山東省淄博市2023-2024學年高二上學期期末教學質量檢測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省淄博市2023-2024學年高二上學期期末教學質量檢測數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A.0 B.C. D.不存在【答案】C【解析】因為直線與軸垂直，因此直線的傾斜角是．故選：C．2.拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】拋物線方程化為，所以拋物線的準線方程為.故選：B3.直線過點且與直線垂直，則的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，則直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：.4.甲乙兩人參加面試答辯，假設甲乙面試互不影響，且他們面試通過的概率分別為，，則兩人中至少有一人通過的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，兩人中至少有一人通過的概率為.故選：A5.直線與軸，軸分別交于點，以線段為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題：法一：根據圓直徑式方程可以得到：以線段AB為直徑的圓的方程為，即，故選：B.法二：AB中點為(2,1)，故以線段AB為直徑的圓的圓心為(2,1)，半徑為，所以圓的方程為，展開化簡得：，故選：B.6.如圖，在四面體中，分別為的中點，為的重心，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為分別為的中點，所以.因為為的重心，所以，所以.故選：B.7.已知正方體，若是棱的中點，則異面直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令正方體的棱長為2，連接，則，四邊形是正方體對角面，則四邊形是矩形，即，因此是異面直線和所成的角，在等腰中，，所以異面直線和夾角的余弦值為.故選：D8.雙曲線C：的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意結合雙曲線定義可知，且，不妨設，則，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，結合，即得，故得，即.又可設，則，而，故，故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，過點作軸于點，則（）A. B.拋物線的準線為直線C. D.的面積為【答案】AD【解析】拋物線的準線為直線，過點向準線作垂線垂足為，由拋物線的定義知，解得，則拋物線的方程為，準線為直線，A正確，B錯誤；將代入拋物線方程，解得，C錯誤；焦點，點，即，則，D正確.故選：AD10.若，，，則下列說法正確的是（）A. B.事件與相互獨立C.事件與不互斥 D.【答案】BC【解析】對于A，由，得，A錯誤；對于B，由，，，得，事件與相互獨立，B正確；對于C，由，得事件與可以同時發(fā)生，則事件與不互斥，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC11.點在圓上，點在圓上，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為7C.兩個圓心所在的直線斜率為 D.兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】圓的圓心坐標，半徑圓，即的圓心坐標，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯誤.故答案為：ABC12.已知正方體的棱長為1，點P滿足，，，（P，B，D，四點不重合），則下列說法正確的是（）A.當時，的最小值是1B.當，時，∥平面C.當，時，平面平面D.當，時，直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】BCD【解析】對于選項A：當時，即，則，可得，則，可知點在平面內，設點到平面的距離為，可知，由可得，解得，所以的最小值是，故A錯誤；對于選項B：當，時，則，可得，則，由正方體的性質可知：∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且，即，則，可知點在直線上，直線即為直線，且∥，平面，平面，所以∥平面，即∥平面，故B正確；對于選項C：當，時，則，取中點，可得，可知點即為點，因為平面，平面，則，設，連接，可知，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可得：，且，平面，所以平面，又因為分別為的中點，則∥，可得平面，且平面，所以平面平面，故C正確；對于選項D：當，時，則，可知點在平面內，因為平面∥平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成的角，因為平面，則直線與平面所成的角為，可得，又因為，即，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，可知的最小值為，則的最大值，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.從2至6的5個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為__________.【答案】【解析】從2至6的5個整數中隨機取2個不同數的試驗的樣本空間為：（交換數字位置算一種情況），共10個樣本點，所取2個數互質的事件，共6個樣本點，所以這2個數互質的概率為.故答案為：14.經過兩條直線的交點，且直線的一個方向向量的直線方程為__________.【答案】【解析】，解得，故交點坐標為，因為直線的一個方向向量，所以直線方程為，即.故答案為：15.為矩形所在平面外一點，平面，若已知，，，則點到的距離為__．【答案】【解析】方法一矩形中，，，，過作，交于，連結，平面，平面，，又，，平面，∵平面，，即是點到的距離，，，，點到的距離為．方法二∵平面，平面，∴，∵,∴三線兩兩垂直，∴以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，，，，點到的距離為故答案為：16.已知，分別為橢圓的左、右焦點,以為圓心且過橢圓左頂點的圓與直線相切.P為橢圓上一點,I為的內心,且，則的值為______．【答案】【解析】設，，為圓心且過橢圓左頂點的圓的半徑為，根據題意可知，解得設的內接圓半徑為r，則，，故，化簡可得，即，解得故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且.設.（1）試用表示向量；（2）若，求的長.解：（1），又，，，∴．（2）因為，．，．，，，．18.已知圓的圓心在直線上，與直線相切于點.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線與圓相交于，兩點，若的面積為，求該直線的方程.解：（1）依題意，過點且垂直于直線的直線方程為，則圓的圓心在直線上，由，解得，即點，因此圓的半徑，所以圓的標準方程為.（2）顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，即，則點到直線的距離，，于是的面積，解得或，所以直線的方程為或，即或.19.已知橢圓，一組平行直線的斜率是.（1）當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上；（2）這組直線中經過橢圓上焦點的直線與橢圓交于兩點，求.解：（1）設這組平行直線的方程為，則，消去y得，由，得，設交點坐標為，則，因此這組平行直線與橢圓交點的中點坐標為，顯然點始終在直線上，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.（2）橢圓的焦點坐標為，由對稱性，不妨取焦點，直線，設，由（1）知，，所以.20.某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者,則考試“通過".并給予錄取.甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，甲?乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨立的.（1）甲?乙兩人誰獲得錄取的可能性大？請說明理由：（2）求甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率.解：（1）記“甲通過筆試”為事件，“甲通過面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件，“乙通過筆試”為事件，“乙通過面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件，則由題意得，筆試和面試是否“通過”是獨立，所以,,因為，即，所以甲獲得錄取的可能性大（2）記“甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取”為事件，則由題意得所以甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率為.21.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的大??；（3）若線段上總存在一點，使得，求的最大值.解：（1）設，連結，，矩形中，是線段的中點，是線段的中點，則，，于是為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）由平面平面，，平面平面，平面，得平面，又，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立如空間直角坐標系，，則，，，設平面的法向量為，則，令，得，由，得平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則，解得，所以平面與平面夾角的大小為.（3）由（2）知，，則，，設，則，，于是，由，得，即，因此，又，所以，即的最大值為.22.已知雙曲線（，）的離心率為2，且經過點.（1）求雙曲線的方程；（2）點，在雙曲線上，且，，為垂足.證明：①直線過定點；②存在定點，使得為定值.解：（1）由雙曲線離心率為2，得，則