河南省南陽(yáng)市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由題設(shè)且，則，所以，可得.故選：C2.設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影數(shù)量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由在方向上的投影向量為，得，則，所以在方向上的投影數(shù)量為.故選：B3.學(xué)校教師運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)置有“跳繩”、“立定跳遠(yuǎn)”、“定點(diǎn)投籃”、“沙包擲準(zhǔn)”四個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目各需要一位裁判，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位體育老師，每人做且僅做一項(xiàng)裁判工作，因?yàn)闀r(shí)間問(wèn)題，甲不能安排“跳繩”裁判，乙不能安排“定點(diǎn)投籃”裁判，則不同的安排方法共有（）A.12種 B.14種C7種 D.9種【答案】B【解析】當(dāng)甲安排“定點(diǎn)投籃”，另外3人任意安排工作有6種方法.當(dāng)甲不安排“定點(diǎn)投籃”時(shí)，先安排甲有2種，再安排乙有2種，另外剩余2人有2種，此時(shí)有種方法，共有種，故選：B4.如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)為線段OA上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圖知.故選：C5.已知三棱錐中，平面，,且，，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取AC的中點(diǎn)，SC的中點(diǎn)，連接DH，EH，EF，DF，如圖所示：在中，因?yàn)?，分別為SA，SC的中點(diǎn)，故，故或其補(bǔ)角即為所求角，設(shè)，在中，，又有，由平面，平面，可得，則，，由于，可得平面ABC，又面ABC，則，可得，所以.故選：D.6.已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過(guò)的右焦點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，交直線的點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如下圖所示：因?yàn)榉较蛳蛄康闹本€斜率為，則，直線AB的斜率為，又由反射光線的性質(zhì)可得的斜率為1，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，所以，則，故，離心率.故選：A7.已知，，若圓上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則由得點(diǎn)的軌跡方程為，圓心為，半徑為2，由此可知圓與有公共點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑為3，所以，解得，即的取值范圍是.故選：A.8.正八面體可由連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正八面體中，則有（）A.直線與是異面直線 B.平面平面C.該幾何體的體積為 D.平面與平面間的距離為【答案】D【解析】正八面體可由正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖：因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的棱長(zhǎng)為.∵，，，四點(diǎn)共面，直線與是共面的，故A錯(cuò)；設(shè)二面角為，，，所以.所以：二面角，故B錯(cuò)；，故C錯(cuò)；由八面體的構(gòu)成可知：平面和平面之間的距離是正方體體對(duì)角線的13，所以兩個(gè)平面之間的距離為：，故D對(duì).故選：D二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.以下命題正確的是（）A.直線：與直線：垂直的充要條件是B.已知圓：，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為4C.方程表示橢圓的充要條件是D.直線和以、為端點(diǎn)的線段相交，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】對(duì)于，，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取最小值，，，所以的最小值是，故B正確；對(duì)于C，方程表示橢圓的充要條件是，解得且，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由直線可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又，，畫(huà)圖可知的取值范圍是，故D正確；故選：ABD10.已知直線：，雙曲線：.以下說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)B.直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或C.當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AC【解析】由直線方程知，直線過(guò)，雙曲線的漸近線為，所以時(shí)一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線，得，則，當(dāng)，即時(shí)直線與雙曲線相切，當(dāng)，即或時(shí)沒(méi)有公共點(diǎn)，當(dāng)且，即或或時(shí)兩個(gè)公共點(diǎn).所以A、C對(duì)，B、D錯(cuò).故選：AC11.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別在4個(gè)互相平行的平面內(nèi)，每個(gè)平面內(nèi)至少有一個(gè)頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，則該正方體的棱長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】設(shè)該正方體為，且其棱長(zhǎng)為，若考慮4個(gè)平面中最中間的兩個(gè)平面，共有兩種情況.①若中間的兩個(gè)平面為平面和平面，如圖1所示，則過(guò)作截面，截面圖如圖2所示，其中分別為中點(diǎn)，則，設(shè)相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可知，解得；②若中間的兩個(gè)平面如圖3所示，過(guò)作截面，截面圖如圖4所示，其中分別為中點(diǎn)，則，設(shè)相鄰兩平面間距離即為到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為到的距離，則，解得；故選：BD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知直線：，圓：，若圓上至少存在兩點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】圓心到直線的距離，且圓的半徑，圓上至少存在兩點(diǎn)到直線的距離為，則，即，所以，解得，故的取值范圍是.故答案為：13.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng).則面積的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖，作于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接.得到，，平面，，又，，所以面PQM，所以.設(shè)，，由，得到，在中，，得到，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)，，則平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，在正方體中，平面，因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，正方體中，由平面，且平面，可得，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，即平面為平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，故，所以，，故、、、四點(diǎn)共面，則截面為，由正方體的棱長(zhǎng)為，可得，，，所以所得截面周長(zhǎng).故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知函數(shù)的圖象與直線均過(guò)定點(diǎn).（1）若直線在，軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求的最大值.解：（1）因?yàn)椋远c(diǎn)因?yàn)橹本€在，軸上的截距相等，設(shè)截距分別為，，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，解得，所以直線的方程為.綜上可得直線的方程為或.（2）設(shè)，Px0,可得，代入，得即為點(diǎn)的軌跡方程，如下圖所示：圓心，半徑，點(diǎn)在圓外，點(diǎn)到圓心的距離為，所以的最大值為.16.已知圓：.（1）若直線平分圓，求的最小值；（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，求的最大值.解：（1）由圓的方程，即，則圓的圓心，半徑，由題意知，直線過(guò)圓心，則，即，，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4.（2）由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)，所以，，，其中，所以，時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；而時(shí)，，，則.所以最大值是.17.在圖1的直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)是DC邊上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，AC交BE于點(diǎn)，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.（1）求四棱錐的體積；（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）根據(jù)題意，由直角梯形邊長(zhǎng)，，可知故，；又點(diǎn)是邊上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，可得為等邊三角形；連接，如下圖所示：可得四邊形為菱形，所以，即折起后，，如圖所示，易知，又，滿足，即；又，AF，平面，所以平面，且，梯形的面積為，所以（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為，軸，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，，，,，可得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則得為平面一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成的角為，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD為正方形，為棱PD的中點(diǎn)，為邊AB的中點(diǎn).（1）求證：平面POC；（2）若側(cè)面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值.解：（1）取線段PC的中點(diǎn)，連接OM，EM，在中，，分別為PD，PC的中點(diǎn)∴，且，又∵底面ABCD是正方形，且是AB的中點(diǎn)，∴，且，∴，且∴四邊形AOME為平行四邊形，則，又平面POC，平面POC，∴平面POC.（2）由，，可知為等邊三角形，設(shè)OA中點(diǎn)為，則，又∵平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，設(shè)CD上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)為，則，，以為原點(diǎn)，分別以QB，QN，QP所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，取，得，，所以為平面PBD的一個(gè)法向量.取平面ABD的法向量為設(shè)平面PBD與平面ABD所成的平面角為，且為銳角，則.所以二面角的余弦值為.19.焦距為的橢圓，如果