最小方差控制

最小方差控制STR是以RLS參數(shù)估計(jì)方法在線估計(jì)最優(yōu)預(yù)報(bào)模型,并在此基礎(chǔ)上以輸出方差最小為調(diào)節(jié)指標(biāo)的一種可以適應(yīng)參數(shù)未知或慢時(shí)變的自適應(yīng)控制系統(tǒng).欲討論參數(shù)未知時(shí)能調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出方差至最小的STR,需先引入?yún)?shù)已知時(shí)調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出方差最小的最小方差調(diào)節(jié)器.最小方差調(diào)節(jié)的基本思想是:由于系統(tǒng)中信道存在著d步時(shí)滯,這就使得當(dāng)前的控制作用u(k)要到d個(gè)采樣周期后才能對(duì)輸出產(chǎn)生影響.因此,要獲得輸出方差最小,就必須對(duì)輸出量提前d步進(jìn)行預(yù)報(bào),然后根據(jù)預(yù)報(bào)值來(lái)計(jì)算適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)作用u(k).這樣,通過(guò)不斷的預(yù)報(bào)和調(diào)節(jié),就能始終保持輸出量的穩(wěn)態(tài)方差為最小.第2頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月

在最小方差調(diào)節(jié)器的研究中,所討論的被控系統(tǒng)的模型為

A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k-d)+C(q-1)e(k)(1)

其中：對(duì)該系統(tǒng),有如下假設(shè):1.被控系統(tǒng)時(shí)滯時(shí)間d以及時(shí)滯算子q-1的多項(xiàng)式A、B和C的階次及系數(shù)都已知;2.被控系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng),即多項(xiàng)式B(q-1)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi);3.A(q-1)、C(q-1)所有零點(diǎn)都為穩(wěn)定的,即所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi);4.{e(k)}為零均值白色噪聲序列,且E{e2(k)}=

2.第3頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月1最小方差預(yù)測(cè)

設(shè)在k時(shí)刻已觀測(cè)到輸出值y(k),y(k-1),…等，希望由此得到預(yù)測(cè)值。右邊為u(k),u(k-1),…；e(k+d),e(k+d-1),…,e(k+1),e(k),e(k-1),…,等變量的線性組合，

u(k),u(k-1)……為系統(tǒng)輸入，可直接測(cè)量。隨機(jī)變量e(k),e(k-1)……可根據(jù)在k時(shí)刻為止的系統(tǒng)輸入輸出值計(jì)算得到。

e(k+1),……,e(k+d)為系統(tǒng)在k時(shí)刻以后的干擾輸入，與直到k時(shí)刻為止的系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)值無(wú)關(guān)。為了有效利用直到k時(shí)刻為止的系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，須將這兩類(lèi)變量區(qū)分開(kāi)。為此可將C(q-1)/A(q-1)分成兩部分：(2)由式(1)有：第4頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月

F和G可通過(guò)長(zhǎng)除法得到，F(xiàn)為商，而q-dG(q-1)為余因子。也可通過(guò)將式(3)寫(xiě)成(3)然后比較兩邊系數(shù)得到。由(3)可將(2)右邊的噪聲項(xiàng)寫(xiě)成：(4)(5)代入(2)可得：第5頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月而由式(1)有：(6)代入式(6)有：(7)利用式(4)可將式(8)化簡(jiǎn)為：(8)(9)記基于k時(shí)刻的觀測(cè)值對(duì)y(k+d)的預(yù)報(bào)為：則它是k時(shí)刻及以前的輸入輸出的函數(shù)。若對(duì)預(yù)測(cè)的要求是使預(yù)測(cè)的誤差平方即系統(tǒng)誤差的方差為最小，則損失函數(shù)可表示為：第6頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月上式中F(q-1)e(k+d)與其它項(xiàng)均不相關(guān)，且由于{e(k)}為零均值白噪聲序列，式(10)可寫(xiě)為(10)與的選擇無(wú)關(guān)因此當(dāng)上式中第2項(xiàng)為0時(shí)，可使J最小。因此最小方差預(yù)測(cè)為：(11)(12)第7頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月最小方差預(yù)測(cè)估計(jì)的誤差的方差為(13)2最小方差控制

最小方差控制的目的是要確定u(k)，使得輸出的方差為最小，由于u(k)最早只能影響到y(tǒng)(k+d)，因此選擇性能指標(biāo)為上式可改寫(xiě)為：(14)(15)預(yù)測(cè)誤差，e(k+1),…,e(k+d)的線性組合。第8頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月顯然，使式(15)中性能指標(biāo)取最小值的充要條件是：(16)因此最小方差控制律為：此時(shí)系統(tǒng)輸出的方差為：(17)(18)由式(16)可見(jiàn)，最小方差控制律可以通過(guò)先求出輸出提前d步的預(yù)測(cè)值，然后令等于理想輸出值yr(這里yr=0)而得到，因此最小方差控制問(wèn)題可分離成兩個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是預(yù)測(cè)問(wèn)題，另一個(gè)是控制問(wèn)題。第9頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月例1

求解被控系統(tǒng)(1-1.7q-1+0.7q-2)y(k)=(1+0.5q-1)u(k-d)+(1+1.5q-1+0.9q-2)e(k)的最小方差控制.解首先考慮時(shí)滯d=1的情況，這時(shí)顯然有F(q-1)=1。設(shè)G(q-1)=g0+g1q-1則由式(4)可得

(1+1.5q-1+0.9q-2)=(1-1.7q-1+0.7q-2)+q-1(g0+g1q-1)則由式(17)可得最小方差控制：而：第10頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月其次考慮時(shí)滯d=2的情況，這時(shí)設(shè)G(q-1)與前面一致。而設(shè)F(q-1)=1+f1q-1則通過(guò)比較系數(shù)可得f1=3.2,g0=5.64,g1=-2.24.最小方差控制：而：第11頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(zhì)由被控系統(tǒng)模型Ay(k)=Bu(k-d)+Ce(k)和最小方差調(diào)節(jié)律u(k)=-[G/(BF)]y(k)可得調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)框圖如圖2所示.由圖2可以導(dǎo)出最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)方程第12頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月因此,當(dāng)B為穩(wěn)定多項(xiàng)式（即系統(tǒng)(1)為最小相位系統(tǒng)）時(shí),上式中分子和分母中的多項(xiàng)式B可以對(duì)消,于是y(k)=Fe(k)(20)不難看出,最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的實(shí)質(zhì),就是利用調(diào)節(jié)器(17)的極點(diǎn)去對(duì)消被控系統(tǒng)的零點(diǎn).第13頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月3自校正調(diào)節(jié)器(STR)前面我們討論了被控系統(tǒng)在參數(shù)已知時(shí)的隨機(jī)離散系統(tǒng)的最小方差調(diào)節(jié)規(guī)律,而STR主要解決被控系統(tǒng)參數(shù)未知或慢時(shí)變時(shí)的最小方差調(diào)節(jié)問(wèn)題.對(duì)STR問(wèn)題,有直接法和間接法.所謂間接法,即在每一控制(采樣)周期先辨識(shí)系統(tǒng)模型,然后基于實(shí)時(shí)辨識(shí)模型求解丟番圖方程,計(jì)算最小方差調(diào)節(jié)律及相應(yīng)的在線控制量.所謂直接法,則直接辨識(shí)系統(tǒng)的輸出預(yù)報(bào)模型,以避免在每一控制周期求解丟番圖方程和計(jì)算最小方差調(diào)節(jié)律.第14頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月由最小方差控制的原理可知，最小方差是通過(guò)置輸出的d步預(yù)測(cè)值為0而實(shí)現(xiàn)的。因此最小方差控制的核心是預(yù)測(cè)。令

(q-1)=G(q-1)

=

0+

1q-1+...+

n-1q-(n-1)

(q-1)=B(q-1)F(q-1)=

0+

1q-1+...+

n+d-1q-(n+d-1)(21)則最小方差控制律式(17)可寫(xiě)成：

(q-1)u(k)=-

(q-1)y(k)(22)或：顯然，若能直接估計(jì)出參數(shù)

i和

i

，則可由上式立即得到最小方差控制，為了能估計(jì)參數(shù)

i和

i，我們?cè)O(shè)定一個(gè)具有白噪聲干擾的預(yù)測(cè)模型：

y(k+d)=

(q-1)y(k)+

(q-1)u(k)+

(k+d)(24)(23)第15頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月由式(12)，系統(tǒng)的d步最優(yōu)預(yù)測(cè)為

預(yù)測(cè)誤差

因此

(25)(26)(27)式(27)與設(shè)定的預(yù)測(cè)模型式(24)一致。根據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)原理可知，這時(shí)采用最小二乘法等即可得到

i和

i

的無(wú)偏估計(jì)。將消失第16頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月為了保證預(yù)報(bào)模型在閉環(huán)下的參數(shù)可辨識(shí)性的要求,可以設(shè)定多項(xiàng)式

(q-1)的首項(xiàng)系數(shù)

0為一合理的估計(jì)值

^0,則可列寫(xiě)出如下自回歸方程y(k+d)-

^0u(k)=

T(k)

+

(k+d)(28)其中自回歸方程(28)的未知參數(shù)向量

可由帶遺忘因子的漸消記憶ELS法或SA法來(lái)估計(jì)。第17頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月基于參數(shù)向量

的在線估計(jì)值

^(k)和最小方差調(diào)節(jié)律有如下自校正調(diào)節(jié)律上述自校正調(diào)節(jié)器為保證閉環(huán)可辨識(shí)性，未辨識(shí)參數(shù)

0，而是辨識(shí)其估計(jì)值。可以證明，若

0的估計(jì)值滿(mǎn)足:則上述自校正調(diào)節(jié)律一樣可以收斂。第18頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月廣義最小方差自校正控制在前一講討論最小方差調(diào)節(jié)器和STR的穩(wěn)定性時(shí)已指出,STR僅適用于最小相位系統(tǒng)。再者,最小方差調(diào)節(jié)器和STR中僅考慮使輸出的方差為最小,沒(méi)有考慮使系統(tǒng)的輸出跟蹤給定的伺服輸入項(xiàng),也沒(méi)有考慮對(duì)控制作用加以約束以避免使控制作用變化劇烈或頻繁以降低控制儀表和測(cè)量?jī)x表的損耗率.而許多實(shí)際控制系統(tǒng)的目的是使系統(tǒng)的輸出跟蹤給定的伺服輸入項(xiàng),并對(duì)系統(tǒng)的輸入及輸入的變化量加以約束以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性,以及降低儀表的損耗.第19頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月為了克服最小方差調(diào)節(jié)器和STR的上述缺陷,Clake和Gawthrop等人于1975年提出了廣義最小方差控制算法.這種算法仍然采用二次型的指標(biāo)函數(shù),但在指標(biāo)函數(shù)中引入了對(duì)伺服輸入項(xiàng)的跟蹤和對(duì)控制作用的約束.由于引入了對(duì)控制作用的約束,不僅限制了控制作用的不適當(dāng)?shù)淖兓?同時(shí)使得可以通過(guò)適當(dāng)選擇對(duì)控制項(xiàng)約束的權(quán)因子的大小來(lái)使得該算法能適用于非最小相位系統(tǒng).第20頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月考慮到使系統(tǒng)的輸出能跟蹤給定的伺服輸入項(xiàng),以及對(duì)控制作用加以約束以避免使控制作用變化劇烈并使該控制方案能適用于非最小相位系統(tǒng),最小方差控制器的指標(biāo)函數(shù)為

J=E{[P(q-1)y(k+d)-R(q-1)w(k)]2+[Q'(q-1)u(k)]2}(31)式中w(k)為已知的參考輸入量;P,R,和Q’分別為對(duì)實(shí)際輸出、參考輸入和控制輸入的加權(quán)多項(xiàng)式。對(duì)指標(biāo)函數(shù)J的意義有如下說(shuō)明:該指標(biāo)函數(shù)中的第一項(xiàng)的作用為跟蹤伺服輸入w(k).該指標(biāo)函數(shù)中的第二項(xiàng)的作用為約束控制量u(k)幅值和變化量.加權(quán)多項(xiàng)式Q’的作用為約束控制量的幅值和變化,因此Q’的選取要兼顧對(duì)控制量的幅值和變化量的約束.第21頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月該指標(biāo)函數(shù)中若Q’=0,即不對(duì)控制項(xiàng)加以約束,則由該指標(biāo)函數(shù)所定義的控制問(wèn)題即為輸出跟蹤問(wèn)題.若R=Q’=0,即不考慮跟蹤伺服輸入,則該指標(biāo)函數(shù)所定義的控制問(wèn)題即為上一講中討論的最小方差調(diào)節(jié)器問(wèn)題.也就是說(shuō),最小方差調(diào)節(jié)器可視為廣義最小方差控制器的特例.第22頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月由上一節(jié)的結(jié)果可求出y(k+d)的d步最優(yōu)預(yù)報(bào)為：(32)預(yù)報(bào)誤差：(33)將以上兩式代入J中可得：不相關(guān)于y(k-i),u(k-i);i≥0。記

則：(34)(35)(36)第23頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月由：其中b0,q0’分別是多項(xiàng)式B(q-1)和Q’(q-1)中的常數(shù)項(xiàng)，可得使J為最小的廣義最小方差控制式中：也可寫(xiě)成：上式中d步最優(yōu)預(yù)測(cè)值由式(32)給出。(37)(38)(36)第24頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月另一種表示方法是直接求變量的d步最優(yōu)預(yù)測(cè)。采用類(lèi)似于求的方法。首先，其中np為多項(xiàng)式P(q-1)的次數(shù)。(39)(40)(41)第25頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月類(lèi)似上一節(jié)的式(6)到式(8)推導(dǎo)過(guò)程可得與其他項(xiàng)不相關(guān)(42)再類(lèi)似上一節(jié)由式(10)到式(12)的推導(dǎo)過(guò)程可得(43)(44)(45)(46)利用可以將廣義最小方差控制律式(37)寫(xiě)為：第26頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月輔助系統(tǒng)方法(Clark等)首先定義如下輔助系統(tǒng)其中稱(chēng)為廣義輸出。利用，立即可以得到其最優(yōu)預(yù)測(cè)誤差。與求解最小方差控制的思想一樣，令關(guān)于廣義輸出的d步最優(yōu)預(yù)測(cè)值即可得廣義最小方差控制律：與直接通過(guò)優(yōu)化過(guò)程而得到的式(45)完全一致。(47)(48)(49)第27頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月將式(43)代入式(48)：(50)式(50)可簡(jiǎn)寫(xiě)成：(51)由，立即可得到與式(49)等價(jià)的廣義最小方差控制律(52)第28頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月也可寫(xiě)成：(53)將上式代入受控對(duì)象模型式(1)，可得到采用廣義最小方差控制后的閉環(huán)系統(tǒng)模型：(54)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：(55)選擇Q和P，可以配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，即P,Q的選擇將影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)Q=0時(shí)，閉環(huán)特征方程為

B(q-1)的零點(diǎn)成為閉環(huán)特征方程的根。

第29頁(yè),共33頁(yè)，星期六，2024年，5月因此當(dāng)受控對(duì)象為非最小相位系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。從性能指標(biāo)式(31)來(lái)看，Q=0相當(dāng)于在性能指標(biāo)中不包括對(duì)控制作用的約束，廣義最小方差控制退化為最小方差控制，因此它不適用于非最小相位系統(tǒng)。而適當(dāng)?shù)剡x擇Q不僅可使廣義最小方差控制適用于非最小相位的受控對(duì)象，保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，還可保證控制u(k)不至于過(guò)大。