中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題19以翻折旋轉(zhuǎn)為背景的幾何類比探究壓軸問題（原卷版）

壓軸題19以翻折旋轉(zhuǎn)為背景的幾何類比探究壓軸問題例1．（2023?海安市一模）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，點E是線段BO上一點（不含端點），將△ABE沿AE翻折，AB的對應(yīng)邊AB′與BD相交于點F．（1）當(dāng)∠BAE＝15°時，求EF的長；（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的長；（3）若EF＝k?BE，求k的取值范圍．?例2．（2023?鐵西區(qū)模擬）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE．（1）如圖①將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BD與CE總保持相等的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（2）如圖②，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝8，AD＝4，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，點P為射線BD與CE的交點，當(dāng)E在BA延長線上時，求線段CP的長度（只求圖中的情況）；（3）在（2）的條件下，在旋轉(zhuǎn)過程中，點P為射線BD與射線CE的交點，當(dāng)四邊形ADPE為正方形時，直接寫出線段PB長度的值．例3．（2023?南陽一模）在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．問題情景：在矩形ABCD中，點E為AD邊上一動點，點F為BC邊上一點，連接EF，將四邊形CDEF沿EF折疊，點C、D分別落在點C'、D'處，設(shè)∠EFC＝α．（1）如圖1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，點F為BC的中點，延長D'C'交AB于點P．則PC'與PB的數(shù)量關(guān)系是，寫出圖中一個30°的角：；（2）如圖2，若點F為BC的中點，AD＝2AB，45°＜α＜90°，延長D'C'交AB于點P．求PC'與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，連接C'E，當(dāng)點E為AD的三等分點時，直接寫出EFC'E例4．（2023?沈河區(qū)校級模擬）如圖1，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC＝AD，AF⊥CD于點F，交BD于點E，∠ABD＝2∠BDC．（1）判斷線段AE與BC的關(guān)系，并說明理由；（2）若∠BDC＝30°，求∠ACD的度數(shù)；（3）如圖2，在（2）的條件下，線段BD與AC交于點O，點G是△BCE內(nèi)一點，∠CGE＝90°，GE＝3，將△CGE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△CMH，E點對應(yīng)點為M，G點的對應(yīng)點為H，且點O，G，H在一條直線上直接寫出OG+OH的值．

1．（2023?襄都區(qū)校級一模）已知點M，N是直線l上自左向右的兩點，且MN＝8，點P是MN的中點，點Q是直線l上一點（不與點M，N重合），直線m經(jīng)過點Q，MA⊥直線m于點A，NB⊥直線m于點B，連接PA，PB．（1）如圖1，當(dāng)點Q在點P，N之間時，求證：PA＝PB；（2）如圖2，當(dāng)點Q在點N的右側(cè)時，若PN＝2NQ，且∠AQM＝30°，求AB和AP的長度．2．（2023?齊齊哈爾一模）綜合與實踐．旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決實際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究：如圖1，△ABC和△DMN均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠MDN＝90°，點D為BC中點，△DMN繞點D旋轉(zhuǎn)，連接AM、CN．觀察猜想：（1）在△DMN旋轉(zhuǎn)過程中，AM與CN的數(shù)量關(guān)系為；實踐發(fā)現(xiàn)：（2）當(dāng)點M、N在△ABC內(nèi)且C、M、N三點共線時，如圖2，求證：CM?AM=2拓展延伸：（3）當(dāng)點M、N在△ABC外且C、M、N三點共線時，如圖3，探究AM、CM、DM之間的數(shù)量關(guān)系是；解決問題：（4）若△ABC中，AB=5，在△DMN旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=2且C、M、N三點共線時，DM＝3．（2023?長安區(qū)一模）問題提出：（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AO是它的一條中線，則∠COA與∠B的數(shù)量關(guān)系是：∠COA＝∠B；（2）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，CG⊥AB于點G，BH⊥AC于點H，O為BC邊上一點，且OG＝OB，連接GH，求GH的長；問題解決：（3）某次施工中，工人師傅需要畫一個20°的角，但他手里只有一把帶刻度的直角尺，工程監(jiān)理給出了下面簡易的作圖方法：①畫線段OB＝15cm，再過它的中點C作m⊥OB；②利用刻度尺在m上尋找點A，使得OA＝15cm，再過點A作l∥OB；③利用刻度尺過點O作射線，將射線與AC和l的交點分別記為點F、E，調(diào)節(jié)刻度尺使FE＝□cm時（“□”內(nèi)的數(shù)字被汗?jié)n侵蝕無法看清），則∠EOB＝20°；你認(rèn)為監(jiān)理給的方法可行嗎？如果可行，請寫出“□”內(nèi)的數(shù)字，并說明理由；如果不可行，請給出可行的方案．4．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，BA=10，BC＝3，tanB＝3，點D為邊BC的中點．動點P從點B出發(fā)，沿折線BA﹣AC向點C運動，在BA、AC上的速度分別為每秒10個單位長度和每秒13個單位長度．連結(jié)AD、PD，設(shè)點P的運動時間為t秒（t（1）線段AC的長為；（2）用含t的代數(shù)式表示線段AP的長；（3）當(dāng)∠APD為鈍角時，求t的取值范圍；（4）做點B關(guān)于直線PD的對稱點B′，連結(jié)B′D，當(dāng)B′D⊥BC時，直接寫出t的值．5．（2023?鹽田區(qū)二模）操作：如圖1，點E在矩形ABCD邊CD上，沿AE折疊，點D恰落在BC邊上D'處．再將圖1對折，使點E與點A重合，得多邊形AC′FBNM（圖2），點C的對應(yīng)點為點C′．思考：若AB＝6，AD＝10．（1）求圖1中CE的長；（2）求證：△AC'F≌△ECD'．探究：若用一張A4(AD=2AB)紙進(jìn)行上述操作，判斷C'F與6．（2023?白塔區(qū)校級一模）已知，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點D在射線CB上，連接DA，將線段DA繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到DE，過點E作EM⊥BC交直線BC于點M，連接AE，CE．（1）如圖①，若點D在線段CB上（且不與點C、點B重合）時，求證：①MC＝BD；②∠ACE＝90°（2）延長AD與直線CE相交于點N，①當(dāng)點D在線段CB上（且不與點C、點B重合）時，如圖②所示，若AD平分∠BAC，CD=2ME，且AB=2+22②當(dāng)點D在射線CB上（且不與點C、點B重合）時，若CENE=37．（2023?天寧區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，2），點B在x軸正半軸上，點C在第一象限內(nèi)．（1）如圖1，OB＝4．①若△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，且tan∠BAC＝2．請在圖（1）中利用圓規(guī)、無刻度直尺作出點C的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），寫出點C的坐標(biāo)：；②若△ABC是等邊三角形．求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，點C在以P（33，6）為圓心，半徑為r的圓上．若存在兩個△ABC滿足條件，求r的取值范圍．8．（2023?長春一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA=35．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向終點B勻速運動，過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點D，連結(jié)BD，將△DBP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF．設(shè)點P的運動時間為（1）AC＝．（2）用含t的代數(shù)式表示線段PD的長．（3）當(dāng)點E落在AB邊上時，求t的值．（4）當(dāng)△DEF與△ABC重疊部分為三角形時，直接寫出t的取值范圍．9．（2023?市中區(qū)一模）（1）①如圖1，等腰△ABC（BC為底）與等腰△ADE（DE為底），∠BAC＝∠DAE，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為；②如圖2，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，則sin∠DAC＝；（2）如圖3，在（1）②的條件下，點E在線段CD上運動，將AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，使∠EAF＝∠DAC，連接CF．當(dāng)AE＝32時，求CF的長度；（3）如圖4，矩形ABCD中，若AB＝23，AD＝6，點E在線段CD上運動，將AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連結(jié)CF，AE的中點為G，CF的中點為H，若GH=13，直接寫出DE10．（2023?武漢模擬）問題提出：如圖，△ABC為等邊三角形，D為CB的延長線上一點，∠DAE＝∠DEA，探究BD與EC的數(shù)量關(guān)系．問題探究：（1）現(xiàn)將問題特殊化，如圖2，當(dāng)E為AC的中點，DM⊥AC于點M，探究DB與EC的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（2）再探究一般情形，如圖1，（1）中的結(jié)論還成立嗎？問題拓展：（3）如圖3，若AE＝nEC，AB與DE交于點F，直接寫出tan∠DFB的值（用含n的式子表示）．11．（2023?二道區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，sinC=45．點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向終點B勻速運動，點Q為線段BP的中點．點D與點C在PQ的同側(cè)，且∠DPQ＝90°，∠DQP＝∠C．設(shè)點P的運動時間為（1）線段PQ的長為（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點D落在AC邊上時，求PD的長；（3）當(dāng)△DPQ與△ABC重疊部分是軸對稱圖形時，求t的值；（4）當(dāng)點D到△ABC任意兩邊距離相等時，直接寫出t的值．12．（2023?惠水縣一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝7，BC＝10．點P是BC邊上的一點，連接AP，以AP為對稱軸作△ABP的軸對稱圖形△AQP．（1）動手操作當(dāng)點Q正好落在AD邊上時，在圖①中畫出△ABP的軸對稱圖形△AQP，并判斷四邊形ABPQ的形狀是；（2）問題解決如圖②，當(dāng)點P是線段BC中點，且CQ＝2時，求AP的長；（3）拓展探究如圖③，當(dāng)點P、Q、D在同一直線上，且∠PQC＝∠PQA時，求PQ的長．13．（2023?青山湖區(qū)模擬）●問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC和△DEF都是等邊三角形，邊BC和EF在同一直線上，O是邊BC的中點，BE＝CF，連接AD，則下列結(jié)論正確的是．（填序號即可）①OE＝OF；②AD＝BE；③AD⊥BE；④整個圖形是軸對稱圖形．●數(shù)學(xué)思考將圖1中的△DEF繞著點O旋轉(zhuǎn)，△ABC不動，連接AD和BE，如圖2，則AD和BE具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；●拓展應(yīng)用已知AB＝8cm，DE＝4cm，在圖1中的△DEF繞著點O旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)BE⊥DF時，求線段AD的長度．#ZZA014．（2023?蘇州一模）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是AB上一動點，連接CD，以CD為邊向CD的右側(cè)作等邊三角形CDE，連接AE．（1）【嘗試初探】如圖1，當(dāng)點D在線段AB上運動時，AC，DE相交于點F，在運動過程中發(fā)現(xiàn)有兩個三角形始終保持全等，請你找出這對全等三角形，并說明理由．（2）【深入探究】如圖2，當(dāng)點D在線段AB上運動時，延長ED，交CB的延長線于點H，隨著D點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)AD＝2BD時，求tan∠DHC的值．（3）【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點D在BA的延長線上運動時，CD，AE相交于點F，設(shè)△ADF的面積為S1，△CEF的面積為S2，當(dāng)S2＝4S1時，求BD的長．15．（2023?海淀區(qū)模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到線段CD，連接AD，過點C作CE⊥AD于點E，連接BD交CA，CE于點F，G．（1）當(dāng)α＝60°時，如圖1，依題意補全圖形，直接寫出∠BGC的大??；（2）當(dāng)α≠60°時，如圖2，試判斷線段BG與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若F為AC的中點，直接寫出AD的長．16．（2023?鄲城縣一模）綜合與實踐：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，F(xiàn)為AD邊上一點，連接CE、CF，分別將△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，點D、B的對應(yīng)點分別為點G、H，且C、H、G三點共線．（1）如圖1，若F為AD邊的中點，AB＝BC＝6，點G與點H重合，則∠ECF＝°，BE＝；（2）如圖2，若F為AD的中點，CG平分∠ECF，AB=2+1，BC＝2，求∠ECF的度數(shù)及（3）AB＝5，AD＝3，若F為AD的三等分點，請直接寫出BE的長．17．（2023?翼城縣一模）綜合與實踐問題解決：（1）已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，四邊形CDEF是正方形，H為BF所在的直線與AD的交點．如圖1，當(dāng)點F在AC上時，請判斷BF和AD的關(guān)系，并說明理由．問題探究：（2）如圖2，將正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D在直線AC右側(cè)時，求證：BH﹣AH=2CH問題拓展：（3）將正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)∠ADC＝45°時，若AC＝3，CD＝1，請直接寫出線段AH的長．18．（2023?臨朐縣一模）九年級一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)探究活動．操作探究：（1）如圖1，△OAB為等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，將△OAB繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF，則∠BAE＝