直線與方程講義-2025屆高三數(shù)學一輪復習

第10章解析幾何

模塊1直線與方程

§第1節(jié)直線的方程

一、內(nèi)容提要

1.直線的傾斜角與斜率

①傾斜角：直線朝上的方向與X軸正向形成的夾角，叫做直線的傾斜角；當直線與無軸平行或重

合時，規(guī)定直線的傾斜角為0。,所以直線傾斜角。的取值范圍為0°<a<180°.

②直線的斜率k與傾斜角a的關系：k=tana,當a=90。時，稱直線的斜率不存在.

③兩點連線斜率公式：設人（久1，丫1）田（久2、2）,%17%2,則直線八8的斜率k=2左.

④斜率與方向向量的關系：當直線/的斜率為k時，/的一個方向向量為m=（l，k）;當直線/的

斜率不存在時，/的一個方向向量為m=（0,1）;若已知直線/的一個方向向量為m=（x，y）,則當

xWO時，其斜率k=Z當x=0時，其斜率不存在.

X

⑤計算兩直線的夾角余弦：設直線。的一個方向向量為m,直線。的一個方向向量為n,0與b的

夾角為0，貝!Icos0=|cos〈m，n）|=獸累.

2.直線的方程:

名稱條件方程形式表示范圍

點斜式斜率k,點P（xo,y。）y-yd=k(x-xo)不含斜率不存在的直線

斜截式斜率k,y軸上的截距by=kx+b不含斜率不存在的直線

倒斜率m（mW或m=0）,x軸上的截距t

橫截式x=my+t不含斜率為0的直線

業(yè)=1不與坐標軸垂直且不過原

截距式x軸、y軸上的截距a、bab

點的直線

y-yi_x-x!

兩點式A(xj,y),B(X2,Y2)不與坐標軸垂直的直線

tY2-Y1x2-xt

一般式A,B不同時為0Ax+By+C=O所有直線

3.直線L：Aix+Biy+Ci=O和必A?x+Bzy+C?=0的平行與垂直：

①當卬出時，A1B2=A2B1,但需注意，當兩直線重合時也滿足此式，故應檢驗是否重合.特

別地，當兩直線斜率存在時，若它們的斜率分別為k],k2,則兩直線平行時有ki=k2.

②41GA'AZ+B/2=0,此式包括兩直線斜率都存在且乘積為-1的一般情況，和一條直線斜

率為0,另一條直線斜率不存在的特殊情況.注：當兩直線斜率都存在時，211%=嚷1<2=-

1.

4.若直線方程只含1個參數(shù)，則該直線很可能過定點.例如，直線/的方程為x-my+1-m

=0,則可變形為x+1-m（y+1）=0,無論m如何變化，點A（-1，-1）始終滿足該方程，所以

直線/過定點A.

二、考點題型

類型I：直線的傾斜角與斜率

【例1】直線/經(jīng)過點(0,2)和(3,-1),則直線/的傾斜角a為.

【變式1】已知直線/經(jīng)過A(2V2x，-2),B(0，x2)兩點，其中x20,則直線/的傾斜角a

的取值范圍是()

A出用理,n)D

?A)

【變式2】設A(2,3),B(-3,6),直線/過點M(-l,-1)且與線段AB相交，則/的斜率k的取值

范圍是()

A.(-8,—u用，+oo)B卜美C.(-8,—U+8)D

卜兄］

【反思】①若題目與/有關的條件改為/的方程為X-my+l-m=o,還會做嗎？根據(jù)內(nèi)容提要第4

點，直線/隱藏了過定點(-1,-1)這一條件，接下來的過程和本題相同；②當直線/從4繞定點

旋轉到胡寸，若旋轉過程中經(jīng)過了豎直線，則斜率的變化范圍取兩者之外；若沒有經(jīng)過豎直線,

則取兩者之間.

類型n：斜率的幾何意義的運用

【例2】已知點A(-l-V3--1),B(3,0),若點M(x,y)在線段AB上，則詈(xA—1)的取

值范圍是()

A.(-oo--l]u[V3<+oo)B.C.[-1-V3]D.

【反思】根據(jù)兩點連線的斜率公式k=g所展現(xiàn)的形式，解析幾何中涉及關于X,y的一次

X2-X1

分式結構，都可以嘗試運用斜率的幾何意義來分析問題.

【變式】已知實數(shù)X,y滿足X2+y2=4(y>0),則若的取值范圍是.

類型皿：用方向向量解決夾角問題

【例3】已知正三角形某內(nèi)角的平分線所在直線的斜率為學，寫出該內(nèi)角的兩邊中，其中一邊所

在直線的斜率.

【反思】涉及直線與直線的夾角問題，?？紤]用直線的方向向量來處理.

類型IV：求直線的方程

【例4】直線/過點(1,1),傾斜角為。，且sina=等,則直線I的方程為.

［例5］已知AABC中，已知B(2,1),C(-2,3),則邊BC的中垂線I的方程為.

【例6】直線/過點(1,2),且在兩坐標軸上截距相等，則直線/的方程為.

類型V：直線的平行與垂直

u,

【例7］設直線k：(a+l)x+a2y—3=(J,%：2x+ay-2a-1=。，則“a=0”是l1//l2)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【例8】設直線(a+2)x+(l-a)y-3=0,以(aT)x+(2a+3)y+2=0,則"a=1"是2_1占'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式】若直線x-my+1=0過定點A,Z2：mx+y-m+3=0過定點B,乙與&交于點P,則|

PA|2+|PB|2=

【反思】當兩直線都含參時，應通過分析系數(shù)來判斷兩直線是否隱藏了垂直、平行這些特殊的位

置關系.

§第2節(jié)距離公式

一、內(nèi)容提要

22

1.兩點間的距離公式：設A（xi，yi）,B（X2，y2）；貝！I|AB|=J（xt-x2）+（yx-y2）.

2.點到直線的距離公式：設點P（x。，y°）,直線lAx+By+C=0,則點P到直線I的距離d=

|Axp+Byo+C|

VA2+B2

3.平行線間的距離公式：設/i：Ax+By+g=0,Z2:Ax+By+C2=0,CiC2,貝l|。和〃平

行，且它們之間的距離d=粵4

VA2+B2

4.弦長公式：設A（X1，y）B（X2，y2）,若A,B在直線y三kx+b上，貝!J|AB|=V1+k2-|Xi-

2

x2|;若A,B在直線xx=my+t上，貝||AB|=V1+m-\yr-y2|.

二、考點題型

類型I：兩點間的距離

【例1】設P為函數(shù)y=x+：的圖象上一點，0為坐標原點，則|0P|的最小值是（）

A.2B.V5C.2V2+2D.J2m+2

【例2】若x,y滿足3x+4y-13=0,則（x-+y?的最小值為（）

A.3B.4C.2D.6

【反思】解析幾何中看到“平方+平方”的結構，常往兩點間的距離這個方向思考.

類型II：點到直線的距離

【例3】已知A（-2,0）,B（4,a）兩點到直線/:3x-4y+l=0的距離相等，則a=（）

A.2C.2或-8

【變式】已知直線/：y=k（x-2）+2,當k變化時，點P（-1,2）到直線/的距離的取值范圍是（）

A.[0,+°°)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)

類型m：平行線間的距離

［例4］直線2x+y+l=0與直線4x+2y+a=0之間的距離為V5,則a=

§第3節(jié)直線相關的對稱問題

一、內(nèi)容提要

1.點關于直線對稱：如圖1,欲求點A關于直線/的對稱點A',可設A'(a,b),用AA，1%和

AA'的中點在直線I上來建立方程組求解a和b.

特殊情況：當/的斜率是土1時，可直接由/的方程分別將x,y反解出來，再將點A的坐標分

別代入即可求得A'的坐標.

2.圓關于直線對稱：如圖2,圓C和圓C'關于直線/對稱，則C和U關于直線/對稱，且兩圓

半徑相等.

3.直線與直線對稱：如圖3,求直線a關于直線/的對稱直線d',可抓住兩點：

①所求直線a'經(jīng)過直線a和直線I的交點P；

②在直線/上另取一點Q,根據(jù)點Q到直線a和a'的距離相等建立方程求解a'的斜率.特別地，

如圖4和圖5,若/是水平線或豎直線，則a和a'的傾斜角互補，斜率相反.

二、考點題型

類型I：點與線的對稱

【例1】點人(1,2)關于直線/:乂+丫-2=0的對稱點是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)

【反思】①求點A關于直線/的對稱點A',關鍵是抓住AA'的中點在/上和LAA'來建立方程組,

這是解決這類問題的通法；②解法2的做法，只適用于對稱軸的斜率為±1的情形.

【變式】已知直線/:x+3y-2=0,則直線/關于點A(l,1)對稱的直線t的方程為

類型II:圓關于直線的對稱

【例2】與圓C:(x-I)2+y2=1關于直線Z：x-y+l=O對稱的圓的方程為.

【反思】求圓C關于直線/的對稱圓C',關鍵是求點C關于直線/的對稱點C',兩圓半徑相等.

【變式】若方程X?+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲線關于直線y=x對稱，則

必有()

A.D=EB.D=FC.E=FD.D=E=F

類型ni：直線與直線對稱

【例3】直線/1；x+y-1=0關于直線Z:3x-y-3=0對稱的直線/2的方程為.

【變式1】直線/：3x-4y+5=0關于y軸對稱的直線t的方程為.

【變式2】設點A(-2,3),B(0,a),直線AB關于直線y=a的對稱直線為/,已知直線/與圓C:(x+3)

2+(y+2)2=1有公共點，則a的取值范圍為.

【總結】從例3及其后的兩個變式可以看出，當對稱軸不與坐標軸垂直時，可在對稱軸上另取一

點，由該點到