-B的值，再結(jié)合進(jìn)而得出角A的值。

(2)利用4=左+B結(jié)合三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，所以。=些—28,再利用銳角三角形中角的取值

范圍和不等式的基本性質(zhì)，進(jìn)而得出角B的取值范圍，再利用正弦定理和兩角差的正弦公式以及輔助角公

式，進(jìn)而得出￡=2sin(B-亨)，再利用角B的取值范圍和不等式的基本性質(zhì)以及正弦型函數(shù)的圖象求值域

的方法，進(jìn)而得出片的取值范圍。

19.【答案】(1)解：連接AC,???PA1面ABCD.-.PA1AB,PA1AC

■：ABLPA,AB1PC,PAu面PAC,PCu面PAC,PACtPCP,

.■.ABl^PAC,.-.ABLAC,以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立坐標(biāo)系則

4(0,0,0),P(0,0,2),B(V2,0,0),C(0,V2,0),D(一五,魚，0),

BC=(-V2,V2,0),~BP=(-V2,0,2),

設(shè)平面PBC的法向量為元=Qo,yQ,zo),

..儼曳=0即之。'獸0」令z。j則…。3.?."(回a1)，

5?BP=。

2),CD=(-V2,0,0),AD=(-V2,V2,0),AP=

(0,0,2),

設(shè)平面PCD的法向量為同=(久1，y1；zi),

15

...叵t=0即廣歷j+2zi=0.0,令z1,則遮，..再=（0,V2,1）,

向?CD=0I-魚%i=01

J

設(shè)面PAD的法向量為五二（%2，y222），

（而?力。=0日n（―V5%2+=0nA4rn.i1—,

???《，一>即｛:…Z2，=0令％2=1，則丫2=1，J九2=（L1，。），

I布?力P=0I2Z2=0

../—>一>近,藥V2V3

=9

COS<Tl1i，Ti2o>=I——>iI——=^T=~i~產(chǎn)=~o~

|nil|n2lV3-V23

，二面角C—PD—A的正弦值為李

【解析】【分析】（1）連接AC,利用241面ABCD結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，所以241

AB,PA1AC,再利用4B1P44B1PC結(jié)合線線垂直證出線面垂直，所以AB1面24C,再利用線面垂直的

定義證出線線垂直，所以AB1AC,以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立坐標(biāo)系，從而得出

點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量求解方法得出平面PBC的法向量，再

結(jié)合數(shù)量積求出點(diǎn)A到面PBC距離。

（2）由（1）結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面的法向量求解方法得出平面PCD的法向量和

面PAD的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式得出二面角C-PD-4的正弦值。

7

100(16-50-14-20)“

20.【答案】（1）解：K2X5.59

(16+14)-(20+50)-(16+20)-(14+50)

???3.841<K2<6.635.?.至少有95%把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系

（2）解：設(shè)/事件是“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”，B事件是“物理成績優(yōu)秀”,

則「（月⑷=需=墨3

’100

（3）解：X=1有2種情況：

.取出1個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)秀物理不優(yōu)秀的學(xué)生，1個(gè)數(shù)學(xué)物理都不優(yōu)秀的學(xué)生

取出1個(gè)數(shù)學(xué)物理都優(yōu)秀的學(xué)生，1個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)秀物理不優(yōu)秀的學(xué)生

0&0+*6?0_

.p（X-1）-月20_32__132

..尸（△一】）一十_99+495—495，

L100L100

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，從而判斷出至少有95%把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績

與物理成績之間有關(guān)系。

（2）利用已知條件結(jié)合條件概型求概率公式得出該學(xué)生物理成績不優(yōu)秀的概率。

（3）利用已知條件結(jié)合分類討論的方法和組合數(shù)公式和古典概型求概率公式以及互斥事件加法求概率公

式，進(jìn)而得出X=1的概率。

16

21.【答案】⑴解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(%,y),則備?隨=—%即導(dǎo)+產(chǎn)=i(K力±2),

2

所以曲線C的方程為竽+y2=1(%±±2).

y=kx+m

2消去y并整理得(4左2+1)%2+8kmx+47n2—4=

(2)證明：設(shè)M(%0%),N(%2,%)，由(%彳+,y22=1

0,

由4=64k27n2—4(4/c2+l)(4m2—4)>0,得4/c?+1>m2,

匚匚I、1,8km47n2—4

所以％1+%=-----2—，%1%2=-7----?

24fcz+l4fcz+l

MA:y=赳(久+2)nE(0,晟)，NB：y=舂^(久一2)nF(0,塞|),

因?yàn)镋。=3。凡所以-??=3?警,即丫式4—2)=3y2(%i+2),

JC]~乙?尤2乙

??.(k%i+m)(x2—2)=3(/CX2+m)(%i+2),

:.2kxix?+(2k+3771)(%1+%2)+4(k—m)x2+8m=0,

所以2k?^2-~+(2k+3m)—+4^_也)％?+87n=0,

4/+14fcz+l

2

所以(k—m)[4/cm-2+(4/c+1)%2]=。對任意％2都成立，

k=m,故直線1過定點(diǎn)(一1,0).

【解析】【分析】(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為。，y),再利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式得出曲線C的方程。

(2)設(shè)M(%i，yi),Ng,丫2)，再利用直線與橢圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理得出

4k2+1>62和/+久2=--§鑼勺％2=駕心，再利用直線方程和代入法得出點(diǎn)E,F的坐標(biāo)，再結(jié)合

2

~EO=3而和向量共線的坐標(biāo)表示得出(k-m)[4/cm-2+(4/c+l)x2]=0對任意%2都成立，進(jìn)而得出k=m,

從而證出直線1過定點(diǎn)。

22.【答案】(1)證明：若a=1,/(x)=xex—Inx,(x>0),f(%)