山東省濟(jì)寧市2025屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 （解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市2025屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題2025.01注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，，此時(shí)，所以；若，由向量共線定理，得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，而?dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，所以，即在上的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，在上的值域要包含，所以的圖象開口向下，又對稱軸為，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.5.已知函數(shù)（且），若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長度，所得圖象與的圖象重合，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】由題意可得，再將函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長度可得，即，故，又，故.故選：C.6.若，且，則的最小值為（）A. B. C.3 D.4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)最小值為，故選：B.7.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，且，則的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)檫^且斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，且，所以，所以，解得，所以的離心率.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，為奇函?shù)，，則（）A.2025 B. C.4050 D.【答案】A【解析】因?yàn)閒x+2+f所以，所以，所以的周期為4，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以②令，由②得，所以，①中令，得，所以，令，得，所以，綜上，，，，所以，由函數(shù)的周期性得，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.上單調(diào)遞增C.在上有兩個(gè)極值點(diǎn) D.點(diǎn)是曲線y=fx的一個(gè)對稱中心【答案】BC【解析】對于A，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，即，又的圖象在點(diǎn)附近呈遞增狀，則，即，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，由選項(xiàng)A可得，由，得，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由，得，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是曲線y=fx的對稱中心，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)?，即，所以，，解得，故A正確；由此可得，，，，……所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，所以，故C正確；對于D，==，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長為2，為棱的中點(diǎn)，則（）A.直線與所成的角為B.平面C.過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線的長度為【答案】BCD【解析】對于A，在正方體中，，故直線與所成的角即為直線與所成的角，即，在中，，則不為，A錯(cuò)誤；對于B，連接，則，又平面平面,所以，平面，故平面，平面，故，同理可證，平面，故平面，B正確；對于C，由B可知平面，故過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面與平面平行，設(shè)的重點(diǎn)為，依次連接，可得六邊形為正六邊形，而，平面，平面，故平面，同理可證平面，面，故面平面，即過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面即為六邊形，邊長為，其面積為，C正確；對于D，過點(diǎn)P作的垂線，垂足為M，則M為的中點(diǎn)，且平面，設(shè)以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的點(diǎn)為K，則，平面，故，且，則以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為平面上以M為圓心，以為半徑的圓弧，如圖：由于，故，則交線長度為，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在拋物線：上，則點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是______.【答案】【解析】由題意可得，即，故：，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，故點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.已知，則______.【答案】【解析】由題意可得，所以，所以，故答案為：.14.已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值是______.【答案】【解析】由可知：，設(shè)，則，則，設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，故只需考察時(shí)情況；當(dāng)，因?yàn)?，在都是單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，令，解得：，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以的最大值為，即的最大值是,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求證：；（2）若，，求的面積.（1）證明：在中，由余弦定理得，即，整理得，由正弦定理得，整理得，所以.（2）解：由（1）知，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面積為.16.已知數(shù)列滿足，，記.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)椋詳?shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.（2）解：因?yàn)?，所以，所以，所以，所?17.如圖，在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若直線到平面的距離等于，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接∵為棱的中點(diǎn)∴又平面，平面，所以平面（2）解：（方法一）∵為棱的中點(diǎn)，∴直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，∴點(diǎn)到平面的距離等于∴設(shè)，則，，，∴，∴∴過點(diǎn)作，則平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為m=則，即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為n=x則，即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，所以所以平面與平面夾角的余弦值為（2）（方法二）過點(diǎn)作，則平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，，，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則，即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離，∴∴平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為n=x則，即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，所以，所以，平面與平面夾角的余弦值為18.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，由得，令，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，作出的大致圖象，如圖，所以當(dāng)，即時(shí)，與的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，令，則，當(dāng)時(shí)，由與的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，，所以不恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，只需，所以；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，h'x>0，此時(shí)h當(dāng)時(shí)，h'x<0，此時(shí)所以，即，所以，令，，則，易知當(dāng)時(shí)，φ'x>0，此時(shí)當(dāng)時(shí)，φ'x<0，此時(shí)所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，所以的最大值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對于給定的點(diǎn)集，，若中的每個(gè)點(diǎn)在中都存在點(diǎn)使得兩點(diǎn)間的距離最小，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.已知橢圓：的離心率為，其短軸上的點(diǎn)的集合記為，橢圓上的點(diǎn)的集合記為，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切，且與圓：交于，兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)的集合記為，圓上的點(diǎn)的集合記為.①若點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；②求值.解：（1）由題目條件，可得，又因?yàn)殡x心率為，所以，所以，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為.①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去得，由直線與橢圓相切，得，整理得，則，，，，即，則的面積為，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此當(dāng)時(shí)，取得最大值432，此時(shí)的最大值為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（1）可知，直線的方程為，聯(lián)立，可求得，，由