中考數學專項復習：旋轉模型-費馬點 壓軸好題（解析版）

旋轉模型一一費馬點壓軸好題（解析版）

1.（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知/BAC=60°,AB=4,AC=6,點尸在△ABC內，將△APC繞著點A逆時

針方向旋轉60°得到△AEP.貝！JAE+P3+PC的最小值為（）

【考點】旋轉的性質；軸對稱-最短路線問題.

【分析】連接8凡過點8作BOLAR與AE的延長線交于點。，由旋轉可知/B4E=/CAF=60°,AP=AE,

PC=EF,AC=AP=6,于是可得△從「￡為等邊三角形，進而得至UAE+PB+PC=PE+P3+E尸，利用含30度

的直角三角形性質可得AO=-AB=2,BD=\~AD=療，最后利用勾股定理求出8尸的長即可.

2

【解答】解：如圖，連接8尸，過點8作BOLAR與AF的延長線交于點。，

則乙4。2=90。，

:將△APC繞著點A逆時針方向旋轉60°得到

：.ZPAE=ZCAF^6Q°,AP^AE,PC=EF,AC=AF=6,

.?.△APE為等邊三角形，

：.AE=PE,

：.AE+PB+PC=PE+PB+EF,

:PB+PE+EF2BF,

當點8、P、E在同一條直線上時，PB+PE+EF取得最小值為8尸，即AE+PB+PC取得最小值為B凡

'：ZBAC=6Q°=ZCAE,

：.ZBAD=6Q°,

AZABD=30°,

：.AD=^AB=2,BD=RAD=e、R,

2

：.DF=AD+AF=2+6=8,

在RtABDF中，BF=JBD2旬產=V（243）2+82=

J.AE+PB+PC取得最小值為2>/19.

故選：B.

【點評】本題主要考查旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形性質、勾股定理，熟練

掌握旋轉的性質是解題關鍵.

2.（2023秋?翠屏區(qū)校級月考）法國數學家費馬提出：在AABC內存在一點P,使它到三角形頂點的距離之和最小.人

們稱這個點為費馬點，此時陰+PB+PC的值為費馬距離.經研究發(fā)現：在銳角AABC中，費馬點尸滿足NAP3

=ZBPC=ZCPA=120°,如圖，點尸為銳角AABC的費馬點，且必=3,PC=4,ZABC=60°,則費馬距離

【考點】軸對稱-最短路線問題；數學常識.

【分析】根據相似三角形的判定和性質，即可求解.

VZAPB=ZBPC=ZCE4=120,ZABC=6Q°,

?,.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,Z2+Z4=60°,

.\Z1=Z4,Z2=Z3,

:.△BPCs^APB

.PC=PB

*PBPA'

即PB2=12

：.PB=2y/3.

J.PA+PB+PC^+lyp；

故答案為：7+2j§.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關鍵是利用相似三角形的判定和性質.

3.(2022秋?大冶市期末)如圖，D是等邊三角形ABC外一點，連接AO,BD,CD,已知8。=8,CD=3,則當

線段的長度最小時，

①NBDC=60°；

②AD的最小值是5.

【考點】旋轉的性質；三角形三邊關系；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

【分析】以為邊向外作等邊三角形瓦汨，連接CE,判定△A3。/△C3E,即可得出CE=AD,再根據C,D,

E三點共線時，CE有最小值，即可得到的最小值為5,此時/8OC=60°.

【解答】解：如圖所示，以8。為邊向外作等邊三角形連接CE,

ABDE,△ABC均為等邊三角形，

；.BE=BD,AB=BC,NABC=/DBE=6Q°,AZABD=ZCBE,

rAB=CB

在△AB。和△CBE中，＜ZABD:ZCSE-

BD=BE

:.AABD咨ACBE(SAS),：.CE=AD,

；BE=BD=DE=8,CD=3,

...當C,D,E三點共線時，CE有最小值，

:.CE=DE-CD=8-3=5,

的最小值為5,此時NBDC=60°.

故答案為：①60°；②5.

￡

【點評】本題主要考查了旋轉的性質以及等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質的運用，解決問題的關

鍵是以BD為邊向外作等邊三角形BDE,依據全等三角形的性質得出結論.

4.(2023春?沈陽期中)如圖，在平面直角坐標系中，點A,點B分別是y軸，x軸正半軸上的點，且。1=08,

△AOC是等邊三角形，且點C在第二象限，M為NAOB平分線上的動點，將繞點。逆時針旋轉60°得到

ON,連接CMAM,BM.

(1)求證：AAMO當ACNO；

(2)若A點坐標為(0,4)；

①當的值最小時，請直接寫出點M的坐標；

②當AM+BM+OM的值最小時，求出點M的坐標，并說明理由.

【考點】幾何變換綜合題.

【分析】(1)先根據旋轉的性質得OM=ON,ZNOA=]5°,進而可求得/AOM=/CON=45°,再結合。4

=OC,依據"SAS''即可判定△AMO和△CN。全等；

(2)首先確定當AM+BM為最小時，點A、M、B在同一條直線上，此時由04=08=4,平分/A0B即可

得出點M為為的中點，進而可求出點M的坐標；

(3)連接MN,過點M作軸于點E,作的垂直平分線交x軸于點R由(1)可知：AM=CN,由轉

轉的性質得出△。跖V為等邊三角形，進而得AM+8M+0M=CN+2M+MN,因此當的值最小時，就

是CN+BM+MN的值最小，此時點8,M,N,C在同一條直線上，可由/OMB=120°,BOM=45°,求出/

0BM=15°,據此得N〃PE=30°,設.ME=a,貝。0E=a,MF=BF=2a,EF=Ma，再根據0B=0E+EF+FB

=4即可求出a的值，從而可求得點M的坐標.

【解答】（1）證明：平分NAOB,

ZAOM=45a,

由旋轉的意義可知：ZMON=60°,OM=ON,

：.ZNOA=ZMON-ZAOM=60°-45°=15°,

VAAOC為等邊三角形，

：.OA=OC,ZCOA=60°,

AZCON=ZCOA-ZNOA=60°-15°=45°,

ZAOM=ZCON,

在△AMO和△CNO中，

'ON=ON

■/AO%—CON，

OA=OC

.?.△AMO會"NO（SAS）.

（2）解：點M的坐標為（2,2）,理由如下：

,:點、M為ZAOB平分線上的動點，

.?.當為最小時，點A、M,2在同一條直線上，

當點A、M、B在同一條直線上時，

?.?點A的坐標為（0,4）,OA=OB,

：.OA=OB=4,

'JOM^^-ZAOB,

點M為為AB的中點，

...點M的坐標為（2,2）.

（3）解：點M的坐標為（6-言，立岑￡）,理由如下：

連接MN,過點M作兒軸于點E,作線段8M的垂直平分線交x軸于點F,

貝ljBF=MF,

由（1）可知：dAMO公ACNO,

：.AM=CN,

由轉轉的性質可知：OM=ON,NMON=6U°,

為等邊三角形，

OM^MN,

：.AM+BMWM=CN+BM+MN,

當AM+BM+OM的值最小時，就是CN+BM+MN的值為最小，

當CN+8M+MN的值為最小時，點8,M,N,C在同一條直線上，

：.ZOMB^1SO°-60°=120°,

TOM平分NAO3,

：.BOM=45°,

：.ZOBM=180°-45°-120°=15°,

又MF=BF,

AZFMB=ZOBM=15°,

/.ZMFE^ZFMB+ZOBM^30°,

設則OE=〃，

在/中，ME=a,NMFE=30°,

：.MF=2ME=2a,

22

由勾股定理得：EF=VIF-IE=V(2a)2-a2=V3

:?FB=FM=2a,

；.OB=OE+EF+FB=4,

即：aR3a+Za=4，

解得：6-2百,

QO

...點M的坐標為(立2應，立士返■).

【點評】此題主要考查了圖形的旋轉變換和性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，線段的

性質等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解兩點之間線段最短.

5.(2023秋?九龍坡區(qū)校級期中)如圖1,ZkABC為等腰直角三角形，/ABC=90°,點。為△ABC外一點，連接

AD,過點A作交BC于點E,過點。作垂足為X,HD=BC.

(1)求證：AE=ADi

(2)如圖2,延長到點G,連接G。，使得NHGD=NADH,尸為AC上一點，連接PG、FE,FE±AE.求

證：EF+GF=GD；

(3)如圖3,點K在△GHD內，連接KG、KH、KD,當KG+KH+KD的值最小時，直接寫出NKG/f+NK。//的

值.

c

【考點】三角形綜合題.

【分析】⑴根據等腰直角三角形的性質可證得△EAB絲AWH(ASA),即可推出AE=A。；

(2)在OG上截取DN=ER連接⑷V,FN,FN與AG交手M,利用SAS可證得△A￡7名△的＞%,得出NEAP

=/DAN,AF=AN,進而可得△AFN是等腰直角三角形，再證得AM平分/項N,利用等腰三角形的性質可得

AM±FN,FM=MN,即AG垂直平分推出GF=GN,即可證得結論；

(3)延長GK交HD于S,延長DK交GH于T,根據費馬點模型可知：當點K在△GH。內，KG+KH+KD的值

最小時，ZGKD=ZDKH=ZGKH=120°,再運用三角形外角性質即可求得答案.

【解答】(1)證明：如圖1,

?.?△A2C為等腰直角三角形，ZABC=90°,；.AB=BC,

"：HD=BC,：.HD=AB,

\'AE±AD,AZ￡AD=90°,：.ZEAB+ZBAD^90°,

'：DH±AB,：.ZDHA=90°,：.ZBAD+ZHDA=90°,：.ZEAB=ZHDA,

rZABE=ZDHA

在△EA3和△AD8中，＜AB=HD，：./\EAB^/\ADH(ASA),J.AE^AD；

ZEAB=ZHDA

(2)證明：如圖2,在。G上截取DN=ER連接⑷V,FN,FN與AG交于M,

'：DH±AB,：.ZAHD=ZDHG=90°,:./HGD+/HDG=90°,

"?ZHGD=ZADH,：.ZADH+ZHDG=9Q°,即NAZ)G=90°,

'：FE±AE,：.ZAEF=90°,：.ZAEF=ZADH,

'AE=AD

在AAEF和△ADN中，ZAEF=ZADN，

EF=DN

/.AAEF^AADN(SAS),

/.ZEAF=ZDAN,AF=AN,

'：AE±AD,

：.ZEAD=90°,

即/及皿+/94可=90°,

：.ZEAN+ZEAF=9Q°,

即/超N=90°,

AAFN是等腰直角三角形，

?.?△ABC為等腰直角三角形，ZABC=90°,

：.ZBAC=ZBCA=45°,

即NE4M=45°,

ZNAM=45°=ZFAM,

平分NMN,

：.AM±FN,FM=MN,即AG垂直平分FN,

：.GF=GN,

,：DN+GN=GD,

：.EF+GF=GD；

(3)解：如圖3,延長GK交”。于S,延長OK交G”于T,

CK

；?NGKD=NDKH=/GKH=120°,

AZKGH+ZKHG=ZHKS=60°,/KHD+/KDH=NHKT=60°,

：?NTKS=NHKS+/HKT=12U°,

VZKHG+ZKHD=ZDHG=90°,

???/KGH+/KHG+/KHD+/KDH=120°,

:?/KGH+/KDH=120°-QKHG+NKHD)=120°-90°=30°.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了三角形外角性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全

等三角形的判定和性質，費馬點模型，正確添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵.

6.(2024?銅梁區(qū)校級模擬)已知△A3C中A3=3C,點。和點E是平面內兩點，連接AD,DE^WBE,/BED=

90°.

(1)如圖1,若BD=BA,NABC=2NO,BE=2,求AC的長度；

(2)如圖2,連接AO和CD,點方為AO中點，點G為。0中點，連接所和BG,若EF=BG,求證：ZBAC

=ZDBE；

(3)若/ABC=60°,AB=2,當_LADW_BDWD取得最小值，且AE取得最大值時，直接寫出的面積.

22

【考點】三角形綜合題.

【分析】(1)過點8作瓦交AC于點X,證明(AAS)即可求解；

(2)取8。的中點T,連接TE,TF,TG,根據中位線的性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得

出ATFEmATBGCSSS),再證明得出/EBT=/GFT,進而即可得證；

(3)將△BOC繞點8順時針轉60°得到△B。'A,將繞點B順時針旋轉60°得到△BAD,連接4V,

根據■^?加二^書0七口d1r*中+＜力＞60當G，尸、D、c四點共線時，GC最小，進而確定￡的位置，根據點E在

。為圓心，費BD為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關系，得出當AE取得最大值時，E在A。的延長線上，連

接OR過點E作ESL8。于點S,進而解直角三角形，求得跖的長，根據三角形面積公式，即可求解.

【解答】(1)解：如圖所示，過點B作交AC于點H,

B

「△ABC中，AB=BC,

：.ZAHB=90°,ZABC=2ZABH,AC=2AH,

VZB￡D=90°,ZABC=2ZD,

：.ZAHB=ZBED,ZABH=ZD,

又<BD=BA,

：.(A4S),

：.AH=BE=2,

：.AC=2AH=4；

(2)解：如圖所示，取瓦)的中點T,連接ZE、TF、TG、FG,

又,：F,G是A。，DC,

TG卷BC,FG//AC,FT//AB,

?：AB^BC,

：.FT=TG,

:/BED=90°,T為8。的中點，

：.TE=BT,

在△7FE和△TBG中，

rTF=TG

TE二TB，

EF=BG

:.ATFE咨LTBGCSSS),

:./FTE=/GTB,

：.ZFTE-ZGTE=ZGTB-ZGTE,即ZFTG=ZETB,

又"：FT=TG,TE=EB,即=L-21,

TFTG

:ATBEsATFG,

/EBT=ZGFT,

"：FG//AC,FT//AB,

：.ZTFB=ZBAC,

：.ZBAC=ZDBE；

(3)解：:△ABC中，AB=BC,ZABC=60°,

：.AABC是等邊三角形，

如圖所示，將△BOC繞點B順時針轉60°得到△8。，/,將△A3。繞點B順時針旋轉60°得到△BAD,連接

AA',

：.BD=BD',ZDBD'=60°,AB=A'B,AB//AC,則△DB。'是等邊三角形，△AAB是等邊三角形,

'：CD=AD',AA'=AC,

取瓦7,84的中點RG,則FG=^A77=1A「,

22"

?.?尸是8。的中點,

:.DF±BD,Df=BDsin60*1

；?加號BD*CD=GF.FD+CDAg

???當G,F,D,。四點共線時，GC最小，此時如圖所示,

工GC±BD\

*：A'D'//GF,

：.AD'LB'D,

???△A778是直角三角形，

???△ABO是直角三角形，

：.AD.LBD,

VZB￡>Z)'=60°,

AZ￡>'DA=30°,

W=yAD=DC>

設C￡)=〃，則A￡>'=〃，AD—2a,

在RtZkA。。中，DD'=eos30*XAD?/2a>

,..△BDO是等邊三角形，

???BD=DD'=V3a-

在RtZXAB。中，AB=2,

:.AB2=AD2+BD2,

A22=(V3a)2+(2a)2,

解得：a?Z，

7

??BDSan2^,AD=2a=-^>

取BD的中點O,連接A。，OE,

?：/BED=90°,

.?.點E在。為圓心，為半徑的圓上運動，

?-OE*1BD=^>

當AE取得最大值時，E在AO的延長線上，連接OF,過點E作ESL8D于點S,

在RtzXA。。中，OD=OE=QP-，

；.AD=VAD2-K)D2=J(呼、2,而、2_vn§

)(7)-7

477

AD-7"

??.m/AODRq^廠

7

：.SE=cosZSOEXOE=cosZAODXQE=,

133

ABDE的面積為加DXSE=y

/?XUS

【點評】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形中

位線的性質，旋轉的性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質與判定，加權費馬點

問題，點與圓的位置關系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

7.(2023春?渠縣校級期末)如圖1,D、E、尸是等邊三角形ABC中不共線三點，連接A。、BE、CF,三條線段

兩兩分別相交于。、E、F.已知A尸=3。，NEDF=60；

(1)證明：EF=DF-,

(2)如圖2,點M是ED上一點，連接CM,以CM為邊向右作連接EG.若EG=EC+EM,CM=GM,

ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當點/與點。重合時，若CZJLAZ),GO=4,請問在△ACD內部是否存在點

P使得P到△AC。三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由.

【考點】三角形綜合題.

【分析】(1)可先推出再證△ACP也△A4。，即可得出結論；

(2)在EF上截取EN=EM,連接MN,可推出△EMN是等邊三角形，可證△NCMg/XEGAf,然后推出△CMG

是等邊三角形，從而問題得證；

(3)先求得人。=當且，將△。尸。繞點。順時針旋轉60°至△DQG,連接AG,可得△POQ是等邊三角形，

3

于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故當A、P、Q、G共線時，AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三角形ADG,從

而求得.

圖I

???AABC是等邊三角形，

：.AC=AB,

NAC3=60°,

???NCA尸+NDA8=60°,

VZE￡>F=60°,

AZDAB+ZABD=60°,

AZCAF=/ABD,

9：AF=BD,

：.AACF^ABAD(SAS),

：.CF=AD,

?；EF=DF,

：.EF=DF；

EF=DF,/EDF=6U°,

???△￡)￡尸是等邊三角形，

AZDEF=60°,

在EF上截取EN=EM,連接MN,

???CN=CE+EN=CE+EM=EG,

???△EMN是等邊三角形，

；?NCNM=60°,

?：/GMC=/GEC,Za=Zp,

NNCM=ZEGM,

■:CM=GM,

:?叢NCM沿叢EGM(SAS),

AZMEG=ZCNM=60°,

AZCEG=180°-/MEG-NFED=60：

:?/GME=NGEC=6U°,

■:CM=GM,

???△CMG是等邊三角形，

：.CG=CM；

(3)解：如圖3,

由(1)(2)知，

LDEF和△CDG是等邊三角形，

???NC尸。=60°,CD=GD=4,

9：CD±AD,

：.ZCDF=90°,

：.AD=CF=—工—=私且，

sin6O03

將△OPC繞點。順時針旋轉60°至△OQG,連接AG,

：.AD^DQ,CP=QG,

：.APDQ是等邊三角形，

:?PD=PQ,

：.AP+PD+CP=AP+PQ+QG,

.,.當A、尸、Q、G共線時，AP+PO+CP最小=AG,

作GH±AD于H,

在RtADGH中，

GH=1DG=2,

2

DH=^LDG=2?,

2

：.AH^AD+DH=幽+2加二獨巨,

33

?'-AG=VGH2+AH2

=^(-^-)2+2^

J.AP+PD+CP的最小值是.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質和應用等知識，解決問題的關鍵

是掌握“費馬點”模型及“截長補短”等題型.

8.定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點叫做這個等

腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”.

【基礎鞏固】

(1)如圖1,在等腰Rt^ABC中，/BAC=90°,AD為BC邊上的高，已知AD上一點E滿足NDEC=60°,

AC=4J6,求AE+BE+CE=；

【嘗試應用】

(2)如圖2,等邊三角形ABC邊長為4V3,E為高線AD上的點，將三角形AEC繞點A逆時針旋轉60°

得到三角形AFG,連接EF,請你在此基礎上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，過AB的中點E作AB垂線交CD的延長線于點F,連接AC、DB,已知

/BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.

【分析】(1)4CDE為含30°角直角三角形，可求出DE、CE的長度，進而得出結果.

(2)Z\AEF為等邊三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故當B、E、F、G四點共線時，EF+BE+GF最小,

進而可得NAEB=NAEC=NBEC=120°,即可求出結果.

(3)作DM_LAB于點M,可知EF=DM=1/2AB,進而可推出4ABF為等腰直角三角形，結合(2)中的結論,

當點P滿足：ZAPF=ZBPF=ZAPB=120°時，PA+PB+PF最小，進而結合(1)中方法求出結果.

ft?：(1)\'AB=AC,ZBAC=90°,AC=4vz6,

：.BD=CD=AD=4^3,

VZDEC=60",

：.DE=-^=4,

，3

：.AE=AD-DE=4VT-4,CE=BE=2DE=Q,

：.AE+BE+CE=4v/3-4+8x2=12+4^3;

故答靠為：12+4-T；

(2)由題意可得：AE=AF,ZEAF=60°,

.?.△EAF為等邊三角形，

.'.AE=EF=AF,

：.AE-^-BE+CE=EF+BE+GF,

VB,G兩點均為定點，

.?.當B、E、F、G四點共線時，EF+BE+GF最＜h,

/.ZAEB=120°,ZAEC=ZAFG=120°,

/.ZBEC=120°,

二此時E點為等邊△ABC的中心，

：.AE+BE+CE=3AE=3X-^-=12,

，3

故等邊三角形ABC的“最近值”為12；

(3)如圖.過點D作。乂，48于點跖

VZBDA=75°,AB=AD,

.\ZDAB=30",

.\2DM=AD=AB,

,/ABHCD,

：.EF=DM,

：.2EF=AB,

.'.AE=BE=EF=3,

.?.△AEF與ABEF均為等腰直角三角形，

.?.△ABF為等腰直角三角形，

設P為EF上一點，由(2)得：NAPF=/BPF=NAPB=120°時，PA+PB+PF最小，

此時：EP=-^r=V3,

，3

：.AP=BP=2EP=2vT,FP=EF-EP=3-4

：.AP+BP+FP=2，可+2,彳+3—，言=3+3/言，

/.(AP+BP+FP)2=(3+3)2=36+18小

...三角形AFB“最近值”的平方為36+18、句.

【點評】本題考查三角形與四邊形綜合問題，掌握費馬點模型可幫助快速解題.

9.如圖①，P為aABC所在平面上一點，＜ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,則點P叫做AABC的費馬點.

(1)如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且/ABC=60。.

①求證：ZkABPs^BCP；

②若PA=3,PC=4,求PB的長.

(2)已知銳角三角形ABC,分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD,CE和BD相

交于P點，連結AP,如圖②.

①求/CPD的度數；

②求證：P點為aABC的費馬點.

【分析】(1)①由三角形內角和定理可求NPBA+NPAB=60°,可證NPBC=NBAP,可得結論；

②由相似三角形的性質可得器=器，即可求解；

(2)①由“SAS”可證可得N1=N2,即可求解；

4FDFc

②通過證明△ADFs/XCFP,可得可證△AFPs/\CDF,可得NAPF=NACD=60",可得結論.

CrrV

(1)①證明：?.?點P為銳角三角形ABC的費馬點,

.-.ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,

.\ZPBA+ZPAB=60°,

VZABC=60",

.\ZABP+ZPBC=60°,

：.^PBC=ABAP,

又?.?/APB=NBPC,

/.△ABPooABCP,

②解：:?△ABPsZ^BCP,

.PA_PB

,""PB_~_PF,

又PC=4,

?3_PB

"~PB4",

：.PB=2V3;

②證明：VZ1=Z2,Z5=Z6,

如圖，:△ABE與△ACD都為等邊三角形，.,.△ADFooACFP,

二NBAE=NCAD=60°,AE=AB,AC=AD,.AF_DF

*'~CP"一~PF_*

.,.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=/BAD,

：.AF-PF=DF-CP,

在△ACE和AADB中，

\-^AFP=^CFD,

AC=AD

.,.△AFPooACDF,

NEAC=/BAD，

,EA=AB/.ZAPF=ZACD=60°,

：.^ACE^^ADB(SAS),.?.NAPC=NCPD+NAPF=120",

.'.Z1=Z2,/.ZBPC=120°,

o

VZ3=Z4,.,.ZAPB=360°-ZBPC-Z?4PC=120,

.-.ZCPD=Z6=Z5=600;；.P點為△ABC的費馬點.

【點評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，費馬點的定義，以及

等邊三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵.

10.［問題情境】如圖1,在4ABC中，ZA=120°,AB=AC,BC=5V3,則4ABC的外接圓的半徑值為5.

【問題解決】如圖2,點P為正方形ABCD內一點，且/BPC=90°,若AB=4,求AP的最小值.

【問題解決】如圖3,正方形ABCD是一個邊長為3J3cm的隔離區(qū)域設計圖，CE為大門，點E在邊

BC±,CE=V3cm,點P是正方形ABCD內設立的一個活動崗哨，到B、E的張角為120°,即ZBPE=120°,

點A、D為另兩個固