2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第28講與圓有關(guān)的計算（練習(xí)）（解析版）

第28講與圓有關(guān)的計算

錄

題型過關(guān)練

題型01求正多邊形中心角

題型02求正多邊的邊數(shù)題型12求某點的弧形運動路徑長度

題型03正多邊形與圓中求角度題型13求扇形面積

題型04正多邊形與圓中求面積題型14求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積

題型05正多邊形與圓中求周長題型15求圓錐側(cè)面積

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長題型16求圓錐底面半徑

題型07正多邊形與圓中求線段長題型17求圓錐的高

題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題題型18求圓錐側(cè)面積展開圖的圓心角

題型09求弧長題型19圓錐的實際問題

題型10利用弧長及扇形面積公式求半徑題型20圓錐側(cè)面上的最短路徑問題

題型11利用弧長及扇形面積公式求圓心題型21計算不規(guī)則面積

角

真題實戰(zhàn)練

題型過關(guān)練N

題型01求正多邊形中心角

1.（2022?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖，邊是。O內(nèi)接正六邊形的一邊，點。在M上，且8C是。。內(nèi)

接正八邊形的一邊，若AC是OO內(nèi)接正〃邊形的一邊，則〃的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360”邊數(shù)，列式計算分別求出NAOB,N'BOC的度數(shù)，可得NAOC=15。，然

后根據(jù)邊數(shù)〃=360。+中心角即可求得答案.

【詳解】解：連接OC,

???A6是。。內(nèi)接正六邊形的一邊，

???NAOB=360°+6=60°,

是。。內(nèi)接正八邊形的一邊，

4。。=360。+8=45。，

:.NAOC=NAOB-NBOC=60°-45°=15。

J4=360°X50=24.

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中

心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?吉林長春?校考模擬預(yù)測）如圖，正五邊形/WCDE內(nèi)接于0。，點尸在此匕則NCEQ=一

度.

【分析】連接。C,OD.求出NCO"的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題.

【詳解】如圖，連接OC,OD.

?.?五邊形A3COE是正五邊形,

ZCOD=^=72°,

:.NC77）J/COD=36。，

2

故答案為：36.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

3.（2022?江蘇揚州?揚州教育學(xué)院附中?？级＃┤鐖D，在正十邊形兒心①4為4/力8力940中，連接

4/7,則以例7=°

【答案】54

【分析】設(shè)正十邊形的圓心O,連接4Q、40,再求出N/bQ/U最后運用圓周角定理解答即可.

【詳解】解：如圖：設(shè)正十邊形的圓心0,連接上。、A。

?.?正十邊形的各邊都相等

/.47。4+3600=108。

.?.444遇7=108°x1=54°.

故填54.

【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理，根據(jù)題意正硝作出輔助線、構(gòu)造出圓周角是解答

本題的關(guān)鍵.

題型02求正多邊的邊數(shù)

4.（2022?上海松江?統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72。，那么這個正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】5

【詳解】解：?.?中心角的度數(shù)=耳，

，72。=竺，

n

72=5,

故答案為：5.

5.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考二模）一個正〃邊形的一個內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則片

【答案】6

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)中心角的求法求出中心角的度數(shù)列方程求

解即可.

【詳解】???正〃邊形的一個內(nèi)角和=（n-2）-180%

???正〃邊形的一個內(nèi)角=理』之.

???正〃邊形的中心角=”，

180°X(n-2)36O°X2

解得：〃=6.

故答案為6.

【點睛】本題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形的內(nèi)角和公式及中心角的求法.

6.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模）一個正多邊形內(nèi)接于半徑為4的。O,是它的一條邊，扇形048的面積

為2〃，則這個正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】8

【分析】設(shè)N4O8=〃。，利用扇形面枳公式列方程。=2尢，求出NAO8的度數(shù)，然后用360。：45。計算即

360

可.

【詳解】解：設(shè)NAOH=〃。，

?.?扇形048的面積為2兀，半徑為4,

?二〃=45°,

.?.360°-r45°=8,

???這個正多邊形的邊數(shù)是8,

故答案為8.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，扇形而枳，圓心角，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，扇形而積公式，圓心角

是解題關(guān)鍵.

題型03正多邊形與圓中求角度

7.（2022?山東青島?統(tǒng)考二模）如圖，五邊形48C0E是€>O的內(nèi)接正五邊形，則4E8C的度數(shù)為（）

C.71°D.72°

【答案】D

【分析】先根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和求出每個內(nèi)角，再根據(jù)等邊對等角得出NA8斤NAE8,然后利用三角形

內(nèi)角和求出乙48￡=式180。一4力）=36。即可.

【詳解】解：:五邊形/1BCDE是。0的內(nèi)接正五邊形，

??.ZA=ZABC=1（5-2）x180°=108°,AB=AE,

：.NABE=NAEB,

：.ZA?E=1（180°-Z4）=36°.

：.z.EBC=乙ABC-乙ABE=108°-36°=72°.

故選：D.

【點睛】本題考查園內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，角的和差計算，掌握圓

內(nèi)接止五邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，角的和差計算是解題關(guān)鍵.

8.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖，正六邊形ABCOE”內(nèi)接于。O,連接AD.則NCBD的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和求得/BCD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】???在正六邊形A8C。所中，空警幽=120。，BC=CD,

6

/.ZCBD=-（180°-120°）=30。，

2

故選A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題

的關(guān)鍵.

9.（2022?河北保定?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點。是正六邊形ABCOEF的中心，乙GOK的兩邊OG,OK,分別與

AB,CB,相交于點M,N,當(dāng)NGOK+乙/8。=180。時，下列說法錯誤的是（）

A.LGOK=60°B.MB+NB=DC

C,S四邊形0MBN二五$正六邊形TB8EFD.LOMA^iLONB

【答案】C

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)逐項進(jìn)行證明即嘰

【詳解】解：如下圖所示，連接04OB,0C.

???點。是正六邊形/1BCDEF的中心，

二OA=OB=OC,LFAB=LABC=-80^6"2)=120°,Z.AOB=Z.BOC=乎=60°,AB=DC,S40A3=

&,正六邊形48(?。￡/:1.

3AM=18。＞8=60。，NOBN=3。丁。c=60。.

LOAM=Z.OBN.

???Z.GOK+LABC=180°,

二乙0MB+“NB=360°-(NGOK+/.ABC)=180°,Z.GOK=180°-/.ABC=60°.

故A選項不符合題意.

???Z.0MA+LOME=180°,

???LOMA="NB*

???△04M三AOBN(AAS).

???LOMA=Z.ONB,MA=NB,S^0AM=S^0BN.

故D選項不符合題意.

???MB+NB=MB+MA=AB=DC.

故B選項不符合題意.

S四邊形OMBN=SAOMB+S^OBN=S^OMB+S&OAM=SAOAB。

???S因邊形0MBN=SA0A8=%S正六邊形ABCDEF，

故c選項符合題意.

故選：C

【點睛】此題考查正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

10.（2022?廣西梧州?統(tǒng)考一模）如圖,在正五邊形ABCDE中,AC與BE相交于點F,則團AFE的度數(shù)

為?

【答案】72。

【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108%然后利用三角形內(nèi)角和定理

得NBAC=NBCA=NABE=NAEB=（180°-108°）+2=36。，最后利用三角形的外角的性質(zhì)得到

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°.

【詳解】???五邊形ABCDE為正五邊形，

.\AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,

AZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=（180°-108°）+2=36°,

r.ZAFE=ZBAC+ZABE=72°,

故答案為720.

【點睛】本題考壹的是正多心形和圓，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

題型04正多邊形與圓中求面積

11.（2022?河北廊坊?統(tǒng)考二模）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張

保持不動，將上面一張紙片六邊形A'B'C'D'E'V沿水平方向向左平移a個單位長度，則上面正六邊形紙片面

積與折線A--C'掃過的面積（陰影部分面積）之比是（）

C.5:2D.2:1

【答案】A

【分析】求出正六邊形和陰膨部分的面積即可解決問題.

【詳解】解：如下圖，正六邊形由六個等邊三角形組成，過點。作。CO于點，，0G_L4產(chǎn)于點G,

根據(jù)題意，正六邊形紙片邊長為2a,R|JCO=2a,

*.0C=OD=CD=2a,

'：0H1CD,

：.CH=DH=-2CD=a,

：.在Rt△0cH中，OH=y/OC2-CH2=J(2a)2-a2=V3a,

同理，OG=\[3a,

S^QCD=，OH=1x2axV3a=V3a2,

???正六邊形的面枳=6xfx(2a)2=6島2,

:將上面一張紙片六邊形480斤F，沿水平方向向左平移a個單位長度,

又,:GH=0G+0H=2Wa,

???陰影部分的面積=ax2x/3a=2\/3a2,

???空白部分與陰影部分面積之比是=6V3a2:2V3a2=3:1.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平移變換等知識，解題關(guān)鍵是理

解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

12.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點P是邊"上的點，記圖中各三角形的面積

依次為S1,S2，S3，S4，Ss，則下列判斷正魂的是（）

A.S]+$2=2s3B.S[+S4=S3C.S2+S4=2s3D.S〔+S5=S3

【答案】B

【分析】正六邊形?CDE尸中，點尸是邊/I尸上的點，記圖中各三角形的面積依次為SI，S2，S3,54，S5，則有

S3=正六邊形ABCOEF，S1+S4=S2+S5=9s正六邊形A8cg,尸由此即可判斷.

【詳解】解：正六邊形ABCDEF中，點P是邊4尸上的點，記圖中各三角形的面積依次為S],S2，S3，S4，Ss，

則有S3=1^j￡Aii^BCDEF,Si+S4=S2+S5=如正六邊形ABODE尸

S3=Si+S4=S2+S5f

故選：B.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決

問題.

13.（2022?浙江杭州?杭州育才中學(xué)校考模擬預(yù)測）邊長為。的正方形的對稱軸有條，這個正方

形的外接圓的面積是.

【答案】4

【分析】正方形的對稱軸有4條，然后根據(jù)正方形的對角線長就是外接圓的直徑求得外接圓的半徑，從而

計算面積即可.

【詳解】任何正方形的對稱軸都有4條：

???正方形的邊長為小

???正方形的對角線長為：夜Q，

???正方形的對角線是正方形的外接圓的半徑，

???正方形的外接圓的半徑為日a,

正方形的外接圓的面積為:7rM=〃俘a）=*2.

故答案為：4,1TTQ2.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是弄清正多邊形的有關(guān)元素與圓的關(guān)系，如本題中

的外接圓的半徑就是正方形對角線K的?半.

14.（2022?寧夏銀川?校考三模）如圖，已知0。的內(nèi)接正六邊形4BCDEF的邊心距OM是8，則陰影部分

的面積是.

【答案】4n-6V3/-6V3+47r

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可求出4DOE=60°,進(jìn)而得出△DOE是正三角形，由圓內(nèi)接正六邊形

的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出半徑。＞邊長DE,再根據(jù)面積公式求出正六邊形48CDEF的面

積，最后由陰影部分的面枳等于圓的面積減去正六邊形48C0EF,進(jìn)行計算即可

【詳解】解：如圖，連接OD，0E,

?.?六邊形4BC0EF是。。的內(nèi)接正六邊形,

."DOE=皿=60°

6

?：OD=OE

...△DOE是正三角形，

?/O。的內(nèi)接正六邊形48CDE尸的邊心距。M是舊,

?.皿=旃=2,即。￡=?！?2,

Ix2x73=65/3

?*^A3CDEF=6XS^DOE=6X4

?'S陰影部分=Sjju—SABCDEF=nx22—6V3=4ir—6\/3

故答案為4n-6百

【點睛】本題考查正多邊形面積與圓面積的計算，掌握圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及圓的面積的計算方法是

解決問題的關(guān)鍵

15.（2022?四川成都?校考模擬預(yù)測）求半徑為20的圓內(nèi)接正三角形的邊長和面積.

【答案】它的內(nèi)接正三角形的邊長為20國，面積為3006

【分析】作正三角形力BC關(guān)于0。的內(nèi)接三角形，過點。作BC的垂線4D,垂足為Q,連接OB,根據(jù)正三角

形的性質(zhì)，得出4。8。=30。，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得出8。的長，再根據(jù)垂徑定理，得出8C二

2BD,從而求正三角形的邊長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求出力。的長，進(jìn)而得出其面積.

【詳解】解：如圖，作正三角形4BC關(guān)于。。的內(nèi)接三角形，過點。作BC的垂線力。，垂足為。，連接OB,

???半徑為20的圓的內(nèi)接正三角形,

???OB=20,

vAD1BC,

???力。是ZB4c的角平分線，

：?^BAD=30°,

乂???BO=OA,

二Z.ABO=30°,

:.乙0BD=30°,

在口△。8。中，

:.BD=cos30°x。8=梟20=10V3,

???BD=CD,

二BC=2BD=20值

AD=AB-sin60°=20V3xy=30,

AS^BC=^BC-AD20V3x30=3006，

它的內(nèi)接正三角形的邊長為20百，面積為300遍.

【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解直角三角形，根據(jù)正-：角形的性質(zhì)得出4。8。=30。是解題關(guān)

鍵.

題型05正多邊形與圓中求周長

16.（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，有公共頂點O的兩個邊長為5的正五邊形（不重疊），以點。為圓

心，5為半徑作弧，構(gòu)成一個“蘑菇”形圖案（陰影部分），則這個“蘑菇”形圖案的周長為（）

A.47rB.4TT+20

C.IOTTD.IOTT+20

【答案】B

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出正五邊形的內(nèi)角和，可求得每個內(nèi)角的度數(shù)，則可求得陰影部分的度

數(shù)，再利用圓弧的周長計算公式即可求得答案.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和為：（n-2）-180°=（5-2）x180°=540°,

二每個角為540。+5=108%

則圖中陰影部分的度數(shù)為：360°-2x108°=144°,

則圓弧的長:我X2…輸2x5―4叫

二“蘑菇”形圖案的周長為：471+4x5=471+20,

故選B.

【點睛】本題考查了正多邊形與園.同弧的周長計算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓弧的周長計算公式.

17.（2022?江西吉安?統(tǒng)考一模）某校開展“展青春風(fēng)采，樹強國信念”科普大閱讀活動.小明看到黃金分別

比是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系，它具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值，應(yīng)用時一

股取0.618.特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接AB,AC,"1C8的角平分線交邊人8于點。，

則點。就是線段的一個黃金分割點，且己知4C=10cm,那么該正五邊形的周長為()

A.19.1cmB.25cmC.30.9cmD.40cm

【答案】C

【分析】證明BC=CD=AD=6.18(cm),可得結(jié)論.

【詳解】解：由題意，點。是線段AB的黃金分割點，

???空=0.618,

AB

VA5=AC=10cm,

.*.40=6.18(cm),

VZABC=ZACB=72°,CO平分NAC8,

:.ZACD=ZBCD=ZCAD=36°,ZCDB=ZCBD=72Q,

:,BC=CD=AD=6.18(cm),

???五邊形的周長為6.18x5=30.90(cm),

故選：C.

【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，黃金分割等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題.

18.(2022?云南昆明?統(tǒng)考二模)我國迎晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又

割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過園內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊

數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，….邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長

就越接近圓的周長.再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率.設(shè)圓的半徑為R圖1中

圓內(nèi)接正六邊形的周長，6=6R,貝=再利用圖2圓的內(nèi)接正十二邊形計算圓周率，首先要計和

它的周長，下列結(jié)果正確的是()

A.ll2=24/?sinl5°B.l12=24/?cosl5°

C.ll2=24/?sin30°D.l12=24/?cos30°

【答案】A

【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長公式求解即可.

【詳解】解：???十二邊形久小…必?是正十二邊形，

/.^AbOA7=30°,

?.?OM14出于M,5LOA6=OA7,

：.Z.A60M=15°,

,.,正八邊形的周長=n-2/?sin竺上，

n

二圓內(nèi)接正十二邊形的周氏，12=24/?sinl5°,

故選：A.

【點睛】本題考者的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，求出正十二邊形的周長是解題的關(guān)鍵.

19.(2022?浙江?統(tǒng)考二模)如圖1是學(xué)生常用的一種圓規(guī)，其手柄43=8〃加，兩腳BC=8D=56〃?m,如圖2

所示.當(dāng)上CBD=74。時：

圖1圖2圖3

(1)求A離紙面C。的距離.

(2)用該圓規(guī)作如圖3所示正六邊形，求該正六邊形的周長.(參考數(shù)據(jù)：5由37。乜).60,cos37%0.80,

sin74°M.96,cos74。巾.28,結(jié)果精確到0.1)

【答案】（l）52.8mm

（2）403.2nim

【分析】（1）連接CD，過點B點作BE1CD,垂足為E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得乙CBE=37。，解直角

三角形CBE,分別求得CE,8E,根據(jù)=+即可求解.

（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正六邊形的邊長等于半徑，等于CO的長，即可求得正六邊形的周長.

【詳解】（1）如圖，連接CD，過點8點作BE_LCD,垂足為E,

???BC=BD,

CE=DE.Z.CBE=Z.DBE=%CBD=37°,

BE=BC-c337c=56x0.80=44.8mm,

二AE=AB+BE=8+44.8=52.8mm,

即A離紙面CD的距離為52.8mm.

（2）???CE=BC-sin37°a56x0.60=33.6,

:.CD=2CE=67.2mm.

???正六邊形的邊長等于外接圓的半徑，則正六邊形周長=6CD=6x67.2=403.2mm.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長

20.（2022.廣東湛江?嶺師附中校聯(lián)考三模）半徑為2的圓內(nèi)接正六角形的邊長是（）

A.1B.2C.V3D.2V3

【答案】B

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知乙C0D=60°,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可知OC=OD=CD進(jìn)而

即可解答.

【詳解】解：如圖，連接OC、OD,

R

D

,：正六邊形48CDEF內(nèi)接于圓。，

：?

MOD=—6=60°,

'：OC=OD,

「?△OCD是等邊三角形，

：.OC=OD=CD,

'：OC=OD=2,

:.CD=2,

故選B.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

21.（2022?河南信陽?統(tǒng)考三模）如圖I,動點尸從正六邊形的A點出發(fā)，沿4-JETO—C以Icm/s的

速度勻速運動到點C,圖2是點。運動時，△ACP的面積y（cm?）隨著時間工（5）的變化的關(guān)系圖象，則

【答案】A

【分析】如圖，連接BE,AE,CE,BE交AC于點G,證明△4CE為等邊三角形，根據(jù)），的最大值求得

△ACE的邊長，再在直角三角形A8G中用三角函數(shù)求得人8的長即可.

【詳解】】解：如圖，連接BE,AE,CE,BE交AC于點G

圖①圖②

由正六邊形的對稱性可得HEA-AC,△ABC三ACDENAAFE

.'△ACE為等邊三角形，GE為AC邊上的高線

???動點P從正六邊形的八點出發(fā)，沿A-FTETQ-C以lcm/s的速度勻速運動

，當(dāng)點。運動到點￡時仆ACP的面積y取最大值3V3

設(shè)AG=CG=a(cm)?則AC=AE=CE=2a(cm),GE=V3a(cm)

：?2(M6*2=36(cm)

.*.a2=3

a=V3(cm)或a=->/3(舍)

?.?正六邊形的每個內(nèi)角均為120。

ZA?G=1x120°=60°

，在R/AA8G中，加60。

A15

.V3V3

??——=—

AB2

.,.AB=2(cm)

...正六邊形的邊長為2cm

故選：A.

【點睛】本題考杳了動點問題的函數(shù)圖象，以圖中)，值的最大值為突破口，求得等邊三角形AACE的邊

長，是解題的關(guān)鍵.

22.(2022?四川達(dá)州?四川省渠縣中學(xué)?？级?如圖，。0的內(nèi)接正六邊形的邊長是6,則弦心距

是.

【答案】3V3

【分析】連接08、OC,過點O作0M_LHC,交BC于點M,證明△0BC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)，得出BM=：BC=3,根據(jù)勾股定理得出0M=3百即可.

【詳解】解：連接08、0C,過點。乍0M_L8C,交BC于點M,如圖所示：

V六邊形ABCDEF為圓內(nèi)接正六邊形，

."B0C=工x360。=60。，

6

,：OB=OC,

A0BC為等邊三角形，

：.0B=0C=BC=6,

v0M1BC,

：.BM=^BC=3,

:.0M=7OB2-8M2=V62-32=3V3,

即弦心距是3V1

故答案為：3V1

【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，熟練掌握

等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.（2022?陜西西安?校考模擬預(yù)測）某正多邊形的邊心距百，半徑為2,則該止多邊形的面積為.

【答案】6V3

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，得出0E1/18,0E=收,0A=2,0A=0B,求出2/10B=24/10E=

60°,得出正多邊形是正六邊形，然后求出結(jié)果即可.

【詳解】解：如圖所示：由題意可得，0E148,OE=V3,OA=2,OA=OB,

則cos〃OE=y,

故N4OE=30°,

：.AE=-OA=1,

2

：./LAOB=2/.AOE=60%AB=2AE=2,

..360°「

?77=6,

???正多邊形是正六邊形，

則該正多邊形的面積為：6x|x2x^=6V3,

故答案為：66

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明正多

邊形是正六邊形.

24.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考二模）半徑為6的圓內(nèi)接正三角形的邊心距為.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接08、OC,作OO_L8C于。，由含30。的直角三角形的性質(zhì)得出。。即

可.

【詳解】如圖所示，連接。B、OC,作0。_18c于。，

則NODC=90。,

ZBOC=1x360。=120。，OB=OC,

：.ZO￡?C=ZOCB=30°,

：.OD=^OR=^x6=3,

即邊心距為3,

故答案為：3.

【點睛】本題考杳/正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)健是正

確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形來解答.

題型07正多邊形與圓中求線段長

25.(2022?江蘇徐州?徐州市第十三中學(xué)?？既?如圖所示的正八邊形的邊長為2,則對角線49的長為

()

A.2^2+2B.4C.2+V2D.6

【答案】A

【分析】標(biāo)出點C,D,E,F,連接Q,連接AC,8。交于點O,過點E作EG_LA8J；G,過點尸作

FH1AB于H,根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)確定NO48=NABC=90。，根據(jù)多邊形的

內(nèi)角和定理確定NZM￡=NAEF=NF8C=135。，根據(jù)角的和差關(guān)系，平行線的判定定理確定EF||48,根據(jù)

平行線的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)求出G"的長度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，勾股定理

求出G4和a8的長度，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出48的長度.

【詳解】解：如下圖所示，標(biāo)出點C,D,E,尸，連接CO,連接ACBD交于點O,過點E作EG_LA8

于G.過點『作/月IA8于H.

E

根據(jù)圖形可知直線AC和直線8。是正八邊形的對稱軸.

，AC和8。是該正八邊形外接圓的直徑.

???AC=8”點。為該正八邊形外接圓的圓心.

：.OA=OB=OC=OD.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

，四邊形48CD是矩形.

:.ZBAD=ZABC=900.

:正八邊形的邊長為2,

：.AE=EF=FB=2,Z.DAE=Z.AEF=乙FBC=的?一?)=o

8135

:.NGAE=NDAE-NDAB=45。,NHBF=NFBC-NABC=45。.

???ZAEF+ZGAE=180°.

：.EF||AB.

：.NEGH+NGEF=180。.

VEGA.AB,FHLAB,

:.ZEGH=ZFHG=ZEGA=ZFHB=W.

/.ZGEF=180o-ZEG//=90°,ZGEA=\80°-ZEGA-ZGAE=45°,ZHFB=1800-ZFHB-ZHBF=45°,AE2=

GA2+GE2,FB2=HF2+HB2.

，四邊形EGH"是矩形，NG4E=NGE4,NHFB=/HBF.

：.GH=EF=2,GA=GE,HB=HF.

：.22=GA24-GA2,22=HB2+HB2.

：.GA=V2,HB=y/2.

：.AB=GA+GH+HB=2>/2+2.

故選：A.

【點睛】本題考查正多邊形與圓的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，矩形的判定定理和性質(zhì)，平行線的判定定

理和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，勾股定理，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵.

26.（2022?吉林長春?模擬預(yù)測）如圖,正五邊形力8CDE內(nèi)接于。0,過點4作。。的切線交對角線。8的延

)

C.DF=AFD.AB=BF

【答案】C

【分析】連接0小OB.AD,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出各個角的度數(shù)，結(jié)合平行線的判定方法，再逐個判

斷即可.

【詳解】?.?五邊形ABCDE是正五邊形,

Z.BAE=乙ABC=ZC=乙EDC=="㈤要。。=108O>BC=CDt

:?乙CBD=4DB=：x(180°-ZC)=36°,

???Z.ABD=108°-36°=72°,

...Z.EAB+Z.ABD=180°,

?.AEWBF,故A不符合題意:

乙F=Z.CDB=36°,

AAFWCD,故B不符合題意;

連接/I。，過點A作｛H1DF于點〃，則乙4HF==90。,

：,LADF=108°-36°-36°=36°=乙F,

.-.AD=AF,故C符合題意;

連接。小OB,

:./.AOB=*=72°,

vOA=OB,

Z-OAB=/.OBA=^(180°-72°)=54°,

???小力相切于。。,

Z.OAF=90°,

^FAB=90c_54c=36、

v/-ABD=72°,

.?.乙F=72°-36。=4F4B,

AB=BF,故D不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的判定等

知識點，能綜合運用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

27.（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，點尸是正六邊形48COEr內(nèi)一點,28=4,當(dāng)44P8=90。時,連

接PD,則線段PD的最小值是（）

B.2V13-2C.6D.4V3

【答案】B

【分析】取AZ?中點G,連接8。，過點。作C〃_L8。于〃，則8G=2,先求出8D=46，然后根據(jù)

NAPB=90。，得到點。在以G為圓心，4B為直徑的圓上運動，則當(dāng)。、P、G三點共線時，。。有最小

值，由此求解即可.

【詳解】解：取A8中點G,連接B。，過點C作C〃_L8O于〃，則8G=2,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

:.乙BCD==120°,CD=BC=AB=4,

6

:?BH=DH,Z.DCH=Z.BCH=zFCD=60°,

2

:?DH=CD-sinzDCW=2\/3,

:,BD=4后

NAP8=90。，

.,.點P在以G為圓心，AB為直徑的圓上運動，

???當(dāng)。、P、G三點共線時，DP有最小值,

在/?：△8DG中，DG=>JBG2+BD2=2g,

：.PD=DG-PG=2^13-2,

故選B.

【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓外一點到圓上一點的最值

問題，確定當(dāng)。、P、G三點共線時，有最小值是解題的關(guān)鍵.

28.（2022?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC,8。相交于點M,

則W的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得出NA3C,/BC。的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明8M=

CM,/.ABM=90。,設(shè)8M=a,則CM=a,則4M=2a,從而可得答案.

【詳解】解：:六邊形A8COEF是正六邊形，

/.ZBCD=ZABC=-(6-2)xl80°=12D°,AB=BC=CD,

6

:?/BAC=/ACB=/CBD=/CDB三(180°-120°)=30%

ACM=BM,NABM=90。,

設(shè)BM=a,則CM=a,

AM=2BM=2a,

AM_2a

CM_a_?

故答案為2.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角與外角以及等腰三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的

性質(zhì)等知識，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)健.

題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題

29.（2022?江蘇揚州?模擬預(yù)測）如圖，把正六邊形各邊按一定方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊

長相等，順次連接這六條線段外端點，可以得到一個新的正六邊形，.....，重復(fù)上述過程，經(jīng)過2018次

后，所得的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的（）

B.(O)2°i7倍C.(6)2°18倍D.(々)2019倍

【答案】C

【分析】先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出/I的度數(shù)，再根據(jù)AQ=CD=8C判斷出△A8C的形狀及N2的度數(shù),

求出4"的長.進(jìn)而可得出.經(jīng)過205次后,即可得出所得到的正六邊形的邊長.

【詳解】???此六邊形是正六邊形,

B

.*.Zl=180°-120°=60°,

'：AD=CD=BC,

???△BCQ為等邊三角形，

：.BD=^AC,

2

???△ABC是直角三角形

又,?,BC=/C,

???Z2=30°,

:.AB=WBC=WCD,

同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（6）2倍，

???經(jīng)過2018次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（0）20艮

故選：C.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形內(nèi)角的性質(zhì)及直角三角形的判定定

理，此題有一定的難度.

30.（2022?廣東湛江?校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形/WCDfiT的中心與原點

。重合，48||“軸，交y軸于點P.將aO/P繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點

【答案】（-百,1）

【分析】首先確定點A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個循環(huán)，推出經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后點的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：???正六邊形力8CDEF邊長為2,中心與原點O重合，A8||x軸，

：.AP=1,AO=2,WPA=90°,

：.OP=>/AO2-AP2=V3,

???第I次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（6,-1）,

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（一1,一百），

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（-國,1）,

第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（1,何），

???4次?個循環(huán)，

720234-4=505……3,

???第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（一百,1）.

故答案為：（―1）.

【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探

究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.

31.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDE/放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊A3在x軸

正半軸上，頂點尸在），軸正半軸上，將正六邊形AHCDE尸繞坐標(biāo)原點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，那么

經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)為（）

A.（一|,-V3）B.（'一爭C.（-V3,V3）D.（一京-1）

【答案】A

【分析】如圖，連接4。，BD.首先確定點。的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個循環(huán)，由2025+6=337…3,推出

經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點。的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的。3的坐標(biāo)相同，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接BD.

在正7〈邊形48coE尸中，AB=1,AD=2,乙480=90°,

:.BD=〃IP-442=V22-I2=小,

在RMAOF中，AF=1,Z.OAF=60°,

???Z-OFA=30°,

???OA=\AF=\

22

：.OB=OA+AB=l，

.?.嗎V3）,

???將正六邊形/BCDEF繞坐標(biāo)原點0順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，

??6次?個循環(huán)，

?.?2025+6=337…3,

???經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點。的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的。3的坐標(biāo)相同，

???”與。3關(guān)于原點對稱，

二。3（-5-V3）?

???經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點。的坐標(biāo)（一方-V3）,

故選：A.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律

的方法，屬于中考?？碱}型.

題型09求弧長

32.（2022?山東棗莊?統(tǒng)考三模）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm,若

/.ACB=60°,則劣弧48的長是（）

A.8ncmB.16ncmC.32ncmD.19如cm

【答案】B

【分析】先利用v形架與圓的關(guān)系求出/C+/A08=I80。，由/C=60。，可求/AOB=I20。，由OB=24cm,

利用弧長公式求即可.

【詳解】解：YAC與8C是圓的切線,

：.OA1AC,OB1CB,

NOAC=NOBC=90°,

ZC+NAO8=360。-ZOAC-ZOfiC=360o-90o-90°=l80°,

,:ZC=60",

ZAOA?=1800-60o=120°,

OB=24cm,

.120X7TX24」,

l=------------=167rcm.

A8180

故選擇B.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角和，弧長公式，掌握直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)

角和，弧長公式是解題關(guān)鍵.

33.（2023?甘肅天水?統(tǒng)考一模）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。?），點

。是這段弧所在圓的圓心，半徑。A=90m,圓心角〃。8=80。，則這段彎路（腦）的長度為（）

A.207rmB.307rmC.407rmD.507rm

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長公式，可以計算出這段彎路（和）的長度.

【詳解】解：???半徑OA=90m,圓心角乙408=80。，

.?.這段彎路（腦）的長度為：畔翟=40yr（m）,

180

故選C

【點睛】本題考查了弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長計算公式，=黑.

lol）

34.（2022?廣東中山?統(tǒng)考一模）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2,PA,P8分別與AM8所在圓相切于

點4B.若該圓半徑是9cm,ZP=40°,則4初8的長是（）

P

正面

圖1圖2

A.llzrcmB.^rrcmC.7?rcmD.grrcm

【答案】A

【分析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得￡P(guān)AO=4P8O=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得N4。/7的角度，進(jìn)而可

得AM8所對的圓心角，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可求解.

圖2

VPA,P8分別與4河8所在圓相切于點4,B.

Z.PA0=乙PB0=90°,

vZP=40°,

二Z.A0B=360°-90°-90°-40°=140°,

??,該圓半徑是9cm,

360-140

7TX9=llTrcm,

180

故選:A.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長，牢記弧長公式是解題的關(guān)鋌.

35.（2023?湖北武漢??？家荒＃┠撤鹿艍ι显幸粋€矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧

所在的圓外接于矩形，如圖.已知矩形的寬為2m,高為26m,則改建后門洞的圓弧長是（）

A.ymB.ymC.竽mD.償+2）m

【答案】C

【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門洞的直徑8C,再利用矩形的性質(zhì)證得AC。。是等邊三角形，得到

“OD=60%進(jìn)而求得門洞的圓弧所對的圓心角為360?！?0。=300°,利用弧長公式即可求解.

【詳解】如圖，連接AD，BC,交于。點，

,：z.BDC=90°，

???8C是直徑，

：.BC=y/CD2+BD2=J22+(2?=4,

?.?四邊形48DC是矩形，

：.OC=OD=-BC=2,

2

'：CD=2,

：.OC=OD=CD,

??.△COD是等邊三角形，

：.Z.COD=60°,

???門洞的圓弧所對的圓心角為360。-60°=300°，

r,”，L?300°7rx：BC3OO°〃X：X4in

...改建后口洞的圓弧長是——f—=—=—冗8】），

1oUloUJ

故選:c

【點睛】本題考查了弧長公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)

鍵.

36.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，點A,B,C,。在半徑為5的0。上，連接AB,BC,CD,AD.若

乙ABC=108°,則劣弧4C的長為.

【答案】47r

【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求出乙。的度數(shù)，再利用圓周用定理求出N40C的度數(shù)，最后利用

弧長公式求解即可.

【詳解】解：:四邊形4BC。是圓內(nèi)接四邊形，/-ABC=108%

：.z.D=180°-Z/IFC=72°,

：.LA0C=2zD=144°,

???劣弧4C的長為筆至=4幾.

180

故答案為：47r.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，熟練運用這些知識是解題的關(guān)鍵.

37.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考二模）如圖是放下水平桌面上的魚缸，其主體部分的軸截面是圓心為。的弓

形AM8,與桌面C。相切于點M,開口部分48與桌面C。平行，測得開口部分48=40cm,MB=

20逐cm.（參考數(shù)據(jù)：tan26.5°?sin30°=1）

A___________B

CMD

(1)求弓形的半徑:

(2)求優(yōu)弧4河8的長.

【答案】⑴25

【分析】(1)連接M0并延長M。交48與點N,根據(jù)垂徑定理可得4/V=8N=20,在RtZkBMN中，BM2=

BN2+MN2,勾股定理即可求得MN,設(shè)。。半徑為r,則OB=OM=r,ON=40-r,在Rt/kONB中，

RO2=ON2+BN2,即可求解；

⑵連接40、80,根據(jù)正切的定義以及已知條件得到乙8MN=26.5。，進(jìn)而求得4加8所對的圓心角度

數(shù)，根據(jù)弧長公式即可求解?.

【詳解】(1)連接M。并延長M。交48與點N

由題意知，MO1CD,

:.N0MC=90。，

XvAB\\CD,

:.Z.BNO=Z.OMC=90°,

即NO1AB