數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)中的滲透

數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)中的滲透

學(xué)生們在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后，幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了．然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。米山國藏日本數(shù)學(xué)家第2頁,共27頁，星期六，2024年，5月一、什么是數(shù)學(xué)思想方法（可從兩方面認(rèn)識）對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。可分為蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程中的思想以及從中抽象出來的成為規(guī)律性的思想兩類。

數(shù)學(xué)思想

中小學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中傳授的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該都是基本數(shù)學(xué)思想。

基本數(shù)學(xué)思想：是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中具有奠基性和總結(jié)性的思維成果。包括符號與變元表示的思想，集合思想，對應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，函數(shù)與方程的思想，極限思想等。第3頁,共27頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的解決數(shù)學(xué)問題過程中所運(yùn)用的具體手段（或途徑）。具體點(diǎn)說是以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法。人們一般將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切的聯(lián)系。差異性：數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法實(shí)施的依據(jù)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想得以實(shí)現(xiàn)的手段。同一性：表現(xiàn)在“數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法同屬方法論的范疇”它們有時(shí)是等同的。第4頁,共27頁，星期六，2024年，5月小學(xué)數(shù)學(xué)涉及到的數(shù)學(xué)思想方法集合思想方程與函數(shù)思想極限思想化歸思想模型思想符號化思想推理思想幾何變換思想分類討論思想分析與綜合法課程研究所王永春第5頁,共27頁，星期六，2024年，5月符號就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。

S=πr2

一、符號化思想1．符號化思想的含義。

用符號描述數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的思想。符號具有規(guī)范、概括、簡明、準(zhǔn)確等特點(diǎn)。

什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。

羅素英國著名哲學(xué)家數(shù)學(xué)家第6頁,共27頁，星期六，2024年，5月2．小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)符號。

運(yùn)算符號：如：＋、－、×、÷。關(guān)系符號：表示數(shù)、式、圖形或集合之間的關(guān)系的符號稱為關(guān)系符號。

如：

=,≈,>,<等。性質(zhì)符號：表示數(shù)或形的性質(zhì)符號。如：正號“＋”負(fù)號“－”。結(jié)合符號：如：(

)〔〕{}等?！唯罛元素符號：表示數(shù)和幾何圖形的符號。

如：阿拉伯?dāng)?shù)字；表示數(shù)的字母，表示常數(shù)的字母π；

“∠”表示角，“△”表示三角形等。第7頁,共27頁，星期六，2024年，5月3．符號化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)。

在概念的形成過程中，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)符號對概念本質(zhì)反映的特點(diǎn)。在表示一些關(guān)系式時(shí)，滲透符號抽象、簡明、易記的特點(diǎn)。教學(xué)用字母表示數(shù)，體現(xiàn)代數(shù)式的特點(diǎn)。a+b=b+aS=aba÷25(b+c)-4m第8頁,共27頁，星期六，2024年，5月4．在教學(xué)中滲透符號化思想。

采取適宜方式，幫助學(xué)生理解用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系的概括性。從概念的本質(zhì)揭示符號的意義。適當(dāng)介紹符號的形成過程。五下分?jǐn)?shù)10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識。負(fù)數(shù)的認(rèn)識。第9頁,共27頁，星期六，2024年，5月將待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為另一個(gè)已解決或較易解決的問題的方法。1.什么是化歸思想？

二、化歸思想化歸思想是數(shù)學(xué)家最擅長的思想方法。第10頁,共27頁，星期六，2024年，5月2.化歸思想常用的幾種方法。把要解決的問題分成若干個(gè)小問題，然后逐一求解，達(dá)到整個(gè)問題解決的方法。過程：分割法。例第11頁,共27頁，星期六，2024年，5月變形法。對不易直接解決的問題，加以適當(dāng)變形，實(shí)現(xiàn)由難到易的化歸，達(dá)到問題解決。例映射法。是指在兩類數(shù)學(xué)對象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立某種“對應(yīng)關(guān)系”，通過映射將原來的問題化歸為新問題，在解決新問題的同時(shí)，原問題也得以解決。例第12頁,共27頁，星期六，2024年，5月注意應(yīng)用化歸思想解決教學(xué)中的問題。3.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想。明確滲透化歸思想的教材因素。數(shù)與代數(shù)幾何圖形面積公式的推導(dǎo)注意在教學(xué)中滲透化歸思想。第13頁,共27頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。

1.什么是模型思想？

三、模型思想

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對符號化思想有明確的要求，如要求學(xué)生“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示”這實(shí)際上就包含了模型思想。但是，課程標(biāo)準(zhǔn)對第一、二學(xué)段并沒有明確提出模型思想的要求

第14頁,共27頁，星期六，2024年，5月推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時(shí)，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。

1.什么是推理思想？

四、推理思想小學(xué)數(shù)學(xué)中推理思想的應(yīng)用

第15頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.什么是方程思想？

五、方程與函數(shù)思想在解決問題時(shí)，將已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，通過適當(dāng)設(shè)元建立方程，然后求解使問題得到解決的思維方式。方程思想是解決問題的重要思想方法。第16頁,共27頁，星期六，2024年，5月算術(shù)思維方程思維2.算術(shù)思維與方程思維的特點(diǎn)。未知量、已知量地位不同。思考過程往往是逆向的。未知量、已知量地位同等，便于分析數(shù)量關(guān)系。具有形式化、一般化的特點(diǎn)。思考過程往往是順向的。第17頁,共27頁，星期六，2024年，5月從思維發(fā)展的角度來說，代數(shù)的方法具有一般性、普遍性

。

四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠(yuǎn)更不能騰飛…

…

可是一引進(jìn)代數(shù)方法,這些東西都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了,而且每個(gè)人都可以做,用不著天才人物想出許多招來才能做,非但可以跑得很遠(yuǎn)而且可以騰飛。

吳文俊第18頁,共27頁，星期六，2024年，5月3.克服方程思維學(xué)習(xí)的障礙。列代數(shù)式。說代數(shù)式的意義。設(shè)定字母，列代數(shù)式。適當(dāng)加強(qiáng)文字語言與代數(shù)式“互譯”的訓(xùn)練。采用多種方法引導(dǎo)學(xué)生找出等量關(guān)系。直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。半獨(dú)立寫等量關(guān)系。設(shè)定未知量，列方程。第19頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.什么是函數(shù)思想？

函數(shù)思想用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)去描述客觀世界中量與量之間互相依賴、互相制約的關(guān)系的思想。量與量之間的依賴關(guān)系是用函數(shù)來描述的。什么是函數(shù)？第20頁,共27頁，星期六，2024年，5月2.小學(xué)數(shù)學(xué)涉及的幾種函數(shù)。正比例函數(shù):

y

=

k

x

(

k≠0

）。

商不變時(shí),被除數(shù)與除數(shù);正方形的周長與邊長：C

正方形＝4a。一次函數(shù):y=

k

x

+

b(

k≠0)

。

一元二次函數(shù):y=

a

x

2

+

bx+c

(

a≠0

）反比例函數(shù)（y

=

k/x

,

k≠0）。

S

正方形＝a

2,

S

圓＝

r

2

第21頁,共27頁，星期六，2024年，5月3.函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)。滲透變量的概念。滲透兩個(gè)變量的依存關(guān)系。教學(xué)正、反比例，揭示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的變量的關(guān)系。4．挖掘素材滲透函數(shù)思想。第22頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.什么是變換思想？

六、幾何變換思想

變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來處理孤立靜止的幾何問題，往往在解決問題的過程中能夠收到意想不到的效果。。

中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實(shí)際上就是相似比為1的相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射(軸對稱)變換等。

第23頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.什么是分類討論思想？

七、分類討論思想

人們面對比較復(fù)雜的問題，有時(shí)無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。

其實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”。其分類規(guī)則和解題步驟是：（1）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類，分類后的所有子項(xiàng)之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項(xiàng)的外延之和必須與被分類的對象的外延相等，通俗地說就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（3）逐類逐級進(jìn)行討論；（4）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。

小學(xué)數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用

第24頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.什么是分析法與綜合法？

八、分析法與綜合法

分析與綜合都是思維的基本方法，無論是研究和解決一般問題，還是數(shù)學(xué)問題，分析和綜合都是最基本的具有邏輯性的方法。

數(shù)學(xué)中的分析法一般被理解為：在證明和解決問題時(shí)，從結(jié)論出發(fā)，一步一步地追溯到產(chǎn)生這一結(jié)論的條件是已知的為止，是一種“執(zhí)果索因”的分析法。綜合法一般被理解為：在證明和解決問題時(shí)，從已知條件和某些定義、定理等出發(fā)，經(jīng)過一系列的運(yùn)算或推理，最終證明結(jié)論或解決問題，是一種“由因?qū)Ч钡木C合法。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的問題解決，可以由問題出發(fā)逐步逆推到已知條件，這是分析法；從已知條件出發(fā)，逐步求出所需答案，這是綜合法。再如分析法和綜合法在中學(xué)數(shù)學(xué)作為直接證明的基本方法，應(yīng)用比較普遍。因此，分析法和綜合法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為普遍的相互依賴、相互滲透的思想方法。

分析法和綜合法的運(yùn)用

第25頁,共27頁，星期六，2024年，5月1.什么是集合思想？

九、集合思想

把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體,就是一個(gè)集合(簡稱集),其中每個(gè)事物叫做該集合的元素(簡稱元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合,是明確的。如“學(xué)習(xí)成績好的同學(xué)