2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1講坐標(biāo)系1平面直角坐標(biāo)系學(xué)案新人教A版選修4-4

PAGE1-一平面直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用并領(lǐng)悟坐標(biāo)法的應(yīng)用.2.了解在伸縮變換作用下平面圖形的改變狀況，駕馭平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能夠建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．教材整理1平面直角坐標(biāo)系閱讀教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列問(wèn)題．1．平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))、曲線與方程建立了聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合．2．坐標(biāo)法：依據(jù)幾何對(duì)象的特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的方程，通過(guò)方程探討它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)系．3．坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題；其次步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．點(diǎn)P(－1,2)關(guān)于點(diǎn)A(1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,6) B．(3，－6)C．(2，－4) D．(－2,4)[解析]設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.[答案]B教材整理2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換閱讀教材P4～P8“習(xí)題”以上部分，完成下列問(wèn)題．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的隨意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·xλ>0，,y′＝μ·yμ>0))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換．1．將一個(gè)圓作伸縮變換后所得到的圖形不行能是()A．橢圓 B．比原來(lái)大的圓C．比原來(lái)小的圓 D．雙曲線[解析]由伸縮變換的意義可得．[答案]D2．y＝cosx經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后，曲線方程變?yōu)?)A．y′＝3coseq\f(x′,2) B．y′＝3cos2x′C．y′＝eq\f(1,3)coseq\f(x′,2) D．y′＝eq\f(1,3)cos2x′[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝3y))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′,y＝\f(1,3)y′))，又∵y＝cosx，∴eq\f(1,3)y′＝coseq\f(x′,2)，即y′＝3coseq\f(x′,2).[答案]A運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題【例1】已知?ABCD，求證：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思路探究]從要證的結(jié)論，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B，C，D點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算，證明幾何結(jié)論．[自主解答]法一(坐標(biāo)法)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0,0)，設(shè)B(a,0)，C(b，c)，則AC的中點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2)))，由對(duì)稱(chēng)性知D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．法二(向量法)在?ABCD中，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))，兩邊平方得eq\o(AC,\s\up12(→))2＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＝eq\o(AB,\s\up12(→))2＋eq\o(AD,\s\up12(→))2＋2eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AD,\s\up12(→))，同理得eq\o(BD,\s\up12(→))2＝|eq\o(BD,\s\up12(→))|2＝eq\o(BA,\s\up12(→))2＋eq\o(BC,\s\up12(→))2＋2eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))，以上兩式相加，得|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up12(→))|2＝2(|eq\o(AB,\s\up12(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up12(→))|2)＋2eq\o(BC,\s\up12(→))·(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→)))＝2(|eq\o(AB,\s\up12(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up12(→))|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．1．本例事實(shí)上為平行四邊形的一個(gè)重要定理：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于其四邊的平方和．法一是運(yùn)用代數(shù)方法，即用解析法實(shí)現(xiàn)幾何結(jié)論的證明．這種“以算代證”的解題策略就是坐標(biāo)方法的表現(xiàn)形式之一．法二運(yùn)用了向量的數(shù)量積運(yùn)算，更顯言簡(jiǎn)意賅，給人以簡(jiǎn)捷明快之感．2．建立平面直角坐標(biāo)系的方法步驟：(1)建系——建立平面直角坐標(biāo)系．建系原則是利于運(yùn)用已知條件，使運(yùn)算簡(jiǎn)便，表達(dá)式簡(jiǎn)明；(2)設(shè)點(diǎn)——選取一組基本量，用字母表示出題目涉及的點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程；(3)運(yùn)算——通過(guò)運(yùn)算，得到所須要的結(jié)果．1．已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且滿(mǎn)意|BD|＝|CD|.求證：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．[證明]法一以A(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.則A(0,0)，設(shè)B(a,0)，C(b，c)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))，所以|AD|2＋|BD|2＝eq\f(a＋b2,4)＋eq\f(c2,4)＋eq\f(a－b2,4)＋eq\f(c2,4)＝eq\f(1,2)(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．法二延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，CE，則四邊形ABEC為平行四邊形，由平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題【例2】由甲導(dǎo)彈驅(qū)除艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)除艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海疆執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對(duì)商船進(jìn)行護(hù)航．某日，甲艦在乙艦正東6km處，丙艦在乙艦北偏西30°，相距4km.某時(shí)刻甲艦發(fā)覺(jué)商船的某種求救信號(hào)．由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠(yuǎn)，因此4s后乙、丙兩艦才同時(shí)發(fā)覺(jué)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1km/s.若甲艦趕赴救援，行進(jìn)的方位角應(yīng)是多少？[思路探究]本題求解的關(guān)鍵在于確定商船相對(duì)于甲艦的相對(duì)位置，因此不妨用點(diǎn)A、B、C表示甲艦、乙艦、丙艦，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出商船與甲艦的坐標(biāo)，問(wèn)題可解．[自主解答]設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船．如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq\r(3))．∵|PB|＝|PC|，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上．kBC＝－eq\r(3)，線段BC的中點(diǎn)D(－4，eq\r(3))，∴直線PD的方程為y－eq\r(3)＝eq\f(1,\r(3))(x＋4)． ①又|PB|－|PA|＝4，∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)． ②聯(lián)立①②，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,5eq\r(3))，∴kPA＝eq\f(5\r(3),8－3)＝eq\r(3).因此甲艦行進(jìn)的方位角為北偏東30°.1．由于A，B，C的相對(duì)位置肯定，因此解決問(wèn)題的關(guān)鍵是如何建系．2．運(yùn)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：建系→設(shè)點(diǎn)→列關(guān)系式(或方程)→求解數(shù)學(xué)結(jié)果→回答實(shí)際問(wèn)題．2．有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用：A地每千米的運(yùn)費(fèi)是B地每千米運(yùn)費(fèi)的3倍，已知A、B兩地距離為10千米，顧客選擇A地或B地購(gòu)買(mǎi)這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用最低，求P地居民選擇A地或B地購(gòu)貨總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形態(tài)，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)物地點(diǎn)？[解]如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P到A、B兩地購(gòu)物的運(yùn)費(fèi)分別是3a、a(元/千米)．當(dāng)由P地到A、B兩地購(gòu)物費(fèi)用相等時(shí)，有“價(jià)格＋A地運(yùn)費(fèi)＝價(jià)格＋B地運(yùn)費(fèi)”，∴3a·eq\r(x＋52＋y2)＝a·eq\r(x－52＋y2)，化簡(jiǎn)整理，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,4)))eq\s\up20(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))eq\s\up20(2).(1)當(dāng)P點(diǎn)在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，0))為圓心，eq\f(15,4)為半徑的圓上時(shí)，居民到A地或B地購(gòu)貨總費(fèi)用相等．(2)當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,4)))eq\s\up20(2)＋y2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))eq\s\up20(2)，∴[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,4)))eq\s\up20(2)＋y2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))eq\s\up20(2)<0，∴3eq\r(x＋52＋y2)<eq\r(x－52＋y2).故此時(shí)到A地購(gòu)物最合算．(3)當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，同理可知，此時(shí)到B地購(gòu)物最合算．伸縮變換[探究問(wèn)題]1．怎樣由正弦曲線y＝sinx得到曲線y＝sin2x?[提示]如圖，在正弦曲線y＝sinx上任取一點(diǎn)P(x，y)，保持縱坐標(biāo)y不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的eq\f(1,2)，那么正弦曲線y＝sinx就變成曲線y＝sin2x.2．怎樣由正弦曲線y＝sinx得到曲線y＝3sinx?[提示]如圖，在正弦曲線y＝sinx上任取一點(diǎn)P(x，y)，保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，那么正弦曲線y＝sinx就變成曲線y＝3sinx.3．怎樣由正弦曲線y＝sinx得到曲線y＝3sin2x?[提示]事實(shí)上，這是上述探究1、2的“合成”：如圖，先保持縱坐標(biāo)y不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的eq\f(1,2)；在此基礎(chǔ)上再將縱坐標(biāo)y變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，就可以由正弦曲線y＝sinx得到曲線y＝3sin2x.【例3】在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng).))(1)求點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－2))經(jīng)過(guò)φ變換所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)B經(jīng)過(guò)φ變換后得到點(diǎn)B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)求直線l：y＝6x經(jīng)過(guò)φ變換后所得直線l′的方程；(4)求雙曲線C：x2－eq\f(y2,64)＝1經(jīng)過(guò)φ變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)．[思路探究](1)由伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))求得x′，y′，即用x，y表示x′，y′；(2)(3)(4)將求得的x，y代入原方程得x′，y′間的關(guān)系．[自主解答](1)設(shè)點(diǎn)A′(x′，y′)．由伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y.))又已知點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－2)).于是x′＝3×eq\f(1,3)＝1，y′＝eq\f(1,2)×(－2)＝－1，∴變換后點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1，－1)．(2)設(shè)B(x，y)，由伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′，))由于B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))，于是x＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，y＝2×eq\f(1,2)＝1，∴B(－1,1)為所求．(3)設(shè)直線l′上隨意一點(diǎn)P′(x′，y′)，由上述可知，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)x′,y＝2y′))，代入y＝6x得2y′＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x′))，所以y′＝x′，即y′＝x′為所求．(4)設(shè)曲線C′上隨意一點(diǎn)P′(x′，y′)，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)x′,y＝2y′))代入x2－eq\f(y2,64)＝1，得eq\f(x′2,9)－eq\f(4y′2,64)＝1，化簡(jiǎn)得eq\f(x′2,9)－eq\f(y′2,16)＝1，∴a2＝9，b2＝16，c2＝25，因此曲線C′的焦點(diǎn)F′1(5,0)，F(xiàn)′2(－5,0)．1．解答本題的關(guān)鍵：(1)是理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；(2)是明確變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解．2．伸縮變換前后的關(guān)系：已知平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·xλ>0，,y′＝μ·yμ>0，))則點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程的關(guān)系為：聯(lián)系類(lèi)型變換前變換后點(diǎn)P(x，y)(λx，μy)曲線Cf(x，y)＝0feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)x′，\f(1,μ)y′))＝03．若將例3中第(4)題改為：假如曲線C經(jīng)過(guò)φ變換后得到的曲線的方程為x′2＝18y′，那么能否求出曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]設(shè)曲線C上隨意一點(diǎn)M(x，y)，經(jīng)過(guò)φ變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′(x′，y′)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(y,2).))(*)又M′(x′，y′)在曲線x′2＝18y′上． ①將(*)代入①式得(3x)2＝18×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y))，即x2＝y(tǒng)為曲線C的方程．可見(jiàn)仍是拋物線，其中p＝eq\f(1,2)，拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4).1．如何由正弦曲線y＝sinx經(jīng)伸縮變換得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x的圖象()A．將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)也壓縮為原來(lái)的eq\f(1,2)B．將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍C．將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)也伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍D．將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的eq\f(1,2)[解析]y＝sinxeq\o(→,\s\up14(橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)),\s\do14(的2倍))y＝sineq\f(1,2)xeq\o(→,\s\up14(縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)),\s\do14(的\f(1,2)))y＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x.故選D.[答案]D2．將直線x＋y＝1變換為直線2x′＋3y′＝6的一個(gè)伸縮變換為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x,y′＝2y))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝3y))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x,y′＝\f(1,2)y)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x,y′＝\f(1,3)y))[解析]設(shè)伸縮變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy，))由(x′，y′)在直線2x′＋3y′＝6上，則2λx＋3μy＝6，因此eq\f(λ,3)x＋eq\f(μ,2)y＝1，與x＋y＝1比較，∴eq\f(λ,3)＝1且eq\f(μ,2)＝1，故λ＝3且μ＝2，即所求的變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y