中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專題18 解答題壓軸題閱讀理解探究題型（原卷版）

專題18解答題壓軸題閱讀理解探究題型（原卷版）專題詮釋：閱讀理解探究題型以能力立意為目標(biāo)綜合考核數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，這類題目往往考核學(xué)生的閱讀能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、表達(dá)能力、知識遷移能力。綜合性強(qiáng)，靈活性高，又具有較強(qiáng)的區(qū)分度。近年來，閱讀理解探究性題型頻頻出現(xiàn)在全國各地的中考試題中。本專輯精選2022中考真題，題目仍然偏多，想刪去一些，但又感覺每道題都具有特點(diǎn)，都很好。所以還請讀者自己根據(jù)自己的情況選擇使用。模塊一2022中考真題鏈接類型一圖形的性質(zhì)1．（2022?淮安）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A'B'ED，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'．【觀察發(fā)現(xiàn)】A'D與B'E的位置關(guān)系是；【思考表達(dá)】（1）連接B'C，判斷∠DEC與∠B'CE是否相等，并說明理由；（2）如圖（2），延長DC交A'B'于點(diǎn)G，連接EG，請?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B＝60°時，連接B'C，延長DC交A'B'于點(diǎn)G，連接EG，請寫出B'C、EG、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2．（2022?襄陽）矩形ABCD中，ABBC=k2（k＞1），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線【特例證明】（1）如圖（1），當(dāng)k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補(bǔ)充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3=12∠DCG＝45∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）【類比探究】（2）如圖（2），當(dāng)k≠2時，求AEEF的值（用含k【拓展運(yùn)用】（3）如圖（3），當(dāng)k＝3時，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC

3．（2022?寧夏）綜合與實(shí)踐知識再現(xiàn)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以BC、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為S1、S2、S3．當(dāng)S1＝36，S3＝100時，S2＝．問題探究如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如圖2，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖3，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S5、S6，試猜想S4、S5、S6之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實(shí)踐應(yīng)用（1）如圖4，將圖3中的△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△BGH，△ACE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△AMN，GH、MN相交于點(diǎn)P．求證：S△PHN＝S四邊形PMFG；（2）如圖5，分別以圖3中Rt△ABC的邊BC、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為V1、V2、V3．若AB＝4，柱體的高h(yuǎn)＝8，直接寫出V1+V2的值．

4．（2022?朝陽）【思維探究】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．小明的思路是：延長CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．【思維延伸】（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【思維拓展】（3）在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD=6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD

5．（2022?蘭州）綜合與實(shí)踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎（wèi）范、芯組成的鑄型（如圖1），它的端面是圓形．如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB＝AC，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)O，即O為圓心．問題解決：（1）請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）拓展探究：（3）小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時存在誤差，用平時學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是⊙O上任意三點(diǎn)，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：．

6．（2022?蘭州）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；【思考嘗試】（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問題．【實(shí)踐探究】（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．

7．（2022?大連）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長CA至點(diǎn)E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”8．（2022?深圳）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點(diǎn)．求證：△BFG≌△BCG；（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點(diǎn)，延長BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點(diǎn)P，求PC的長．9．（2022?貴陽）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗(yàn)，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點(diǎn)M在AD邊上，且BA＝BM，點(diǎn)E是線段AM上任意一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△（1）問題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則AMAN=（2）問題探究：如圖②，當(dāng)∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；（3）拓展延伸：當(dāng)∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．

10．（2022?遵義）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝22，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．

11．（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系為；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，直線n分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長為8，求四邊形OEAG的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，頂點(diǎn)E在BC的延長線上，且BC＝6，CE＝2．在直線BE上是否存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長度；若不存在，說明理由．

12．（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．

13．（2022?威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．14．（2022?河南）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，∠MBQ＝°，∠CBQ＝°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．15．（2022?武漢）問題提出如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DB，延長ED交AB于點(diǎn)F，探究AFAB問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC＝60°時，直接寫出AFAB（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，CGBC=1n（n＜2），延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DG，延長ED交AB于點(diǎn)F．直接寫出

16．（2022?岳陽）如圖，△ABC和△DBE的頂點(diǎn)B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AB，BC上時，可以得出結(jié)論：ADCE=，直線AD與直線CE的位置關(guān)系是（2）探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α（19°＜α＜60°），連接AD、EC，它們的延長線交于點(diǎn)F，當(dāng)DF＝BE時，求tan（60°﹣α）的值．

17．（2022?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、M均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC=1在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因?yàn)椤螦CP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展應(yīng)用】（1）如圖②是以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=（2）如圖③是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P．使AM2＝AP?AB，寫出作法，不用證明．

18．（2022?蘇州）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，DE∥AC，交BC于點(diǎn)E．①若DE＝1，BD=32，求②試探究ABAD（2）如圖2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2個外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延長線于點(diǎn)D，DE∥AC，交CB的延長線于點(diǎn)E．記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，△BDE的面積為S3．若S1?S3=916S22，求cos∠19．（2022?湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B、C分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）特例體驗(yàn)：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC=2，分別求出線段BD、CE和DE（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點(diǎn)H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

20．（2022?陜西）問題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為．問題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過點(diǎn)A作AP∥BC，且AP＝BC，過點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．請問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論．

21．（2022?樂山）華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求證：CE＝DF．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．∴∠BCE+∠DCE＝90°，∵CE⊥DF，∴∠COD＝90°．∴∠CDF+∠DCE＝90°．∴∠CDF＝∠BCE，∴△CBE≌△DFC．∴CE＝DF．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進(jìn)一步探究．【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．試猜想EGFH【知識遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．則EGFH=【拓展應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且CE⊥BF．求CEBF

22．（2022?泰安）問題探究（1）在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線．①若∠A＝60°，AB＝AC，如圖1，試證明BC＝CD+BE；②將①中的條件“AB＝AC”去掉，其他條件不變，如圖2，問①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．遷移運(yùn)用（2）若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如圖3，試探究線段AD，BC，AC之間的等量關(guān)系，并證明．類型二圖形的變化23．（2022?煙臺）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出BDCE【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC=ADDE=（1）求BDCE（2）延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．

24．（2022?連云港）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時，延長DE交BC于點(diǎn)F，求BF的長．（2）若點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線BC的距離．（3）連接DC，取DC的中點(diǎn)G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長．（4）如圖4，G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值是．

25．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點(diǎn)E是AD邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點(diǎn)H．【嘗試初探】（1）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．【深入探究】（2）若n＝2，隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點(diǎn)時，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．

26．（2022?濟(jì)寧）知識再現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵sinA=ac，sinB∴c=asinA，c∴asinA拓展探究如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄縜sinA，bsinB，解決問題如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．類型三函數(shù)27．（2022?阜新）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進(jìn)行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)”的探究過程，請補(bǔ)充完整．（1）如圖1，將一次函數(shù)y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當(dāng)于將它向右平移了個單位長度；（2）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）平移了個單位長度；（3）綜上，對于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時）或?qū)⑺颍ㄌ睢白蟆被颉坝摇保╧＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式．28．（2022?襄陽）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請畫出函數(shù)y=6|x|?（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)請寫出函數(shù)y=6|x|?|x（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程6|x|?|x|＝5的解②寫出不等式6|x|?|x|≤1的解集

29．（2022?濰坊）為落實(shí)“雙減”，老師布置了一項這樣的課后作業(yè)：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1），且不經(jīng)過第一象限，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)表達(dá)式．【觀察發(fā)現(xiàn)】請完成作業(yè)，并在直角坐標(biāo)系中畫出大致圖象．【思考交流】小亮說：“滿足條件的函數(shù)圖象的對稱軸一定在y軸的左側(cè)．”小瑩說：“滿足條件的函數(shù)圖象一定在x軸的下方．”你認(rèn)同他們的說法嗎？若不認(rèn)同，請舉例說明．【概括表達(dá)】小博士認(rèn)為這個作業(yè)的答案太多，老師不方便批閱，于是探究了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系，得出了提高老師作業(yè)批閱效率的方法．請你探究這個方法，寫出探究過程．

30．（2022?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，14a）的距離MF，始終等于它到定直線l：y=?14a的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y=?14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，例如：拋物線y=12x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，12），準(zhǔn)線方程為l：y=?12．其中MF＝MN【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，．【技能訓(xùn)練】（2）如圖2所示，已知拋物線y=18x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)【能力提升】（3）如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升華】（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：ACAB=BCAC=5?12．后人把5?1如圖4所示，拋物線y=14x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)MHMF=

31．（2022?荊州）小華同學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)知識后，對函數(shù)y=4x…﹣4﹣3﹣2﹣1?3?1?101234…y4﹣2?4﹣1…請根據(jù)圖象解答：（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：；；②若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）滿足x1+x2＝0，則y1+y2＝0一定成立嗎？．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如圖2，將過A（﹣1，4），B（4，﹣1）兩點(diǎn)的直線向下平移n個單位長度后，得到直線l與函數(shù)y=?4x（x≤﹣1）的圖象交于點(diǎn)P，連接PA，①求當(dāng)n＝3時，直線l的解析式和△PAB的面積；②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積．

模塊二2023中考押題預(yù)測32．（2023?廬陽區(qū)校級一模）【問題提出】如圖1，AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對的優(yōu)弧上運(yùn)動時，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，那么點(diǎn)C是不是在某個確定的圓上運(yùn)動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若AB＝4，線段AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB＝45°，為了畫出點(diǎn)C所在的圓，小芳以AB為底邊構(gòu)造了一個Rt△AOB，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結(jié)論．即：若線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，則點(diǎn)C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】（1）若AB＝6，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB＝60°，若點(diǎn)C所在圓的圓心為O，則∠AOB＝，劣弧AB的長為．（2）如圖3，已知正方形ABCD以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△ABE，其中AB＝AE，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是△AEF的內(nèi)心．①求∠BPE的度數(shù)；②連接CP，若正方形ABCD的邊長為4，求CP的最小值．

33．（2023?徐州一模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷：操作一：如圖1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：如圖1，在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：（寫一個即可）．（2）遷移探究：小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，∠MBQ＝°，∠CBQ＝°；②如圖3，改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為10cm，當(dāng)FQ＝3cm時，直接寫出AP的長．

34．（2023?殷都區(qū)一模）九年級一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)探究活動．操作探究：（1）如圖1，△OAB為等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，將△OAB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接OF，則∠BAE＝°，OF與DE的數(shù)量關(guān)系是；遷移探究：（2）如圖2，（1）中的其他條件不變，當(dāng)△OAB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D正好落在∠AOB的角平