四川省眉山市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卷規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案標號涂黑．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規(guī)定的位置上．4．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又因為所以，故選：B.2.橢圓焦距為（）A. B.8 C.4 D.【答案】A【解析】由題意，，故橢圓的焦點在軸上故焦距故選：A3.空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵M，G分別是BC，CD的中點，∴，．∴．故選：C4.張益唐是當代著名華人數(shù)學家，他在數(shù)論研究方面取得了巨大成就，曾經(jīng)在《數(shù)學年刊》發(fā)表《質(zhì)數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無窮多對質(zhì)數(shù)間隙都小于7000萬．2013年張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式，孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述，存在無窮多個素數(shù)p，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)，在不超過12的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，能夠組成孿生素數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不超過12的素數(shù)有2、3、5、7、11共5個，在其中任取兩個數(shù)的基本事件為、、、、、、、、、共10個，其中是孿生素數(shù)的基本事件為、共2個，所以在不超過12的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，能夠組成孿生素數(shù)的概率為.故選：B.5.已知圓和存在公共點，則m的值不可能為（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】因為圓和存在公共點，所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，即，解得，選項ABC滿足，m的值不能為D.故選：D6.已知數(shù)列，若，，且（為正整數(shù)），則數(shù)列的第項為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，又，，，，，.故選：D.7.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，直線被圓所得截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得，則，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.8.正四棱錐P—ABCD的高為3，，點E滿足，則點D到平面AEC的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】正四棱錐中，連接，設與相交于點O，連接，顯然直線兩兩垂直，以點O原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，由，，得，則，，由，得，，設平面AEC的法向量為，則，取，得，所以點D到平面AEC的距離．故選：A二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列說法正確的是（）A.若為兩個事件，則“與互斥”是“與相互對立”的必要不充分條件B.若為兩個事件，則C.若事件兩兩互斥，則D.若事件滿足與相互對立，則【答案】AD【解析】對于A，若事件與互斥，則與不一定相互對立，但與相互對立，則與一定互斥，故“與互斥”是“與相互對立”的必要不充分條件，故A正確；對于B，若為兩個事件，則，故B錯誤；對于C，若事件兩兩互斥，則不一定成立，如：拋擲一枚均勻的骰子一次，記“向上的點數(shù)為1”，“向上的點數(shù)為2”，“向上的點數(shù)為3”，事件兩兩互斥，但，故C錯誤；對于D，若事件滿足與相互對立，則，故D正確.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當取得最大值時， D.【答案】ABC【解析】等差數(shù)列的前項和為，，所以，，所以，所以且，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且當時，取得最大值．故D正確，ABC錯誤．故選：ABC．11.在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，M分別為棱BC，CD，的中點，P是線段上的動點（含端點），則下列說法正確的有（）A.B.存在點P使平面C.當點P運動到點處時，點D到直線PM的距離為1D.PE與平面所成角正切值的最大值為【答案】ABD【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，令，則點，對于A，，，則，A正確；對于B，，令平面的法向量，則，取，得，而，由，得，因此存在點，即線段中點，有，而平面，于是平面，B正確；對于C，當點P運動到點處時，，，因此點D到直線PM的距離，C錯誤；對于D，，而平面的一個法向量，令PE與平面所成的角為，則，當且僅當，即點時取等號，而，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，取得最大值，又正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當時，取得最大值，此時，D正確故選：ABD12.已知O為坐標原點，點在拋物線C：（）上，F(xiàn)為拋物線的焦點，過F的直線交C于M、N兩點（M在y軸的右側(cè)），且，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題設，可得，令，聯(lián)立拋物線，有，則，，所以，，由，且，即，所以，且，故，有，則，又M在y軸的右側(cè)，易知，即，則，故，A對；綜上，，，則，又，則到直線的距離，所以，B錯；令，聯(lián)立拋物線，得，且，所以或，且，，所以，，而，，同理，，所以，C對；，，同理，，D對.故選：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應位置上．13.若雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為，虛軸長為4，則雙曲線的標準方程為_____________．【答案】【解析】雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為，設雙曲線方程為，即，而雙曲線的虛軸長為4，則，解得，所以雙曲線的標準方程為.故答案為：14.如圖是某桁架橋模型一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構(gòu)成．其中，那么直線IF與直線EC所成角的余弦值為_____________．【答案】【解析】連接，依題意，四邊形是正方體的對角面，因此四邊形是矩形，，則是直線IF與直線EC所成的角或其補角，令，則，，，而，，所以直線IF與直線EC所成角的余弦值為.故答案為：15.已知圓C：，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則弦長的最小值為_____________．【答案】【解析】圓的圓心，半徑，由切圓C于點，則，，且，于是四邊形的面積，因此，點到直線的距離，顯然，當且僅當垂直于直線時取等號，所以當垂直于直線時，弦長取得最小值.故答案為：16.已知數(shù)列的前n項和為,且,若對于都有，則實數(shù)的取值范圍為_____________．【答案】【解析】由，得，解得，當時，，整理得，即，因此數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，不等式，依題意，對于都有成立，而，當且僅當時取等號，因此，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．請將正確答案做在答題卷相應位置，要有必要的推理或證明過程．17.已知，，．（1）求邊BC上的高線所在直線方程；（2）求過點A且平行于直線BC的直線方程．解：（1）點，，則直線的斜率為，因此邊上的高所在直線的斜率為，方程為，即，所以邊上的高所在直線的方程為.（2）由（1）知，平行于直線的直線斜率為，所以過點A且平行于直線的直線方程為，即.18.設為等差數(shù)列的前n項和，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設等差數(shù)列的公差為,由,,得，解得，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，則，所以.19.四川省高考目前實行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學、外語這3門必選科目“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學、生物這4門再選科目中選擇2門，已知四川大學華西醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目中生物為必選科目．（1）從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合四川大學華西醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率；（2）假設甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中至少有兩人的選科組合符合四川大學華西醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率．解：（1）用分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用分別表示選擇“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，，設“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合四川大學華西醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求”，則，，.（2）設甲?乙?丙三人每人的選科組合符合四川大學華西醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求的事件分別是，顯然事件相互獨立，由（1）知，記“甲?乙?丙三人中至少有兩人的選科組合符合四川大學華西醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求”，則，顯然事件兩兩互斥，所以.20.已知兩個條件：①圓經(jīng)過圓與圓的交點．②圓C與x軸正半軸相切，且被直線截得的弦長為．在這兩個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答．（1）圓心在直線上，且____，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，由圓C外一點向圓C引一條切線，切點為Q，O為坐標原點，且有，求的最小值．解：（1）選①，與相減可得，故圓與圓交點弦方程為，設兩交點坐標為，聯(lián)立與得，解得，不妨設，則，即，故，則，故的中點坐標為，由幾何關(guān)系可知，圓心在直線的垂直平分線上，即，即圓心上，聯(lián)立，解得，故圓心，半徑為，所以圓的方程為；選②，圓C與x軸正半軸相切，且被直線截得的弦長為，設圓心，，則半徑為，故圓的方程為，圓心到直線的距離為，由垂徑定理得，解得，故圓的方程為；（2）由題意得，故，又，由題意得，化簡得，故點在直線，故當⊥直線時，取得最小值，最小值為，故的最小值為.21.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，．D，E分別是線段的中點，二面角為直二面角．（1）求證：；（2）棱（除兩端點外）上是否存在點P，使得平面PBD與平面EBD夾角余弦值為？若存在，請求出點P的位置，若不存在，說明理由．解：（1）如圖，連接,因D，E分別是線段的中點,則,又因,易得菱形,故,從而①.因是正三角形，則,又平面平面，且平面平面,平面，則平面，因平面，故②又,平面，由①②可得：平面,因平面,則.（2）假設在棱（除兩端點外）上存在點，使得平面PBD與平面EBD夾角余弦值為.如圖，連接因,且，易得：,因平面平面，平面，平面平面，故得平面，則可分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系.則設,則，又,故,又,設平面的法向量為，則故可?。挥?設平面的法向量為，則故可取.于是，解得：或.因，故舍去，即在棱（除兩端點外）上存在點滿足，使得平面PBD與平面EBD夾角余弦值為.22.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：步驟1：設圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點，記為F﹔步驟⒉：把紙片折疊，使圓周正好通過點F（即折疊后圖中的點A與點F重合）；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點為P；步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕