中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專題44 中考解答題最常考題型解直角三角形的應(yīng)用（解析版）

專題44中考解答題最?？碱}型解直角三角形的應(yīng)用（解析版）模塊一中考真題集訓(xùn)類型一坡度坡角問(wèn)題1．（2022?菏澤）菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來(lái)的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈思路引領(lǐng)：在△ABC中求出BC以及AC的長(zhǎng)度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．解：由題意得，在△ABC中，∵∠ABC＝37°，AB＝8米，∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），BC＝AB?cos37°＝6.4（米），在Rt△ACD中，CD=AC則BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．答：改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BD的長(zhǎng)為1.9米．總結(jié)提升：本題考查了坡度和坡角的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．2．（2022?郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2＝1：3，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73．結(jié)果精確到0.1思路引領(lǐng)：在Rt△BCD中，根據(jù)BC的坡度為i1＝1：1，可求出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，根據(jù)AC的坡度為i2＝1：3，可求出AD的長(zhǎng)，然后利用AB＝AD﹣BD，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度為i1＝1：1，∴CDBD∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度為i2＝1：3，∴CDAD∴AD=3CD＝203∴AB＝AD﹣BD＝203?20≈∴背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握坡度是解題的關(guān)鍵．3．（2022?長(zhǎng)沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求解；（2）在△ACD中，根據(jù)∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，從而得出AC的長(zhǎng)．解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，∴BD=12BA＝10（答：該斜坡的高度BD為10m；（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，∴∠CBA＝15°，∴AB＝AC＝20（m），答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．總結(jié)提升：本題主要考查坡度坡角的定義及解直角三角形，得到AB＝AC是解題的關(guān)鍵．4．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長(zhǎng)3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°=BC解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，sin∠BAC＝sin75°=BC解得BC≈2.9．答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022?株洲）如圖（Ⅰ）所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再?gòu)狞c(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處．如圖（Ⅱ）所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN=2（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過(guò)的路程．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)坡度的概念求出∠BCN＝45°，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，進(jìn)而得到答案．解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，∴CN＝BN，∴∠BCN＝45°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，∴AC＝2AM＝1.2千米，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN=2則BC=CN∴該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過(guò)的路程為：1.2+2＝3.2（千米），答：該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過(guò)的路程為3.2千米．總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．類型二俯角仰角問(wèn)題6．（2022?涼山州）去年，我國(guó)南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行處理，在B處測(cè)得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．思路引領(lǐng)：根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以分別求得AD、CD和BC長(zhǎng)，然后將它們相加，即可得到壓折前該輸電鐵塔的高度．解：由已知可得，BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AD＝8米，∴BD=AB2∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，∴∠C＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝83米，∴BC=CD2∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+83+86答：壓折前該輸電鐵塔的高度是（8+83+86總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AD、CD和BC長(zhǎng)．7．（2022?陜西）端午假期，小明和小昊與家人到一山莊度假．閑暇時(shí)，他們想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量所住樓前小河的寬．如圖所示，他們先在六層房間窗臺(tái)點(diǎn)F處，測(cè)得河岸點(diǎn)A處的俯角∠1的度數(shù)，然后來(lái)到四層房間窗臺(tái)點(diǎn)E處，測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)B處的俯角∠2的度數(shù)（AB與河岸垂直），并且發(fā)現(xiàn)∠1與∠2正好互余．其中O，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上，O，A，B三點(diǎn)在同一直線上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河寬AB．思路引領(lǐng)：根據(jù)∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有1516=OB21.6，求出解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，∴∠FAO+∠EBO＝90°，∵OF⊥OA，∴∠O＝90°，∴∠FAO+∠AFO＝90°，∴∠EBO＝∠AFO，∵∠O＝∠O，∴△EBO∽△AFO，∴OEOA∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，∴1516解得OB＝20.25，∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），答：河寬AB為4.25米．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣俯角問(wèn)題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，證明△EBO∽△AFO．8．（2022?鋼城區(qū)）如圖，某數(shù)學(xué)研究小組測(cè)量山體AC的高度，在點(diǎn)B處測(cè)得山體A的仰角為45°，沿BC方向前行20m至點(diǎn)D處，斜坡DE的坡度為1：2，在觀景臺(tái)E處測(cè)得山頂A的仰角為58°，且點(diǎn)E到水平地面BC的垂直距離EF為10m．點(diǎn)B，D，C在一條直線上，AB，AE，AC在同一豎直平面內(nèi)．（1）求斜坡DE的水平寬度DF的長(zhǎng)；（2）求山體AC的高度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，2≈1.41思路引領(lǐng)：（1）由斜坡DE的坡度EFDF=1（2）作EH⊥AC，知四邊形EFCH為矩形，設(shè)EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH?tan58°≈1.60x（m），繼而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根據(jù)AC＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，進(jìn)一步求解可得答案．解：（1）∵斜坡DE的坡度EFDF=12，∴10DF∴DF＝20．即斜坡DE的水平寬度DF長(zhǎng)為20米．（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，則四邊形EFCH為矩形，∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，設(shè)EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH?tan∠AEH＝EH?tan58°≈1.60x（m），∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，解得x＝50，∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山體AC的高度為90米．總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ=34，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根據(jù)已知可設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出DE，CE的長(zhǎng)，再設(shè)BF＝y(tǒng)米，從而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長(zhǎng)，從而求出AC的長(zhǎng)，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ=DE設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設(shè)BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF=BFtan30°∴AE＝DF=3y∴AC＝AE﹣CE＝（3y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°=AB解得：y＝6+83，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝6+83是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+83≈∴建筑物的高度AB約為31.9米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα=45．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：3≈思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△DCE中，可得CE=CD?cosα=15×45=12（m（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°=AFDF=xDF=33，解得DF=3x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（3x﹣解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵在Rt△DCE中，cosα=45，CD＝15∴CE=CD?cosα=15×45=12∴DE=CD2答：C，D兩點(diǎn)的高度差為9m．（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，由題意可得BF＝DE，DF＝BE，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°=AF解得DF=3x在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（3x﹣12）m，tan60°=AB解得x=63經(jīng)檢驗(yàn)，x=63∴AB=63+92+答：居民樓的高度AB約為24m．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022?襄陽(yáng)）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度．無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無(wú)人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）思路引領(lǐng)：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，則BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18，由解：由題意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°=CD解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度約為28m．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：3≈思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長(zhǎng)，從而求出DG的長(zhǎng)，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG=AGtan45°=x∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°=AG∴x＝43+經(jīng)檢驗(yàn)：x＝43+∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022?鞍山）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長(zhǎng)為8m的勵(lì)志條幅（即GF＝8m）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端F到地面的距離，他的測(cè)量過(guò)程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓條幅方向前行12m到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線上），在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）思路引領(lǐng)：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長(zhǎng)，從而求出GH的長(zhǎng)，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，由題意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，設(shè)CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH?tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°=GH解得：x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度約為5.7米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022?安順）隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測(cè)得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．由勾股定理可求出答案；（2）設(shè)DF＝4a米，則ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DF，進(jìn)而求出AB．解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．由題意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）設(shè)DF＝4a米，則MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF=AF∴43∴解得a=15∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a=45∴AB＝AF﹣BF＝40?45答：基站塔AB的高為352總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計(jì)算是常用的方法．15．（2022?大連）如圖，蓮花山是大連著名的景點(diǎn)之一．游客可以從山底乘坐索道車到達(dá)山頂，索道車運(yùn)行的速度是1米/秒．小明要測(cè)量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測(cè)得白塔底部B的仰角約為30°，測(cè)得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間約為5分鐘．（1）索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為300米；（2）請(qǐng)你利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1）由題意得：5分鐘＝300秒，∴1×300＝300（米），∴索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為300米，故答案為：300；（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD=12AD=3BD＝1503在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AD?tan37°≈1503×0.75≈∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），∴白塔BC的高度約為45米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．類型三方向角問(wèn)題16．（2022?資陽(yáng)）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)1003米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；（2）求隧道AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長(zhǎng)．解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴AD=DC×tan∠ACD=1003答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米．（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB是東西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×2在Rt△BDE中，∴BE=DE×tan∠BDE=1502∴AB=AE+BE=(1502答：隧道AB的長(zhǎng)為(1502總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．思路引領(lǐng)：過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．解：過(guò)B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2022?丹東）如圖，我國(guó)某海域有A，B，C三個(gè)港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號(hào)）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點(diǎn)D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長(zhǎng)，從而求出AE的長(zhǎng)，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，由題意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB?sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD=AE∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時(shí)貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，2≈思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，根據(jù)題意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長(zhǎng)，再在Rt△BDC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，由題意得：∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100海里，∴AD＝AB?cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），BD＝AB?sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），在Rt△BDC中，CD=BD∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），∴此時(shí)貨輪與A港口的距離約為141海里．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（2022?邵陽(yáng)）如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問(wèn)這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說(shuō)明理由．（提示：2≈1.414，3思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函數(shù)值求得CD的長(zhǎng)度，從而根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算作出判斷．解：安全，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CD垂直AB，由題意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，在Rt△CBD中，設(shè)CD＝BD＝xkm，則AD＝（x+30）km，在Rt△ACD中，tan30°=CD∴CDAD∴xx+30解得：x＝153+15≈所以，這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)添加輔助線構(gòu)建直角三角形，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．類型四解直角三角形問(wèn)題21．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）求OD長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長(zhǎng)．解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE∴AE5=0.60，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF=45?25=25∴OD＝25≈4.5m總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2022?青海）隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，科學(xué)幻想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)．如圖1是我國(guó)自主研發(fā)的某型號(hào)隱形戰(zhàn)斗機(jī)模型，全動(dòng)型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機(jī)亮點(diǎn)之一．圖2是垂尾模型的軸切面，并通過(guò)垂尾模型的外圍測(cè)得如下數(shù)據(jù)，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面積．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3思路引領(lǐng)：通過(guò)作垂線，構(gòu)造矩形和直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，可求出BE、CE、DF、AF，進(jìn)而求出AB，利用梯形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于F，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于E，∵AB∥CD，∴四邊形AECF是矩形，∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE=12BC＝4，CE=32∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AF＝CE＝43，由于FC＝AE，即43+2＝AB∴AB＝43?∴S梯形ABCD=12（2+43?2）×答：垂尾模型ABCD的面積為24．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造矩形、直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．（2022?通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，3≈思路引領(lǐng)：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C、D分別作BE的平行線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM=3CM＝143（m∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣143≈10.2（m），答：AB的長(zhǎng)約為10.2m．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．24．（2022?張家界）閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：asinA證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則：在Rt△BCD中，CD＝asinB在Rt△ACD中，CD＝bsinA∴asinB＝bsinA∴a根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：（1）如圖2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：bsinB（2）為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題目提供的方法進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，直接進(jìn)行計(jì)算即可．（1）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AD＝csinB，在Rt△ACD中，AD＝bsinC，∴csinB＝bsinC，∴bsinB（2）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°，在Rt△ACE中，AE＝AC?sin60°＝80×32=403又∵ACsinB即800.8∴BC＝90m，∴S△ABC=12×90×403=1800總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的前提．模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)25．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娛樂(lè)休閑、鍛煉身體的方式之一，如圖，某個(gè)周末小張同學(xué)從大蜀山西坡沿坡角為37°的山坡爬了280米，到達(dá)點(diǎn)E處，緊接著沿坡角為45°的山坡又爬了160米，到達(dá)山頂A處；請(qǐng)你計(jì)算大蜀山的高度．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根據(jù)正弦的定義可以分別求出AF和EG的長(zhǎng)，然后結(jié)合矩形的對(duì)邊相等即可得到答案．解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，則四邊形EGDF為矩形，∴EG＝FD，在Rt△AEF中，sin∠AEF=AF則AF=AE?sin∠AEF=160×2在Rt△EBG中，sinB=EG則EG＝BE?sinB≈280×0.6＝168（米），∴AD＝AF+EG＝113.12+168＝281.12≈281（米），答：大蜀山的高度約為281米．總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用中的坡度坡角問(wèn)題，將坡度坡角與三角函數(shù)的定義結(jié)合并熟練掌握銳角三角函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．26．（2023?新?lián)釁^(qū)三模）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD，BE和一段水平平臺(tái)DE構(gòu)成，AD＝10米，DE＝7米，BE＝5米．求：天橋高度BC及引橋水平跨度AC．（參考數(shù)據(jù)：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）?思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF＝GC，DG＝CF，∠BEG＝37°，然后在Rt△ADF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF，AF的長(zhǎng)，再在Rt△BEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BG和EG的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：如圖：由題意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF＝GC，DG＝CF，∠BEG＝37°，在Rt△ADF中，∠DAF＝37°，AD＝10米，∴DF＝AD?sin37°≈10×0.6＝6（米），AF＝AD?cos37°≈10×0.8＝8（米），∴DF＝CG＝6米，在Rt△BEG中，BE＝5米，∴BG＝BE?sin37°≈5×0.6＝3（米），EG＝BE?cos37°≈5×0.8＝4（米），∴BC＝BG+CG＝3+6＝9（米），∵DE＝7米，∴FG＝DG＝DE+EG＝11（米），∴AG＝AF+FG＝8+11＝19（米），∴天橋高度BC約為9米，引橋水平跨度AC約為19米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用＝坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．27．（2023?包河區(qū)一模）數(shù)學(xué)測(cè)繪社團(tuán)欲測(cè)算平臺(tái)DB上旗桿的拉繩AC的長(zhǎng)．從旗桿AB的頂端A拉直繩子，繩子末端正好與斜坡CD的底部C重合，此時(shí)拉繩AC與水平線CN所成的夾角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比為1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉繩AC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)AB交CN于E，則四邊形DBEN為矩形，那么NE＝DB＝6米．解Rt△CDN，求出CN＝10米，得出CE＝CN+NE＝16米．解Rt△ACE，即可求出拉繩AC的長(zhǎng)．解：如圖，延長(zhǎng)AB交CN于E，則四邊形DBEN為矩形，∴NE＝DB＝6米．∵斜坡CD的高DN＝4米，坡比為1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），∴CN＝10米，∴CE＝CN+NE＝16米．在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，CE＝16米，∠ACE＝53°，∴AC=CE故拉繩AC的長(zhǎng)約為26.7米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．28．（2023?雙橋區(qū)模擬）如圖，已知山坡AB的坡度為i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度為i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知點(diǎn)B到水平面AD的距離為200m，山坡CD的長(zhǎng)為2000m．某登山隊(duì)沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．（1）求山頂點(diǎn)C到水平面AD的距離；（2）求山坡AB﹣BC的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，利用直角三角形的邊角間關(guān)系可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD，BE⊥CF，先判斷四邊形BHFE的形狀，再利用坡度求出AH、解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F．在Rt△CDF中，∵sinD=CFCD，∠D＝30°，CD＝2000∴CF＝sinD?CD=12×答：山頂點(diǎn)C到水平面AD的距離為1000m．（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分別為H、E．∴四邊形BHFE是矩形．∴BH＝EF＝200m，CE＝CF﹣EF＝800m，在Rt△ABH中，∵AB的坡度為i1＝1：2.4=BH∴AH＝200×2.4＝480（m）．∴AB=BH2在Rt△BEC中，∵山坡BC的坡度為i2＝1：0.75=CE∴BE＝0.75CE＝600（m）．∴BC=CE2∴山坡AB﹣BC的長(zhǎng)為：520+1000＝1520（m）．答：山坡AB﹣BC的長(zhǎng)為1520m．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理及坡度的相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．29．（2023?河?xùn)|區(qū)校級(jí)模擬）赤峰橋，中國(guó)唯一的斜塔雙鎖面彎斜拉橋（如甲圖），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是27°，拉索BD與水平橋面的夾角是58°，兩拉索底端距離AD＝20米，求立柱BC的高．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5）思路引領(lǐng)：直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CD表示出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．解：設(shè)立柱BC的高為x米，根據(jù)題意可得：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC=BC∴CD=BCtan∠BDC在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC∴AC=BC由題意得：2x?5解得：x≈14.5．答：立柱BC的高約為14.5米．總結(jié)提升：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確表示出CD，AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．30．（2023?天山區(qū)一模）如圖楊帆同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河對(duì)岸大樹AB的高度，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹頂端A點(diǎn)的仰角為45°，再?gòu)腃點(diǎn)出發(fā)沿斜坡CF走到點(diǎn)D處，測(cè)得大樹頂端A點(diǎn)的仰角為30°，D點(diǎn)到地面的距離是5m．若斜坡CP的坡度i＝1：2（點(diǎn)E，C，B在同一水平線上）．求大樹AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，作DH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)AB＝xm，用含x的代數(shù)式表示出AH、DH，根據(jù)tan∠ADH=AH解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵斜坡CF的坡度i＝1：2，D到地面的距離是5m，即DG＝5m，∴CG＝2DG＝10m，設(shè)大樹AB的高為xm，∵∠ACB＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝BC＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+10）m，AH＝AB﹣BH＝AB﹣DG＝（x﹣5）m，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴tan30°=AHDH，即解得x=15經(jīng)檢驗(yàn)：x=153+252答：大樹AB的高度是25.5m．總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題、坡度比問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯角的概念、坡度比的概念．31．（2023?前郭縣一模）如圖，一個(gè)熱氣球懸停在空中，從熱氣球上的點(diǎn)P處測(cè)得直立于地面的旗桿AB的頂端A與底端B的俯角分別為34°和45°，此時(shí)點(diǎn)P距地面高度PC為75米，求旗桿AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)BA交PQ于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PD的長(zhǎng)，再在Rt△PHA中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：延長(zhǎng)BA交PQ于點(diǎn)D，由題意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，在Rt△PBD中，∠DPB＝45°，∴PD=BD在Rt△PHA中，∠DPA＝34°，∴AD＝PD?tan34°≈75×0.67＝50.25（米），∴AB＝BD﹣AD＝75﹣50.25＝24.75≈24.8（米），答：旗桿AB的高度約為24.8米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線解題的關(guān)鍵．32．（2023?甘井子區(qū)模擬）如圖，大連觀光塔是大連的旅游景點(diǎn)之一．游客可以從山底乘坐觀光電動(dòng)車到達(dá)山頂，觀光電動(dòng)車的速度是2米/秒．小明要測(cè)量觀光塔的高度，他在山底A處測(cè)得觀光塔底部B的仰角約為30°，測(cè)得觀光塔頂部C的仰角約為51°，觀光電動(dòng)車從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間約為170秒．（1）觀光電動(dòng)車從A處行駛到B處的距離約為340米；（2）請(qǐng)你利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)，求觀光塔BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)．sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23，3≈1.73思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1）由題意得：∴2×170＝340（米），∴索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為340米，故答案為：340；（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD=12AD=3BD＝1703在Rt△ACD中，∠CAD＝51°，∴CD＝AD?tan51°≈1703×1.23≈∴BC＝CD﹣BD＝361.7﹣170≈192（米），∴白塔BC的高度約為192米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．33．（2023?鼓樓區(qū)一模）為測(cè)量建筑物DE的高度，小明從建筑物AB的A處測(cè)得E處的仰角為37°，C處的俯角為22°，從C處測(cè)得E處的仰角為58°．已知B，C，D在同一直線上，AB高為6.8m．求建筑物DE的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈34，tan22°≈25思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ED，垂足為F，根據(jù)題意可得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，從而可得∠FAC＝∠ACB＝22°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，設(shè)CD＝xm，則AF＝BD＝（x+17）m，再在Rt△ECD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出ED的長(zhǎng)，最后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長(zhǎng)，從而根據(jù)EF+DF＝ED，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ED，垂足為F，由題意得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，∴∠FAC＝∠ACB＝22°，在Rt△ABC中，BC=ABtan22°≈設(shè)CD＝xm，∴AF＝BD＝BC+CD＝（x+17）m，在Rt△ECD中，∠ECD＝58°，∴ED＝CD?tan58°≈85x（在Rt△EAF中，∠EAF＝37°，∴EF＝AF?tan37°≈34（x+17）∵EF+DF＝ED，∴34（x+17）+6.8=8解得：x＝23，∴DE=85x＝36.8（∴建筑物DE的高度約為36.8m．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．34．（2023?市北區(qū)一模）如圖，某小區(qū)車庫(kù)頂部BC是居民健身平臺(tái)，在平臺(tái)上垂直安裝了太陽(yáng)能燈AB．已知平臺(tái)斜坡CD的坡度i＝1：1.8，CD＝6米．在坡底D處測(cè)得燈的頂端A的仰角∠ADE＝45°，在坡頂C處測(cè)得燈的頂端A的仰角∠ACB＝63.3°，求燈的頂端A與地面DE的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin63.3°≈0.89，cos63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，由坡度的定義及斜坡CD的坡長(zhǎng)為6米，可得DG＝33米，CG＝BF＝3米，設(shè)BC＝FG＝x米，則DF＝（x+33）米，在Rt△ABC中，tan63.3°=ABBC=ABx=3，解得AB=3x，則AF＝（3+3x）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，由題意得，BC＝6米，∠ADF＝45°，∠ACB＝60，CG＝BF，BC＝FG，∵斜坡CD的坡度i＝1：1.8，∴CGDG即DG＝1.8CG，在Rt△CDG中，由勾股定理得：CG2+（1.8CG）2＝62，解得CG＝3，∴DG＝33米，BF＝3米，設(shè)BC＝FG＝x米，則DF＝（x+33在Rt△ABC中，tan60°=AB解得AB=3x∴AF＝（3+3x在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF，即3+3x＝x+3解得x＝3，∴AF＝（3+33∴燈的頂端A與地面DE的距離為（3+33總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．35．（2023?長(zhǎng)沙模擬）某海域有A，B兩個(gè)航標(biāo)，B航標(biāo)在A航標(biāo)北偏西30°方向上，距A航標(biāo)12海里，有一艘巡航船從A航標(biāo)出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B航標(biāo)南偏東75°方向的C航標(biāo)處．（1）填空：∠ABC＝45°，∠BCA＝60°；（2）求該船與B航標(biāo)之間的距離，即CB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．思路引領(lǐng)：（1）由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出∠FBA＝∠EAB＝30°，∠FBC＝75°，那么∠ABC＝45°，又根據(jù)方向角的定義得出∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝60°；（2）作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，解Rt△ABD，得出BD＝AD，解Rt△ACD，得出CD，進(jìn)而得出BC＝BD+CD．解：（1）如圖，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，∴∠FBA＝∠EAB＝30°，又∵∠FBC＝75°，∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝45°，又∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝30°+45°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；故答案為：45，60；（2）如圖，作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝12海里，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝12×22=在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝62海里，∴CD＝AD?tan30°＝62×33∴BC＝BD+CD＝（62+26答：BC的長(zhǎng)為（62+26總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求出線段BD與CD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．36．（2023?城陽(yáng)區(qū)一模）小明參觀海軍博物館的軍艦時(shí)，想測(cè)量一下軍艦AB的長(zhǎng)度．軍艦AB停放位置平行于岸邊主于道CD，軍艦AB距離岸邊主干道CD的距離是120米，由于軍艦停放的位置正對(duì)的岸邊是另一片展區(qū)，無(wú)法穿越，他想到借助于所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)來(lái)測(cè)量計(jì)算，他沿平行于岸邊的主干道CD從點(diǎn)C處走200米到點(diǎn)D處，在點(diǎn)C處測(cè)得軍艦頭部點(diǎn)A位于南偏東22°，在點(diǎn)D處測(cè)得軍艦尾部點(diǎn)B位于南偏東30°．求軍艦AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留1位小數(shù)）．（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73思路引領(lǐng)：過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AE＝BF＝120米，EF＝AB，解直角三角形即可得到結(jié)論．解：過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD于F，則四邊形ABFE是矩形，∴AE＝BF＝120米，EF＝AB，在Rt△DFB中，∵∠F＝90°，BF＝120米，∴DF=BFtan30°=在Rt△ACE中，CE=AE∵CD＝200米，∴DE＝CE﹣CD＝100（米），∴AB＝EF＝208﹣100＝108（米），答：軍艦AB的長(zhǎng)度為108米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．37．（2023?西青區(qū)一模）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔368海里的A處遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)．一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時(shí)位于A處的北偏東45°方向上的B處，救生船接到求救信號(hào)后，立即前往救援．求AB的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan40°≈0.84，2取1.41．思路引領(lǐng)：通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的意義列方程求解即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，由題意得，∠BAC＝45°，∠BCA＝40°，AC＝368海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH，cos∠BAH∴BH＝AH?tan45°＝AH，AB=AHCOS45°在Rt△BCH中，∵tan∠BCH=BH∴CH=BH又∵CA＝CH+AH，∴368=AH0.84所以AH=368×tan40°∴AB=2×368×0.84答：AB的長(zhǎng)約為336海里．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．38．（2023?來(lái)安縣一模）如圖，線段MN是南北方向的一段碼頭，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是碼頭的兩端，MN＝23海里，某一時(shí)刻在點(diǎn)M處測(cè)得貨船B位于其北偏東75°的方向上，同時(shí)測(cè)得燈塔A位于其南偏東30°方向上，在點(diǎn)N處測(cè)得燈塔A位于其北偏東75°方向上，已知貨船B位于燈塔A北偏東30°方向上，求此時(shí)貨船B距燈塔A的距離AB的長(zhǎng)（最終結(jié)果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，思路引領(lǐng)：先說(shuō)明△AMN是等腰三角形即MA=MN=23（海里），再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠AMB＝75°；由AQ∥MN可得∠MAQ＝30°得∠ABM＝180°﹣∠AMB﹣∠BAM＝45°；過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，再在Rt△ACM中解直角三角形可得AC=3、MC＝3，最后在Rt△BCM中解直角三角形可得BC＝MC＝3，最后根據(jù)AB＝AC+解：在△AMN中，∠MAN＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠MAN＝∠MNA，∴MA=MN=23在△AMB中，∠AMB＝180°﹣75°﹣30°＝75°．∵AQ∥MN，∴∠MAQ＝30°，∴∠BAM＝30°+30°＝60°，∴∠ABM＝180°﹣∠AMB﹣∠BAM＝45°．過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，在Rt△ACM中，∠AMC＝90°﹣∠CAM＝30°，∴AC=1∴MC=tan∠CAM×AC=tan60°×3在Rt△BCM中，∠CBM＝45°，則BC＝MC＝3海里．∴AB=AC+BC=3答：此時(shí)貨船B距燈塔A的距離約為4.7海里．總結(jié)提升：本題主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．39．（2023?歷城區(qū)一模）如圖，一艘游輪在A處測(cè)得北偏東45