大一高數(shù)復習

祝大家考出

好成績贈2011級同學二、一元函數(shù)微分學及其應用三、一元函數(shù)積分法及其應用一、研究函數(shù)連續(xù)與極限的方法（間斷）定積分與不定積分導數(shù)、中值定理導數(shù)應用、函數(shù)極限連續(xù)研究對象研究橋梁研究工具一個基本概念、兩個應用、三個基本運算總復習一、求極限的方法及舉例(1)利用定義式驗證極限(2)利用極限存在準則求極限(3)利用極限或無窮小的運算法則(4)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限(5)利用等價無窮小與重要的極限求極限的基本方法(6)求未定型的極限(洛必達法則)(7)利用導數(shù)的定義求極限(8)利用中值定理求極限(9)利用泰勒公式求極限其它方法二、計算導數(shù)的方法及常見的題型1、利用導數(shù)的定義求做適用于分段函數(shù)2、利用導數(shù)公式和求導法則求做要求：基本的公式表導數(shù)與微分的四則運算復合函數(shù)求導法則隱函數(shù)的求導法則參數(shù)方程求導3、利用對數(shù)求導法求做4、高階導數(shù)的求法三、計算不定積分的方法1、直接積分法2、換元積分法第一類換元積分（湊微分法）第二類換元積分（變量代換法）3、分部積分法（反、對、冪、指、三）4、微積分基本定理間的關系積分中值定理微分中值定理牛-萊公式5、常用的公式(1)熟記三角公式及萬能代換(2)(4)(5)(3)若以為周期,則奇偶討論四、微分中值定理共性：函數(shù)滿足一定條件時，在給定的開區(qū)間內至少存在一點(中值)，使得函數(shù)在該點的導數(shù)具有某種性質羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理五、導數(shù)的應用1、利用導數(shù)定義求極限2、導數(shù)的幾何應用3、導數(shù)的物理應用對于實際問題求解最值，即“用料最省”、“效率最高”、“成本最低”等解決方法：建立目標函數(shù)，求做最值討論單調性、極值、凸凹性、拐點、漸近線、描述函數(shù)的性態(tài)、4、證明不等式或恒等式曲率、相關變化率六、定積分的應用1.定積分的應用幾何方面:面積、體積、弧長物理方面:質量、作功、側壓力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼等.解:原式=原式例1.

求極限例2.

求下列極限提示:無窮小有界令～說明:

若則有（4）解：原式=（5）解：原式=解：原式=(6)解利用積分中值定理(7)解利用估值定理思考與練習填空題

(1～4)5)求極限(1)(2)利用極限的運算法則6)求極限利用函數(shù)極限求做解:型例3

已知試確定

a,b.解：此題分母的極限為0，當時可見分子的極限一定為0，則有例4.

求解:例5.

求解:例6

求解:

原式=練習1:設連續(xù),求解:原式=練習:

2.求極限解：原式3.

求極限提示：原式左邊=右邊有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,即由此得為可去間斷點,極限存在,應有因此例7.

設函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.例8.確定函數(shù)間斷點的類型.解:

間斷點為無窮間斷點;當時,當時,故為跳躍間斷點.在處連續(xù).例9.

設解:求例10.

設求解:思考:若存在,如何求的導數(shù)?這兩個記號含義不同練習1：2：設函數(shù)是由方程所確定求解：方程兩邊同時對求導得：11.

設,問a

取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,12.若且存在,求解:原式=且聯(lián)想到湊導數(shù)的定義式例13.

設解：例14.設解：思考與練習1.2.提示:

令則3解解：5：解：例5、已知求解：令練習：（1）（2）6.

求的導數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導例16.

求多項式f(x)使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊對

x

求導兩次,去掉積分號由此可知f(x)

應為二次多項式,設代入**式比較同次冪系數(shù),得故例17.

設在內可導,且證明至少存在一點使上連續(xù),在證:

問題轉化為證設輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點推廣：求證存在使

設可導，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即設輔助函數(shù)使得18.設函數(shù)f(x)

在[a,b]上可導，且

試證在開區(qū)間(0,1)內至上存在一點

證：例19設在上連續(xù)，在內可導，其中且證在內存在，使分析：積分令例20設在上連續(xù)，在內可導，且又試證明方程：在內必有唯一的實根證明：由題意滿足拉氏定理令必有（存在性）（唯一性）則函數(shù)單減，故根唯一故根存在例21.

證明證:

設,則故時,單調增加,從而即思考:

證明時,如何設輔助函數(shù)?練習證明:構造輔助只要證明例22.

已知求A,B.解:

等式兩邊對x

求導,得例23.

求解:

方法1方法2兩法結果僅形式不一樣!24.

求提示:法1.法2.法3.令則25.

求下列積分26、解：原式=27、求解：原式=分部積分思考與練習1.下列各題求積方法有何不同?例28.

求解:

原式=說明:上述方法為求有理函數(shù)積分的一般方法,有時根據(jù)被積函數(shù)結構可尋求更簡便的方法.

例29.求解:

原式技巧例30

求解:

令比較同類項系數(shù),故∴原式說明:

此技巧也適于形為的積分.令例31求下列積分(1)(2)提示:原式提示:原式(3)(4)提示：令提示：例32求解：原式=分析：與以為同期，利用性質偶奇解例33求下列積分(1)原式=(2)點例34.解：求的無窮間斷點,故I為反常積分.例35:解:原式=例36.

設非負函數(shù)且滿足曲線與直線及坐標軸所圍圖形面積為2,(1)求函數(shù)(2)a

為何值時,所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉體體積最小?解: