云南中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型之三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（二）解析版

專題14三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（二）

目錄

熱點(diǎn)題型歸納...........................................................................

題型01等腰三角形的性質(zhì)與判定...........................................................................1

題型02等邊三角形的性質(zhì)與判定...........................................................................6

題型03直角三角形的性質(zhì)與判定..........................................................................12

題型04勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題.............................................................16

題型05趙爽弦圖.........................................................................................18

題型06利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題........................................................................20

題型07與三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題..........................................................................24

中考練場(chǎng).................................................................................................32

熱點(diǎn)題型歸納

題型01等腰三角形的性質(zhì)與判定

【解題策略】

等腰三角形性質(zhì):

1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角“）.

2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.

等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.

方法總結(jié)

1.等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分，若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰,角沒(méi)有明是頂角還是底角,

需要分類討論.

2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.

3.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸.

4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,貝吟＜a.

6.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為/A,底角為NB、ZC,則/A=180°-2NB,ZB=ZC=180^

7.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形.（即頂角36。，底

角72°）.

8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要

依據(jù).

【典例分析】

例1.（2023?山西）如圖，在四邊形4BCD中，/.BCD=90°,對(duì)角線力C,BD相交于點(diǎn)。,若AB=AC=5,BC=6,

乙ADB=24CBD,貝ijAD的長(zhǎng)為

【答案】三

【解析】【分析】

過(guò)點(diǎn)4作AHLBC于點(diǎn)延長(zhǎng)ZD,BC交于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出=HC==3,根據(jù)勾股定理求出

AH=VAC2-CH2=4,證明NC8D=乙CED,得出DB=DE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CE=BC=6,證明CD//4H,

得出穿=黑，求出CD=*根據(jù)勾股定理求出DE=7CE2+CD2=I62+（如=根據(jù)得出普=笠,

AnncDA/V33ADCn

即業(yè)=3求出結(jié)果即可.

AD3

本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判

定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì).

【解答】

解：過(guò)點(diǎn)4作AH1BC于點(diǎn)H,延長(zhǎng)2。，BC交于點(diǎn)E,如圖所示:

A

則乙4HC=乙4HB=90°,

AB=AC=5,BC=6,

；.BH=HC=3BC=3,

???AH=VAC2-CH2=4，

???Z-ADB=Z-CBD+Z-CED,Z-ADB=2乙CBD,

???乙CBD=Z-CED,

??.DB=DE,

???乙BCD=90°,

???DC1BE,

CE=BC=6,

??.EH=CE+CH=9,

-DCVBE,AHVBC,

??.CD//AH,

???△ECDsAEHA,

.CD_CE

???AH=~HEf

即"=

149

解得：CD=l

DE=VCE2+CD2=J6?+（$2=27；,

??.CD//AH,

???”=%

ADCH

2AT97

即二IZ=e,

AD3

解得：4。=等.

故答案為qz.

例2.（2024?江西模擬）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=苫。＞0）的圖象上，點(diǎn)8在x軸正半軸上，若A。45為等腰三角

形，且腰長(zhǎng)為5,貝必8的長(zhǎng)為.

【答案】5或2西或同

【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可.

【詳解】解：①當(dāng)AO=AB時(shí)，AB=5；

②當(dāng)A8=B0時(shí)，AB=5；

③當(dāng)OA=OB時(shí)，貝!1。3=5,B(5,0),

設(shè)A(a,—)(a>0),

a

U：OA=5,

小+(掙=5,

解得：%=3,a2—4,

(3,4)或(4,3),

:.AB=1@-5尸+42=24或A3=J(4-5)2+32=V10；

綜上所述，AB的長(zhǎng)為5或或

故答案為：5或2有或4U.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐

標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?上海）如圖，在△力8c中，CD平分NACB,S.CDJ.48于點(diǎn)D,DE//BC交2C于點(diǎn)E,BC=3cm,AB=2cm,

那么△2DE的周長(zhǎng)為cm.

【答案】4

【解析】【分析】

本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上

的高相互重合.

先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，求得AC-BC=3cm.AD=^AB=1cm,再根據(jù)平行線和角平分線，求得DE=

CE,后根據(jù)等角的余角相等，求得=即可求得。E=AE=CE==|cm,最后計(jì)算△4DE的周長(zhǎng).

【解答】

解：???△ABC中，CD平分乙4CB,且CD_LAB于D,

???Z-A=乙B,

???AC=BC=3cm,

又???CDLAB,

CD是△ABC的中線，

1

:.AD=-AB=1cm,

DE“BC,CD平分乙4CB,

???乙EDC=乙BCD=4ECD,

DE=CE,

又ZX+乙ECD=^ADE+乙EDC=90°,

???Z-A=Z-ADE,

DE=AE,

/.DE=AE=CE.即E是AC的中點(diǎn)，

13

??.DE=AE=^AC=^cm,

QQ

△力DE的周長(zhǎng)為：1+-+-=4cm.

故答案為:4.

2.（2023?北京）如圖，。4是。。的半徑，BC是O。的弦，0418C于點(diǎn)D,4E是。。的切線，2E交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E若乙4OC=45。，BC=2,則線段2E的長(zhǎng)為.

【答案】，攵

【解析】【分析】根據(jù)。4,8C,得出/。。。=90。，DC=2BC=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出。C=/20C=

-2,即。4=0C=/2,根據(jù)ZQ4E=90°,AAOC=45°,得出△40E為等腰直角三角形，即可得出4E=OA=<2.

【詳解】解：OA1BC,

???乙ODC=90。，DC=^BC=1.

???4Aoe=45°,

。。。為等腰直角三角形，

???OC=yTl.DC=

???OA=OC=V-2.

???4E是。。的切線，

???Z.OAE=90°,

???^AOC=45°,

??.△ZOE為等腰直角三角形，

???AE=OA=y/~~2.

故答案為：-2

題型02等邊三角形的性質(zhì)與判定

【解題策略】

等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.

2）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.

等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.

2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

方法總結(jié)

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸.

3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°,無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形.

5.等腰（等邊）三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重

合.

6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=竺邊長(zhǎng)2

4

【典例分析】

例1.（2023?湖北模擬）如圖，有一個(gè)亭子，它的地基是邊長(zhǎng)為4根的正六邊形，則地基的面積為（）

A.4V-3m2B.12ATWC.24m2D.24y/~3m2

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查的正多邊形和圓，理解正六邊形被半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵，先推出AOBC為等邊

三角形，求出BP,OP,再求出SAOBC，即可求得正六邊形的面積.

【解答】

解：???六邊形4BCDEF為正六邊形，

360°

ABOC=嚶=60°,

6

???OB=0C,

.*.△OBC為等邊三角形，

???OB=0C=BC=4m,乙BOP=30°,

???BP=2m,OP=2y/~3m,

???S&OBC=^BC-OP=^X4X2/3=4<3(m2),

二正六邊形的面積為6SAOBC=24V-3(m2),

故選：D.

例2.(2023?黑龍江模擬)如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線4C,BD相交于點(diǎn)。，AB=6,ND4c=60。，點(diǎn)F在線段4。

上從點(diǎn)4至點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，連接。尸，以DF為邊作等邊三角形DFE,點(diǎn)E和點(diǎn)4分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①乙BDE=乙EFC；

②ED=EC；③乙4DF=乙ECF；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是245其中正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】解：①A.DAC=60°,OD=OA,

△CMD為等邊三角形，

Z.DOA=Z.DAO=Z.ODA=60°,AD=OD,

???△QFE為等邊三角形，

???乙EDF=Z.EFD=乙DEF=60°,DF=DE,

???乙BDE+乙FDO=AADF+乙FDO=60°,

Z.BDE=Z.ADF,

vZ.ADF+Z.AFD+Z.DAF=180°,

Z.ADF+Z.AFD=180°-^DAF=120°,

???乙EFC+Z.AFD+乙DFE=180°,

:.乙EFC+Z.AFD=180°-乙DFE=120°,

??.Z.ADF=(EFC,

???乙BDE=Z.EFC,

故結(jié)論①正確；

②如圖，連接。凡

AD=OD

Z-ADF=Z.ODE,

DF=DE

???△ZMFg2kDOE(S/S),

???乙DOE=乙DAF=60°,

???乙COD=180°-^AOD=120°,

???乙COE=乙COD一乙DOE=120°-60°=60°,

???Z-COE=乙DOE,

在△OOE和△OCE中，

OD=OC

Z-DOE=乙COE,

OE=OE

???△ODE^LOCE(S/S),

???ED=EC,Z,OCE=乙ODE,

故結(jié)論②正確；

③乙ODE—Z.ADF,

???AADF=^OCE,即44DF=NECF,

故結(jié)論③正確；

④如圖，延長(zhǎng)OE至E',使OE'=OD,連接DE',

DAF^ADOE,/.DOE=60°,

???點(diǎn)尸在線段40上從點(diǎn)力至點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)。沿線段。E'運(yùn)動(dòng)到E',

OE'-OD=AD=AB-tanZ-ABD-6-tan30°=2A/-3>

二點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是2>O，

故結(jié)論④正確；

故選：D.

①根據(jù)ADAC=60。，OD=OA,得出△O4D為等邊三角形，再由△DFE為等邊三角形，得乙EDF=4EFD=4DEF=

60°,即可得出結(jié)論①正確；

②如圖，連接。E,利用$4S證明ADaFgADOE,再證明△ODE四△OCE,即可得出結(jié)論②正確；

③通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論③正確；

④如圖，延長(zhǎng)0E至E',使。E'=。。，連接。E',iljlADAF^^DOE,/.DOE=60°,可分析得出點(diǎn)尸在線段4。上從點(diǎn)

4至點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)。沿線段0E'運(yùn)動(dòng)到E',從而得出結(jié)論④正確；

本題主要考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、等邊三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?廣東模擬）如圖，等邊AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在。。上，4D是。。的直徑.若。4=3,則劣弧命的長(zhǎng)是（）

B

D

A.]B.71C.yD.2n

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查等邊三角形及圓的弧長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式并能熟練應(yīng)用.

連接。B、BD,由等邊△ABC,可得ND=NC=60°,且。B=OD,故4B。。是等邊三角形，乙BOD=60°,又半徑CM=

3,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得劣弧BD的長(zhǎng).

【解答】

解：如圖，連接OB,BD.

???△ABC是等邊三角形，

ZC=60°.

AB=AB>

???Z-D—Z-C—60°,

又???OB=OD,

是等邊三角形.

??.Z,BOD=60°.

???半徑。/=3,

???劣弧BD的長(zhǎng)為嚅=7T.

loU

故選8.

2.(2023?四川模擬)如圖，在菱形4BCD中，乙4=60。，點(diǎn)E,F分別在邊力B,BC上，AE=BF=2,ADEF的周長(zhǎng)為

3門，則AD的長(zhǎng)為

()

AC

C.AT3+1D.1

【答案】C

【解析】解：如圖，連接BD,作垂足為“，

???四邊形4BCD是菱形，

?-.AB^AD,AD〃BC,

???乙4=60°,

???△4BD是等邊三角形，乙ABC=180°一乙4=120°,

AD—BD,Z-ABD=乙4=Z.ADB=60°,

???(DBC=乙ABC-Z.ABD=120°-60°=60°,

vAE=BF,

???△/0E^80F(S/S),

:.DE=DFfZ-FDB=Z.ADE,

???Z-EDF=Z.EDB+乙FDB=乙EDB+Z-ADE=Z.ADB=60°,

.?.ADE尸是等邊三角形，

?.?△。后F的周長(zhǎng)是3-，

???DE=7-6-

設(shè)力H=x,則HE=2-x,

vAD=BD,DH1AB,

1

AADH=^ADB=30°,

AD=2x,DH=7-3%,

在Rt△￡)“￡'中，DH2+HE2=DE2,

(Cx)2+(2-x)2=(O，

解得：x=l±p(負(fù)值舍去)，

AD=2%=1+A/-3>

故選：C.

連接BD,作。垂足為H,先證明△ZB。是等邊三角形，再根據(jù)S4S證明△ZDE也△得到是等邊三

角形，根據(jù)周長(zhǎng)求出邊長(zhǎng)DE=/%,設(shè)/月=第，則HE=2—%,DH=<3%,在中，根據(jù)勾股定理列方程求

出工,進(jìn)而得到4。=2%的值.

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角

形，根據(jù)勾股定理求出4乩

題型03直角三角形的性質(zhì)與判定

【解題策略】

【典例分析】

例1.（2022?浙江）如圖，在RtZkABC中，AACB=90°,ZX=30°,BC=2cm.把△力BC沿4B方向平移1cm,得到△

A'B'C,連結(jié)則四邊形的周長(zhǎng)為cm.

c

【答案】8+2V3

【分析】通過(guò)勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函數(shù)，分別計(jì)算出四邊形的四條邊長(zhǎng)，再計(jì)算出周長(zhǎng)即可.

【詳解】解：VZ4CB=90°,ZX=30°,BC=2cm,

：.AB=2.BC=4,

：.AC=y/AB2-BC2=V16-4=2A

,把△ABC沿48方向平移lcm,得到AA'B'C',

：.CC'=1,XB,=4+1=5,B'C'=BC=2,

四邊形的周長(zhǎng)為：2百+l+5+2=8+2V3,

故答案為：8+2V3.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函數(shù)，能夠熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2022?甘肅)如圖，菱形A8C。的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,E為的中點(diǎn)，連接OE,^ABC=60°,BD=

4V3,貝!]OE=()

A.4B.2V3C.2D.V3

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ZB=AD=DC=BC,ACLBD,再由△40。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得

出OE=\AD.利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長(zhǎng)公式求出4。=4,進(jìn)而求出0E=2.

【詳解】???12285是菱形，E為A。的中點(diǎn)，

???AB=AD=DC=BC,AC1BD.

AAOD是直角三角形，OE=加.

???NABC=60°,BD=4V3,

AADO=-AADC=-AABC=30°,OD=-BD=-x4A/3=2>/3.

2222

???AD2--AD2=OD2,BP-TID2=12,

44

AD=4,OE=-AD=4x4=2.

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力.解題關(guān)鍵是得出。并求得4D=4.求解

本題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)理解并運(yùn)用菱形對(duì)角線互相垂直且平分、對(duì)角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì).

【變式演練】

1.（2023?廣東模擬）下列各組線段a、b、c中不能組成直角三角形的是（）

A.a=7,b=24,c=25B.a=40,b=50,c=60

C-a=lb=Lc=|D.a=CLb=4,c=5

【答案】B

【解析】解：4、72+242=252,故是直角三角形，不符合題意；

B、402+502^602,故不是直角三角形，符合題意；

C、號(hào)）2+12=《）2,故是直角三角形，不符合題意；

。、42+52=（E）2,故是直角三角形，不符合題意.

故選B.

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足。2+爐=。2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算分

析即可.

此題主要考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理逆定理計(jì)算分析是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?遼寧模擬）如圖，在口A8CD中，過(guò)點(diǎn)C作CE14B,交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若NR4D=48。，則NBCE的度數(shù)為

D.132°

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出NB的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

由平行四邊形的性質(zhì)得出48=L.EAD=48。，由直角三角形的性質(zhì)得出NBCE即可.

【解答】

解：???四邊形4BCD是平行四邊形，

AD//BC,

乙B=Z.EAD=48°,

CE1AB,

：.乙E=90°,

Z.BCE=90°一4B=42°.

3.（2023?江蘇模擬）如圖，在RtA4BC中,3842=90。,將△2BC繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后

得到△AB'C'（點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C'）,連接CC',若NB=80。，則NCC0

的大小是（）

A.25°

B.30°

C.35°

D.40°

【答案】C

【解析】解：???將AABC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到A

???AC=AC,NSC'=90。，Z-ACC'=^AC'C=45°,乙AB'C'=AB,

■.乙B=80°,

.-./.AB'C=48=80°,

vNAB'C'是△CB'C'三角形的外角，

乙CC'B'=乙AB'C'-/.ACC=35°.

故選：c.

由△ABC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到AaB'C',可知AC=AC',/.CAC'=90。,所以乙4CC'=￡.AC'C=45。,乙48'（7'=乙B,

根據(jù)外角性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，通過(guò)三角形旋轉(zhuǎn)找到對(duì)應(yīng)相等的邊和對(duì)應(yīng)相等的角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型04勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題

【解題策略】

1）因?yàn)檎叫尉W(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，所以在正方形網(wǎng)格中的計(jì)算都可以歸結(jié)為求任意兩個(gè)格點(diǎn)之間的長(zhǎng)度問(wèn)題,

一般情況下都是設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,然后應(yīng)用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

2）網(wǎng)格中，求頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的四邊形或五邊形等幾何圖形的面積，可利用外部補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化成用長(zhǎng)方形（或正方形）的面

積減去直角三角形面積.

【典例分析】

例1.（2024?陜西模擬）如圖，在9x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若BZ）是/

ABC的平分線，則8。的長(zhǎng)為（）

「3V10

C.-------D.3V10

2

【答案】A

【分析】利用勾股定理求出4B、BC、AC的長(zhǎng)，可得△力BC為等腰三角形，利用等腰三角形三線合一可得AD的值，繼

續(xù)用勾股定理即可求出BC的值.

【詳解】解：由題可知，AB=5,BC=V32+42=5,AC=V92+32=3V10,

?*.AB-BC,

又???80平分乙

??.AD=^AC=^Y-,且801AC,即三角形A3。是直角三角形，

...BD=ylAB2—AD2=J52—（當(dāng)'=半.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的三線合一，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?北京模擬）圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點(diǎn)A,B,C,D,E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么NECD+NEDC=

【答案】90

【分析】由題意設(shè)出網(wǎng)格邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理分別表示出DE2,CE2,再利用勾股定理逆定理可得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為m

由勾股定理求得CD?=20a2,DE2=18a2,CE2=2a2,

CD2=DE2+CE2

.?.△CDE為直角三角形，

即NEC。+乙EDC=90°

故答案為：90.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，表示出各邊的平方是解答本題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?吉林）圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段4B的端點(diǎn)均在格

點(diǎn)上.在圖①、圖②、圖③中以4B為邊各畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，

且所畫(huà)三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)勾股定理可得48=花，結(jié)合題意與網(wǎng)格的特點(diǎn)分別作圖即可求解.

【詳解】解：如圖所示,

如圖①，AC=AB=Vl2+22=V5,則AABC是等腰三角形，且AZBC是銳角三角形,

如圖②，AD=AB=Vl2+22=V5,BD=Vl2+32=V10,則力。2十人8？=BZ)2,則△2BD是等腰直角三角形,

如圖③，AE=AB=Vl2+22=V5,則△ABE是等腰三角形，且△力BE是鈍角三角形，

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，等腰三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

題型05趙爽弦圖

【解題策略】

趙爽弦圖的幾何意義：

1)證明勾股定理：c2=a2+b2

2)IJ=b-a

3)S正方形EFGH=C2=a2+b2,S正方形IJKL=(b-a)2

4)S陰影二S正方形EFGH-S正方形IJKL=2ab

【典例分析】

例1.(2024?湖北模擬)如圖1,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢

代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影

部分的面積為S「空白部分的面積為S2,大正方形的邊長(zhǎng)為小正方形的邊長(zhǎng)為n,若S]=S2,則3的值為.

【答案】三

【分析】如圖(見(jiàn)解析)，設(shè)48=CD=a,先根據(jù)直角三角形的面積公式、正方形的面積公式求出S],S2的值，再根

據(jù)a=S2建立等式，然后根據(jù)&+S2=62建立等式求出a的值，最后代入求解即可.

【詳解】如圖，由題意得：AC=m,BD=n,AB=CD,A4BC是直角三角形，且m,n均為正數(shù)

則大正方形的面積為4c2=m2

小正方形的面積為BO?="

設(shè)力B=CD=a(a>0)

則S[=4SRt“BD+n2—4X^AB-BD+n2—2an+n2

1,

S2—4sA=4X2CD,AB=2a

S]=S2

A2an+n2=2a2

22

又Sr+S2=m,即2s2=m

.?.4a2-m2

解得a=￡或a=—￡（不符題意，舍去）

2

22

將a=1代入2cm+n=2a2得：mn4-n=

兩邊同除以與得：生+2（q2=1

2m

令巴=X>0

m

貝lj2%+2x2=1

解得X=等或X=［二<0（不符題意，舍去）

即巴的值為第

m2

故答案為：誓.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與幾何圖形、勾股定理、三角形全等的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，正確求出S1，S2的

值是解題關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?山東模擬）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將兩個(gè)“趙爽弦

圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ,記空隙處正方形力BCD,正方形

EFGH的面積分別為Si，S2（Si>S2）,則下列四個(gè)判斷：①Si+S2=?四邊形②DG=2XF；③若4EMH=30。，

則SI=352；④若點(diǎn)A是線段GF的中點(diǎn)，則3sI=4S2，其中正確的序號(hào)是

Qp

圖1圖2

【答案】①②③

【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為a,較長(zhǎng)直角邊為b,斜邊為c,則小正方形的邊長(zhǎng)為b-a,正

方形力BCD的邊長(zhǎng)為6,正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a,正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2c,由正方形面積公式，勾股定理逐項(xiàng)進(jìn)行

判斷即可.

【詳解】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為a,較長(zhǎng)直角邊為b,斜邊為c,則小正方形的邊長(zhǎng)為b-a,正

方形力BCD的邊長(zhǎng)為6,正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a,正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2c,

2222

；.Si-b,S2—a,S四邊形MNPQ=(2c)=4c.

222

..?Si+S2=a+b=c.

+S2=1S四邊形MNPQ.

故①正確；

AF=b—a,

??AG=FG-AF=CL—(b-CL)=2a-b.

?**DG=AD-AG=b—(2a—b)=2(b—a).

：.DG=2AF.

故②正確；

=30°,/LMHE=90°,

：.MH=y/3HE.

即￡>=V3a.

AZ?2=3a2.

..?Si=3s2.

故③正確；

???點(diǎn)A是線段GF的中點(diǎn)，

：.AG=AF.

即2a—b=b—a.

/.2b=3a.

.*.462=9a2.

???4Si=9s2.

故④不正確；

故答案是①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為Q,較長(zhǎng)直

角邊為山斜邊為C,用表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而解決問(wèn)題.

題型06利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

【解題策略】

利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:

1）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；

2）明確已知條件及結(jié)論；

3）利用勾股定理解答，并確定實(shí)際問(wèn)題的答案.

【典例分析】

例1.（2023?四川）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)4處有一滴蜂

蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁4處所走

【答案】10

【分析】如圖(見(jiàn)解析)，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)夕，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知49的長(zhǎng)度即為

所求，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)?，作夕D14E,交力E延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>,連接4B，，

由題意得：DE=[BB，=1cm,Xf=9-4=5(cm),

??.AD=AE+DE=6cm,

,底面周長(zhǎng)為16cm,

B'D=^x16=8(cm),

AB'=y/AD2+B'D2=10cm,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁4處所走的最短路程為=10cm,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)一最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

2.(2023?山東)一艘船由A港沿北偏東60。方向航行30km至2港，然后再沿北偏西30。方向航行40km至C港，則

A,C兩港之間的距離為km.

【答案】50

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，易證△力BC是直角三角形，利用勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，根據(jù)題意，得4NIIBM,ANAB=60°,NMBC=30。，AB=30km,BC=40km

'：AN\\BM

=180°-4NAB=180°-60°=120°

：.^ABC=^ABM-乙MBC=120°-30°=90°

在RtAABC中，AC=>JAB2+BC2=V302+402=50（km）

即A,C兩港之間的距離為50km.

故答案為：50

【點(diǎn)睛】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明AABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?陜西模擬）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容

器底部3cm的點(diǎn)8處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行

的最短路徑是—.

螞蟻力

B

【答案】13cm/13厘米

【分析】如圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)4,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知4B的長(zhǎng)度即為所求.

【詳解】解：如圖：

?.?高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)2處有一飯粒，

此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，

二將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4B,貝IJ4B即為最短距離，

：.A'D=5cm,BD=12-3+AE=12(cm),

J.A'B=>JA'D2+BD2=V52+122=13(cm),

即螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是13cm.

故答案為：13cm

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、平面展開(kāi)一最短路徑問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用等，正確利用側(cè)面展開(kāi)圖、熟練運(yùn)用

相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?北京模擬)一塊木板如圖所示，已知2B=4,BC=3,DC=12,AD=13,ZB=90°,求此木板的面

積.

【答案】24

【分析】連接4C,利用勾股定理解出直角三角形48c的斜邊，通過(guò)三角形2CD的三邊關(guān)系可確定它為直角三角形，木

板面積為這兩三角形面積之差.

【詳解】解：如圖所示，連接4C,

??,乙B=90°,AB=4,

AC=y/AB2+BC2=5,

vDC=12,AD=13,

DC2+AC2=52+122=169=132,

.?.△4DC是直角三角形，

11

S木板=SAADC—SMBC=3X5x12-5X3x4=24.

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理及其勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

題型07與三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題

【解題策略】

利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟:

1）運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；

2）在圖形中找到一個(gè)直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x,將此直角三角

形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來(lái)；

3）利用勾股定理列方程求出x；

4）進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題.

【典例分析】

1.（2024?四川模擬）如圖，AABC中，N4CB=90。,4。=8,BC=6,將AADE沿。E翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，貝U

CE的長(zhǎng)為（）

AA.—19B.2D

8c?-；

【答案】D

【分析】先在網(wǎng)1BC中利用勾股定理計(jì)算出AB=10,再利用折疊的性質(zhì)得到AE=8E,AD=BD=5,設(shè)AE=_r,則

CE=AC-AES-x,BE=x,在尺公BCE中根據(jù)勾股定理可得到/=62+（8-x）2,解得x,可得CE.

【詳解】解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=>JAC2+BC2=10,

△AQE沿OE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重合,

??.但BE,AD=BD^AB=5,

設(shè)AE=x,貝!ICE=AC-AE=8-無(wú)，BE=x,

在RtXBCE中

222

"：BE=BC+CE,

.*.X2=62+(8-X)2?解得x=空,

4

257

???CE=8--=-

44

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.也考查了勾股定理.

2.（2024.重慶模擬）如圖，在放△ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)。是8C上一動(dòng)點(diǎn)，連接A。，將4

AC。沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接。E交4B于點(diǎn)尸，當(dāng)/。胡是直角時(shí)，。尸的長(zhǎng)為（）.

c

33

A.5B.3C.-D.-

24

【答案】c

【分析】如圖，由題意知乙4ED=NC=90。，AE=AC=3,DE=CD,AAED=Z.DEB=90°,可知4、E、B三點(diǎn)共

線，E與尸重合，在RtAABC中，由勾股定理得BC=7AB2-4c2,求BC的值，設(shè)DF=DE=CD=x,BD=4-x,

在RtABDE中，由勾股定理得BE?=B"一。52,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，

是直角

:.乙DEB=90°

由題意知N4ED=ZC=90°,AE=AC=3,DE=CD

：.^AED=乙DEB=90°

二力、E、B三點(diǎn)共線

...E與F重合

在RtAABC中，由勾股定理得BC=7AB2-4(72=4

設(shè)DF=DE=CD=x,BD=4-x

在Rt△BDE中，由勾股定理得8產(chǎn)=BD2-DE2^22=(4-x)2-x2

解得X=I

.?.OF的長(zhǎng)為|

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于明確2、E、B三點(diǎn)共線，E與尸重合.

【變式演練】

1.（2024?廣東模擬）如圖，在△A8C中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一點(diǎn)，且CO=3,E是BC邊上一

點(diǎn)，將△DCE沿。E折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接BR則8尸的最小值為_(kāi)____

:

cEB

【答案】3西一3/-3+3西

【分析】先由折疊判斷出產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以。為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，當(dāng)8、D、b共線且尸在8、。之間

時(shí)8尸最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)8。、8月的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：由折疊知，尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以。為圓心，C。的長(zhǎng)度為半徑的圓,如圖所示，

CB

可知，當(dāng)點(diǎn)8、D、F共線，且尸在2、。之間時(shí)，取最小值，

,/ZC=90°,AC=8,AB=10,

：.BC=6,

在Rt/\BCD中，由勾股定理得：BD=y/CD2+BC2=V32+62=3V5,

:.BF=BD-DF=3乘-3,

故答案為：一3.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問(wèn)題屬于中考?？碱}

型，根據(jù)折疊確定出廠點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵.

2.(2023?安徽模擬)如圖，在直角三角形紙片ABC中，乙4cB=90。，AC=3,BC=4,點(diǎn)。在邊上，以CD為折

痕將△CBD折疊得到△CDF,CF與邊4B交于點(diǎn)E,當(dāng)DF14B時(shí)，BD的長(zhǎng)是.

【答案】|

【分析】作CH1AB于H,由勾股定理得4B=5,由等面積法可得CH=芳，由同角的余角相等可得4力CH=KB,由

折疊的性質(zhì)可得ZB=NF,4DCE=3CB,由等角的余角相等可得乙F=NHCE,從而得出乙4cH=NHCE,進(jìn)而得

出NHCD=45。，△”(?￡)為等腰直角三角形，則C”=DH=苦，由勾股定理可得AH=g,最后由BD=-4H-

進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作CH1AB于H,

在RtAACB中，AC=3,BC=4,

???AB=yJAC2+BC2=V32+42=5,

???ShABC=\AC-BC=\AB-CH,

…rACBC3X412

???CH=---=——=—,

AB55

???乙ACB=Z.AHC=90°,

???乙ACH+乙BCH=90°,Z.BCH+=90°,

???Z,ACH=乙B,

由折疊的性質(zhì)可得：乙B=LF,ADCE=/.DCB,

:.Z-ACH=(B=Z-F,

???FD1AB,

???乙FDE=90°,

??.Z.F+乙FED=90°,

???Z-HCE+MEH=90°,乙FED=乙CEH,

???乙F=乙HCE,

???Z,ACH=乙HCE,

???乙DCE=乙DCB,4ACH+乙HCE+乙DCE+乙DCB=90°,

-1-1

乙HCD=乙HCE+Z.DCE=+乙BCE)=^ACB=45°,

CDH為等腰直角三角形，

12

:.HC=HD=y,

???AH=y/AC2-CH2=J32-(蓑7=

9174

BD=AB-AH-DH=5----=-

555f

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、同角或等角的余角相等、勾股定理，熟練掌握

折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、同角或等角的余角相等，是解題的關(guān)鍵.

中考練場(chǎng)

1.（2023?天津）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)、E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,D4上，點(diǎn)M,F,Q都在對(duì)角線BD

S/

上，且四邊形MNPQ和4EFG均為正方形，則盧里絲絲的值等于.

正方形AEFG

【答案w

【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的面積的計(jì)算，熟練掌握等腰直角三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)輔助線的性質(zhì)得到N4BD=MBD=45°,四邊形MNPQ和4EFG均為正方形，推出△3即與4

BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=^48,BM=MN=QM,同理。Q=MQ,即可得到結(jié)論.

【解答】

解：由題意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=DG=GF=GA=AE=BE=^AB.

S正方形MNPQ=MN2=-AB2,

S正方形AEFG二.

c

.正方形MNPQ_21_8

S