浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色.墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕蔬x：C．2.已知，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)椋蔬x：A．3.已知非零向量，，則“”是“向量”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，為非零向量，若，則，則，所以，所以，故充分性成立；若，則，所以，所以，則，故必要性成立；所以“”是“向量”的充要條件.故選：C．4.若過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】點(diǎn)到圓心的距離為，圓的半徑為，所以，于是．故選：A．5.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.480 B.240 C.120 D.15【答案】B【解析】因?yàn)榈玫匠?shù)項(xiàng)，則．.故選:B．6.已知底面半徑為2的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱側(cè)面積與圓錐側(cè)面積的比值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】作出軸截面，如圖所示，由題意可得：，可知分別為的中點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn)，則，可得；，所以比值為．故選：C．7.函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（）A.π B. C. D.4【答案】B【解析】由得，即，函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，作出函數(shù)和的圖象，如圖，由圖可知兩個(gè)圖均關(guān)于中心對(duì)稱且在上有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，所以4個(gè)零點(diǎn)的和為．故選：B．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)或或是無(wú)理數(shù)時(shí)，；當(dāng)（，，是互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，．那么當(dāng)，，，都屬于時(shí)，下列選項(xiàng)恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，，，所以，，故排除B、C；當(dāng)，時(shí)，，，，所以，故排除A．下面證明D的正確性：當(dāng)，之一為無(wú)理數(shù)或者0或者1時(shí)，不等式右邊為0，顯然成立．當(dāng)，都是真分?jǐn)?shù)時(shí)，不妨設(shè)，，則不等式右邊為，顯然有左邊大于或等于．所以不等式成立．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.隨機(jī)變量，分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，且，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)A，因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性，知道，故A正確；對(duì)B，因?yàn)椋蔅正確；對(duì)C，因?yàn)椋蔆正確；對(duì)D，因?yàn)?，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．10.在正四棱柱中，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A.過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都垂直B.過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都相交C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足和的面積相等D.有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足平面平面【答案】AB【解析】由圖可知直線和直線異面，則過(guò)空間中一點(diǎn)都是有且僅有一條直線與它們垂直，故A正確；直線和直線異面，且直線與平面相交，直線與平面相交，所以過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都相交，故B正確；連接交于，易知，所以，可知到的距離大于，且，又到的距離小于，結(jié)合所以三角形面積不可能相等，故C錯(cuò)誤；由正四棱柱易得：平面，又平面，所以對(duì)任意恒有平面平面，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知是曲線上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.對(duì)任意，直線與曲線有唯一交點(diǎn)C.對(duì)任意，恒有D.曲線在的部分與軸圍成圖形的面積小于【答案】ACD【解析】A．對(duì)于，將，替換為，，所得等式與原來(lái)等價(jià)，故A正確；B．取，可以求得，，均可，故B錯(cuò)誤；C．由，，函數(shù)，故，令，解得：，在，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，，所以有，故C正確；D．當(dāng)時(shí)，，又，，所以．曲線與軸圍成半圓，又曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則曲線與軸圍成圖形的面積小于，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，則線段__________．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓，則，所以，，因?yàn)?所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入求得縱坐標(biāo)為，即．故答案為：13.已知曲線在處的切線恰好與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】2【解析】由得，又切點(diǎn)為，故，切線為，設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，，所以，解得切點(diǎn)為，所以，解得．故答案為：2.14.數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個(gè)實(shí)數(shù)，然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上的數(shù)乘以再加上3得到，并將擦掉后將寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)除以再減去3得到，也將擦掉后將寫在黑板上．然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑板上的數(shù)為．現(xiàn)已知的概率為0.5，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意構(gòu)造，，則有，，，．因?yàn)?，恒成立，又的概率?.5，所以必有或者解得．故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.在中，角的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求角和角．（2）若邊上的高為，求的面積．解：（1）由余弦定理知，故．因?yàn)椋?，又，所以，故．?）因?yàn)檫吷系母?，解得，，又，所以的面積．16.已知雙曲線與過(guò)點(diǎn)，的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且雙曲線的離心率．（1）求直線和雙曲線的方程；（2）設(shè)，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求證：．（1）解：因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，解得，設(shè)雙曲線方程.直線過(guò)點(diǎn)，，所以直線方程為，即，代入雙曲線方程，得，由題意，，解得所以雙曲線的方程：．（2）證明：因?yàn)?，于是即，所以，代入得，則，又，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以．又，所以，故．17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面是正三角形，是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取與中點(diǎn)，．連接，，，，則運(yùn)用中位線性質(zhì)知且,則，則四邊形是平行四邊形．側(cè)面是正三角形，易知，.底面是菱形，，則底面是正三角形，則.平面，平面，平面，.由于四邊形是平行四邊形．，．（2）解：由（1）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過(guò)O做AD的垂線Oz，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，進(jìn)而求得一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則．18.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）若，且一次函數(shù)的圖象和曲線相切于處，求函數(shù)的解析式并證明：恒成立．（3）若，且函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?，求?dǎo)得，故當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)1,+∞時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，所以最小值為，無(wú)最大值．（2），所以，又，所以，即；令，則，，這里表示的導(dǎo)函數(shù)．令，則，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：0單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，也是最小值，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，無(wú)限趨向于，所以當(dāng)時(shí)，，又，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即不等式gx≤f（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椴皇堑母?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在12,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，作出函數(shù)在上的圖象，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且．?dāng)?shù)列滿足，．若對(duì)于，恒有等于同一個(gè)常數(shù)，則稱數(shù)列為的“左型間隔數(shù)列”；若對(duì)于，恒有等于同一個(gè)常數(shù)，則稱數(shù)列為的“右型間隔數(shù)列”；若對(duì)于，恒有或者，則稱數(shù)列為的“左右型間隔數(shù)列”．（1）寫出數(shù)列的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；（2）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“左型間隔數(shù)列”，數(shù)列是的“右型間隔數(shù)列”，若，且有，求的值；（3）數(shù)列是遞增整數(shù)數(shù)列，且，．若存在