華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

華東師大九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案

第21章二次根式...........................................................2

21.1二次根式...........................................................2

21.2二次根式的乘除....................................................4

21.2.1二次根式的乘法...............................................4

21.2.2積的算術(shù)平方根..............................................6

21.2.3二次根式的除法...............................................8

21.3二次根式的加減....................................................11

第22章一元二次方程......................................................13

22.1一元二次方程......................................................13

22.2一元二次方程的解法...............................................16

22.2.1直接開平方法和因式分解法...................................16

22.2.2配方法......................................................18

22.2.3公式法......................................................21

22.2.4一元二次方程根的判別式.....................................23

22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系...............................25

22.3實(shí)踐與探索........................................................27

第23章圖形的相似........................................................29

23.1成比例線段........................................................29

23.1.1成比例線段..................................................29

23.1.2平行線分線段成比例.........................................32

23.2相似圖形..........................................................35

23.3相似三角形........................................................37

23.3.1相似三角形..................................................37

23.3.2相似三角形的判定...........................................40

第1課時(shí)相似三角形的判定(1)...................................................................40

第2課時(shí)相似三角形的判定(2)...................................................................43

23.3.3相似三角形的性質(zhì)...........................................46

23.3.4相似三角形的應(yīng)用...........................................49

23.4中位線............................................................52

23.5位似圖形..........................................................56

23.6圖形與坐標(biāo)........................................................58

23.6.1用坐標(biāo)確定位置.............................................58

23.6.2圖形的交換與坐標(biāo)............................................61

第24章解直角三角形......................................................63

24.1測(cè)量..............................................................63

24.2直角三角形的性質(zhì).................................................66

24.3銳角三角函數(shù).....................................................69

24.3.1銳角三角形函數(shù)..............................................69

第1課時(shí)銳角三角函數(shù)........................................69

第2課時(shí)特殊角的三角函數(shù)值..................................73

24.3.2用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)的值.................................76

24.4解直角三角形.....................................................78

24.4.1解直角三角形................................................78

24.4.2俯角和仰角的問題...........................................81

24.4.3坡度問題....................................................83

第25章隨機(jī)事件的概率....................................................86

25.1在重復(fù)試驗(yàn)中觀察不確定現(xiàn)象.......................................86

25.2隨機(jī)事件的概率...................................................89

25.2.1概率及其意義................................................89

25.2.2頻率與概率..................................................91

第21章二次根式

21.1二次根式

：?<

1.理解二次根式的概念，并利用,(a20)的意義解答具體題目.

2.理解/620)是非負(fù)數(shù)和(4)2=2.

3.理解夜=a(a>0)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

fiiiACC*iii：?<

重點(diǎn)

1.形如金(a20)的式子叫做二次根式.

2./(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(/)2=a(a>0)及其運(yùn)用.

a(a^O),

3.G二

-a(a<0).

難點(diǎn)

利用“4(a20)”解決具體問題.

關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出/(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出信=

a(a^O),

—a(a<0).

教寶圜十<

一、復(fù)習(xí)引入

回顧：

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，/表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，，等于0,它表示零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，/沒有意義.

二、探究新知

概括：,(a20)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，/(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它

的平方等于a.即有：

(l)/2O(a2O)；(2)(4)'=a(aeO).

形如、「(a)0)的式子叫做二次根式.

注意：在京中，a的取值必須滿足a20,即二次根式的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

思考：迎等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的迎的值，看看有什

么規(guī)律.

概括：當(dāng)a20時(shí)，-x/a^^a；當(dāng)a〈0時(shí)，胃5=—a.

三、練習(xí)鞏固

1.x取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？

⑴43—4x；⑵丫色七

⑶，(x-3)?；(4)"\/3x-4+44-3x.

2.計(jì)算下列各式的值：

⑴(梅產(chǎn)(2)(\Jj)2;

⑶(年產(chǎn)⑷(34)；

3.若，幣+后7[=0,求1必+心2°的值.

4.化簡：

⑴/；⑵y(—4)2；

(3)725；⑷7(—3)2.

5.若一3WxW2時(shí)，試化簡|X-2|+N(x+3),

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.師生共同回顧二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)：

(1)；

(2)當(dāng)a》0時(shí)，■^a5=a；當(dāng)a<0時(shí)，y[a'=~a.

2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請(qǐng)與同伴交流.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和''習(xí)題21.1”中選取.

教與反思<：?<

本節(jié)課從復(fù)習(xí)算術(shù)平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計(jì)算，理解二次根式

的有關(guān)性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體驗(yàn)教學(xué)

活動(dòng)的方法

21.2二次根式的乘除

21.2.1二次根式的乘法

：?<

理解而(a20,b20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

由具體數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出/?羽=M(a2O,b》0)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

通過探究胡^的二加匕》。，！^〉。)，培養(yǎng)特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物

規(guī)律的觀察發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

重占難占

*tii人Hfiii：?<

重點(diǎn)

4?蔡(aNO,b20)及它的應(yīng)用.

難點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出而(a20,b20).

教學(xué)設(shè)計(jì)〈

一、情境引入

1.填空：

⑴木乂小=,

-4X9=；

(2)716X^25=,

-716X25=_；

(3)-7100X^36=，

4100X36=.

參照上面的結(jié)果，用“>"、或“="填空.

木X小、4X9：

716X^/25、16義25；

7100X^/36-X36.

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空.

正義小_____乖;

木X#________亞；

乖又乖^30;

^4X^5啊

二、探究新知

(學(xué)生活動(dòng))讓3,4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

教師點(diǎn)評(píng)：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個(gè)二次根式的積等于這樣一個(gè)二次根式，它的

被開方數(shù)等于前兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)的積.

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

yfa,yf[)--\[ab(a^0,b20).

例1計(jì)算：

⑴mX"(2)雄義木;

⑶加x4.

解：(l)y[5Xy[7=y/35；

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為匹cm和迎cm,那么此直角三角形斜邊長是

()

A.3,^2cmB.3,^3cm

C.9cmD.27cm

2.化簡a寸工的結(jié)果是()

A.yj—aB.

C,-1—aD.—yfo.

3.等式'x-1?巾+1=由2—1成立的條件是()

A.x21B.x2一1

C.—l〈xWlD,x21或xW—l

4.下列各等式成立的是()

A.4小X23=8乖

B.5小X4木=2。鄧

C.4小X3巾=7#

D.5mX4啦=20m

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.由學(xué)生小組討論匯報(bào)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請(qǐng)

與同伴交流.

2.教師總結(jié)歸納二次根式的乘法規(guī)定

y[a?^b="\/ab(a^O,b>0).

布置作業(yè)

從教材“習(xí)題21.2”中選取.

教學(xué)反思<：?<

這節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出如=M(a20,b20),并

學(xué)會(huì)它的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于事物規(guī)律的觀察、發(fā)現(xiàn)能

力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

21.2.2積的算術(shù)平方根

敦與目標(biāo)：?<

1.理解,yjb(a>0,be0).

2.運(yùn)用,怖(a20,b20).

重后難Q<：?<

重點(diǎn)

■\[ab=yfa?^/b(a^0,b20)及其應(yīng)用.

難點(diǎn)

，盛=4?/(a20,b>0)的理解與應(yīng)用.

教與設(shè)計(jì)<：?<

一、情境引入

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

■\[a,-^b—^/ab(a^O,b20).

反過來，y]ab--\[a,A/b(a^0,b20).

二、舉例分析

教師用多媒體出示例1,引導(dǎo)學(xué)生利用加=雨(a20,b20)直接化簡.

例1化簡：

(1)A/9X16；(2).16X81；

⑶.81X100；(4)洞.

解：⑴訴示=/x標(biāo)=3X4=12；

(2)：16*81=標(biāo)義弧=4X9=36；

(3).81*100=弧義"\/155=9><10=90；

⑷舸=y/9X6=pX#=3

教師用多媒體出示例2,學(xué)生板演，集體講評(píng)，注意引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握積的算術(shù)平方

根應(yīng)用的條件：a20,b》0.

例2判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)改正：

(1)yj(-4)X(-9)X^9；

/12p-/12

⑵y%x*=4xy樂義r—平

=々0義m=4匹=8*

三、練習(xí)鞏固

1.化簡：

(1)720;(2)^18:(3)724；(4)754.

2.自由落體的公式為s=/7(g為重力加速度，它的值約為10卬//，若物體下落的

高度為120m,則下落的時(shí)間是s.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請(qǐng)與同伴交流.

2.教師總結(jié)歸納積的算術(shù)平方根等于各因式算術(shù)平方根的積，即

\[ab=yfa,bNO).

布置作業(yè)

從教材“習(xí)題21.2”中選取.

教學(xué)反思<

本課時(shí)教學(xué)以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，提供學(xué)生

創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學(xué)生提供一個(gè)交流合作的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究、合

作學(xué)習(xí)的能力，訓(xùn)練逆向思維，通過嚴(yán)謹(jǐn)解題，增加學(xué)生準(zhǔn)確解題的能力.

21.2.3二次根式的除法

教學(xué)目標(biāo)：?<

1.2(a]0,b>0)和(a20,b>0),并運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算.

2.利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫

出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

3.理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它將不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

重總難后<：?<

重點(diǎn)

1.b>0),(a20,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2.最簡二次根式的運(yùn)用.

難點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.最簡二次根式的運(yùn)用.

教學(xué)設(shè)計(jì)<：?<

一、情境引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向公式.

2.填空:

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

教師用多媒體展示，每組推薦一名同學(xué)闡述運(yùn)算結(jié)果，教師最后點(diǎn)評(píng).

二、探究新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)得很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我

們可以得到：

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定

套4i（a>0,b>0）.

反過來，\^=今（@20,b>0）.

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.

例1計(jì)算：

例2化簡:

解：⑴病=3巾;

]乖乖

⑶樂一乖又乖—5；

⑷m=^X幣=2?

觀察上面各小題的最后結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這些二次根式有這些特點(diǎn):

(1)被開方數(shù)中不含分母:

(2)被開方數(shù)中所含的因數(shù)(或因式)的幕的指數(shù)都小于2.

教師在此過程中強(qiáng)調(diào)，要求最后結(jié)果化成最簡二次根式.

三、練習(xí)鞏固

1.化簡:

(1)(2)-^/172-132；

3.如圖，在A7AABC中，NC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

BC

第1題可由學(xué)生自主完成，第2、3題教師可給予相應(yīng)的指導(dǎo).

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

請(qǐng)若干學(xué)生口述小結(jié)，老師再利用電子課件將小結(jié)放映在屏幕上.

布置作業(yè)

從教材”習(xí)題21.2”中選取.

教與反思＜：?<

本課時(shí)教學(xué)突出學(xué)生主體性原則，即通過探究學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，通過具體數(shù)據(jù)

得出規(guī)律，再讓學(xué)生相互交流，或上臺(tái)展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個(gè)人的體驗(yàn)，從中獲取成功

的體驗(yàn)后，激發(fā)學(xué)生探究的激情.

21.3二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)：?<

1.掌握同類二次根式的概念，會(huì)判斷同類二次根式，會(huì)合并同類二次根式.

2.掌握二次根式加減乘除混合運(yùn)算的方法.

重（5難占

?iii人Htill：?<

重點(diǎn)

二次根式加減法的運(yùn)算.

難點(diǎn)

探討二次根式加減法的運(yùn)算方法，快速準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式加減法的運(yùn)算.

：?<

一、情境引入

1.合并同類項(xiàng):

(l)2x+3x；(2)2x2—3X2+5X2.

解：(l)5x；(2)4/.

這幾道題是你運(yùn)用什么知識(shí)做的？加減法則.

2.化簡:

⑴、信

(2)^48.

解：(1)芋：(2)473.

3.如何進(jìn)行二次根式的加減計(jì)算？先化簡，再合并.

4.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二

次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.如24與3

2乖，3乖與5乖.

二、探究新知

例1計(jì)算：

(1)2^2+3^2；

(2)2季一34+5季；

⑶干+2小+3^^；

(4)373-2^3+^3.

教師多媒體展示例1.(1)如果我們把鏡當(dāng)成x,不就轉(zhuǎn)化成上面的問題了嗎？

因此，二次根式的被開方數(shù)相同的可以合并，如24與小表面上看是不同的，但它們

可以合并.

歸納：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二

次根式合并.

例2計(jì)算：

(2)(V124-720)+(木一乖).

教師多媒體展示例2.學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評(píng)，教師巡視.

三、練習(xí)鞏固

1.下列計(jì)算是否正確？為什么？

(1)乖_木=小F

⑵5+m=勺4+9；

⑶3/一小=2也

2.以下二次根式：①7逐；②/；③^自；④近中，與小是同類二次根式的是()

A.①和②B.②和③

C.①和④D.③和④

3.計(jì)算：

⑴^5—^5+4；

(2)718+(^98-^27)：

1Q

⑶5(鏡+45)-]($+也?)；

(4)3

4.已知x=#+l,y=，5—1,求下列各式的值.

⑴x2+2xy+y;⑵x,2—y2.

教師多媒體展示,點(diǎn)名回答第1,2題，第3題學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng).

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生分組討論,小組代表匯報(bào)，教師展示本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)要點(diǎn).

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.3”中選取.

教學(xué)反思＜：?<

本節(jié)課通過復(fù)習(xí)整式的加減法、合并同類項(xiàng)，引入二次根式的概念及二次根式的合并方

法，對(duì)法則的教學(xué)與整式的加減比較學(xué)習(xí)，在理解、掌握和運(yùn)用二次根式的加減法運(yùn)算法則

的學(xué)習(xí)過程中，滲透了分析、概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和興趣.

第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：?<

1.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax?+bx+c=

O(aWO).

2.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的

過程中，使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具,增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).

事(5雉t5

fiiiACC*iii：?<

重點(diǎn)

判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根.

難點(diǎn)

由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根.

教學(xué)設(shè)計(jì)＜：?<

一、情境引入

教師展示多媒體，引導(dǎo)學(xué)生列出方程，解決問題.

問題1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長

方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得

X2+10X-900=0.(1)

問題2學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊(cè)，求這兩

年的年平均增長率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長率為X.

我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊(cè)，則今年年底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊(cè)，

同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5(l+x)?(l+x)=5(l+x)2萬

冊(cè)，

可列得方程5(1+x)2=7.2,

整理可得

5x2+10x-2,2=0.(2)

二、探究新知

教師指出問題，學(xué)生小組討論，歸納.

問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個(gè)方程都不是一元一次方程,

那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

共同特點(diǎn)：

(1)都是整式方程；

(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；

(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【歸納總結(jié)】上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,

這樣的方程叫做一元二次方程，通常可寫成如下的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是已知

數(shù)，a#0).其中ax?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，

c叫做常數(shù)項(xiàng).

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

①1一x?=0；②2(x?-1)=3y；

12

③2x2_3x_]=0;(4)-2--=0；

xx

⑤(X+3)2=(x—3)”(6)9x2=5—4x.

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教學(xué)說明】(1)一元二次方程為整式方程；(2)類似⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程(8—2x)(5—2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項(xiàng)

系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

解：2x--13x+ll—0；2,—13,11.

三、練習(xí)鞏固

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)

及常數(shù)項(xiàng).

(l)5xz—l=4x；

(2)4x2=81；

(3)4x(x+2)=25；

(4)(3x—2)(x+1)=8x—3.

解：(1)5x-一4x—1=0；5)—4,-1；

(2)4x2-81=0；4,0,-81；

(3)4X2+8X-25=0；4,8,-25；

(4)3X2-7X+1=0；3,-7,1.

2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個(gè)長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方,

求較短一段的長X.

解：(1)4X2=25；4x?—25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1—x)2；xJ—3x+1=0.

3.若x=2是方程ax°+4x—5=0的一個(gè)根，求a的值.

解：’.”=2是方程ax'+dx—5=0的一個(gè)根.

，4a+8—5=0,

解得

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1,只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(aW0),一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根

據(jù)一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.

3.在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必

要性和重要性.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.1”中選取.

教學(xué)反思＜：?<

學(xué)習(xí)本課時(shí)，可讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)，小組之間充分交流后概括所得

結(jié)論，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一元二次方程的有關(guān)概念的認(rèn)識(shí)，掌握建模思想，利用一元二次方程

解決實(shí)際問題.

22.2一元二次方程的解法

22.2.1直接開平方法和因式分解法

教學(xué)目標(biāo)：?<

1.會(huì)用直接開平方法解形如a(x—k)2=b(a#0,ab'O)的方程.

2.靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程.

3.使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用.

重后難Q＜：?<

重點(diǎn)

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

難點(diǎn)

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

教學(xué)設(shè)計(jì)＜：?<

一、情境引入

教師提出問題，讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

問：怎樣解方程方+1尸=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16,

；?原方程的解是xi=15,x2=-17.

方法2：原方程可變形為

(x+1)2—256=0,

方程左邊分解因式,得程+1+16)因+1—16)=0,

即(x+17)(x-15)=0,

，x+17=0或x-15=0,

原方程的解是*=15,X2=-17.

二、探究新知

教師多媒體展示，學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng).

例1用直接開平方法解下列方程：

⑴(3X+1￥=7；(2)y2+2y+l=24；

(3)9n2-24n+16=ll.

⑴T±巾

解：⑴---「一；

⑵一1±24；

⑶呼?

【教學(xué)說明】運(yùn)用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程時(shí)，最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是漏

掉負(fù)根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5X2-4X=0；

(2)3x(2x+l)=4x+2；

(3)(X+5)2=3X+15.

4

解：(1)X|=O,X2=￡；

1

=-

2)XIX22

(3)xi=-5,X2=-2.

【教學(xué)說明】解這里的(2)(3)題時(shí)，注意整體劃歸的思想.

三、練習(xí)鞏固

教師多媒體展示出題目，由學(xué)生自主完成，分組展示結(jié)果，教師點(diǎn)評(píng).

1.用直接開平方法解下列方程：

(1)3(x—I)，-6=0；

(2)X2-4X+4=5；

(3)(x+5)z=25；

(4)X2+2X+1=4.

解：⑴Xin+m,Xz=l一/;

(2)XI=2+4，Xz=2一4；

(3)X1=O,x2=—10；

(4)Xi—1,X2=-3.

2.用因式分解法解下列方程：

(l)xz+x=0；(2)xJ—2^3x=0；

(3)3X2-6X=-3;(4)4X2-121=0；

(5)(x—4尸=(5—2x)：

解：(l)xi=O,x2=—1；

(2)xi=0,X2=2，5；

(3)XI=X2=1；

/、1111

(4)xi=—,x2=——；

(5)xi=3,x2=l.

3.把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5%得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，求小圓形場(chǎng)

地的半徑.

解：設(shè)小圓形場(chǎng)地的半徑為x似

則可列方程27x2="(X+5)2,

解得XI=5+5啦，也=5-5m(舍去).

答：小圓形場(chǎng)地的半徑為(5+5艱)m.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2.對(duì)于形如a(x—k)2=b(a￥0,ab'O)的方程，只要把(x—k)看作一個(gè)整體，就可轉(zhuǎn)

化為x?=n(n20)的形式用直接開平方法解.

3.當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)時(shí)，切不可約去相同因式，而應(yīng)用因式分解

法解.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教學(xué)反思＜

本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學(xué)生小組討

論，歸納總結(jié)探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當(dāng)、熟練地運(yùn)用直接開平方法和因式分

解法，在整個(gè)教學(xué)過程中注意整體劃歸的思想.

22.2.2配方法

教學(xué)目標(biāo)＜：?<

1.使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程.

2.在配方法的應(yīng)用過程中體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能.

重后難Q＜：?<

重點(diǎn)

使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程.

難點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法.

教學(xué)設(shè)計(jì)<

一、情境引入

教師多媒體展示問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

問題要使一塊矩形場(chǎng)地的長比寬多6///,并且面積為16分,場(chǎng)地的長和寬分別是多

少？

解：設(shè)場(chǎng)地的寬為xm,則長為(x+6)m,

根據(jù)矩形面積為16亂得到方程x(x+6)=16,

整理得到xy6x—16=0.

二、探究新知

教師多媒體展示問題，用問題喚起學(xué)生的回憶，明確該問題的特點(diǎn).

探究如何解方程X2+6X-16=0?

問題1通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們現(xiàn)在會(huì)解什么樣的一元二次方程？舉例說明.

【教學(xué)說明】用問題喚起學(xué)生的回憶，明確我們現(xiàn)在會(huì)解的一元二次方程的特點(diǎn)：等號(hào)

左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，即(x+m)2=n(n>0),運(yùn)用直接開平方法可

求解.

問題2你會(huì)用直接開平方法解下列方程嗎？

⑴(x+3)z=25；

(2)x?+6x+9=25；

(3)x'+6x=16；

(4)x2+6x—16=0.

教師重點(diǎn)講解第3小題.

解：移項(xiàng)，得x?+6x=16,

兩邊都加上9即一(|尸，

使左邊配成x'+bx+板的形式，得

x2+6x+9=16+9,

左邊寫成完全平方形式，得

(X+3)2=25,

開平方，得x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5,

解一次方程得必=2,X2=-8.

【歸納總結(jié)】將方程左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，從

而可以直接開平方求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

教師展示課件，讓學(xué)生自主完成以下例題，小組展示，教師點(diǎn)評(píng)歸納.

例1填空：

(1)X2+8X+16=(X+4)4

(2)x-—x+_=_=(x—_=_)2；

(3)4X2+4X+1=(2X+1)2.

例2解下列方程：

(1)X2+6X+5=0；(2)2X2+6X+2=0；

(3)(1+X)2+2(1+X)-4=0.

解：(l)xi=-1,x2=-5；

_2,X2=-y[5—2.

【歸納總結(jié)】利用配方法解方程應(yīng)該遵循的步驟：

(1)把方程化為一般形式af+bx+cn。；

(2)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

(3)方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；

(4)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

(5)此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用直接開平方法來解.

三、練習(xí)鞏固

學(xué)生獨(dú)立解答以下練習(xí)，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路.

1.用配方法解下列方程：

(l)2x2—4x—8=0；

(2)(—4x+2=0；

(3)x2—^x—1=0.

2.如果x°—4x+y2+6y+Mz+2+13=0,求(xy)"的值.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.用配方法解一元二次方程的步驟.

2.用配方法解一元二次方程的注意事項(xiàng).

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教學(xué)反思<：?<

本節(jié)課先創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入一元二次方程的解法，引導(dǎo)學(xué)生將要解決的問題轉(zhuǎn)化為己學(xué)過的

直接開平方法來解，從而探索出配方法的一般步驟，熟練運(yùn)用配方法來解一元二次方程.

22.2.3公式法

教與目標(biāo)：?<

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念.

2.會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

事占難占

(ii?ACEfii?：?<

重點(diǎn)

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點(diǎn)

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

:?<

一、情境引入

用配方法解方程:

(1)X2+3X+2=0；(2)2x2—3x+5=0.

解：(1)X1=-1,X2=—2；(2)無解.

二、探究新知

教師多媒體展示問題，引導(dǎo)學(xué)生利用配方法推出求根公式，學(xué)生小組展示.

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=O(a^O),你能否用上面配方法的步驟

求出它的兩根？

問題已知ax2+bx+c=0(aW0),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根治二士2^^2,

2a

_b_ylb>2—4ac

X2=2a

【分析】因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a(bǔ),b,c也當(dāng)成具體數(shù)字，

根據(jù)上面的解題步驟就可以推導(dǎo)下去.

探究一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此：

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax'+bx+cuO,當(dāng)b2—4ac20時(shí),

將a,b,c代入式子x=-U------就得到方程的根，當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)

根；

(2)x=一4*叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式；

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

教師板演第①小題，學(xué)生可自主完成余下的題目，小組展示，教師點(diǎn)評(píng).

例用公式法解下列方程：

①2X2-4X-1=0；②5X+2=3X*

③(x—2)(3x-5)=0;④4x?—3x+l=0.

解：①xi=l+W^,X2—1—2；

②xi=2,x2=—

5

③xi=2,X2=§;

④無解.

三、練習(xí)鞏固

教師展示課件，學(xué)生自主完成，小組內(nèi)交流.用公式法解下列方程:

(1)X2+X-12=0；

(2)X2—^/2x--=0；

(3)X2+4X+8=2X+11；

(4)x(x—4)=2—8x；

(5)x2+2x—0；

⑹x'+2mx+10=0.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.求根公式的概念及其推導(dǎo)過程.

2.公式法的概念.

3.應(yīng)用公式法解一元二次方程.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教與反思<

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要求學(xué)生主動(dòng)參與，認(rèn)真思考，比較觀察，交流與表述，體驗(yàn)知識(shí)獲取

的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用師生的雙邊活動(dòng)，適時(shí)調(diào)試，從而提高學(xué)習(xí)效率.

22.2.4一元二次方程根的判別式

教學(xué)目標(biāo)

1.能運(yùn)用根的判別式，判斷方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證.

2.會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍.

重點(diǎn)

根的判別式的正確理解與應(yīng)用.

難點(diǎn)

含字母系數(shù)的一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.

教學(xué)設(shè)計(jì)V

一、情境引入

教師多媒體展示，回顧已有知識(shí).

用公式法解下列一元二次方程：

(1)X2+5X+6=0；

(2)9x2—6x+l=0；

(3)x*—2x+3=0.

解：(l)xi=-2,X2——3；

/、1

(2)xi=x2=g；

⑶無解.

二、探究新知

教師課件展示，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，需先確定a,b,c的值，然后

求出b2-4ac的值，它能決定方程是否有解，我們把b'-4ac叫做一元二次方程根的判別式,

通常用符號(hào)“△”來表示，即△=b2-4ac.

我們回顧一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程發(fā)現(xiàn)：

:

,,bs2b-4ac

【歸納結(jié)論】(1)當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:

—bH-Jb2-4ac—b-\/b2-4ac

x尸2a'*2=2a；

(2)當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：

b

x尸X2=J；

(3)當(dāng)△<()時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

例1利用根的判別式判定下列方程的根的情況：

3

(l)2x2—3x--=0；(2)16x‘-24x+9=0；

(3”2-44+9=0;(4)3X2+10X=2X2+8X.

解：(D有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)無實(shí)數(shù)根；

(4)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

三、練習(xí)鞏固

教師多媒體展示問題，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，學(xué)生小組內(nèi)交流.

1.方程xZ-4x+4=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

2.已知x2+2x=m—1沒有實(shí)數(shù)根，求證：x2+mx=l—2m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1.用判別式判定一元二次方程根的情況：

(l)A>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

(2)△=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)A<0時(shí)，一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

2.運(yùn)用根的判別式解決具體問題時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為。這一隱含條件.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教學(xué)反思

本課時(shí)創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生充分感受理解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在教師適時(shí)

點(diǎn)撥下，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)歸納的過程中積極主動(dòng)地去探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意

識(shí)、創(chuàng)新精神及思維能力.

22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生在已有的一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，探索出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系及其關(guān)系的運(yùn)用.

2.通過觀察、實(shí)踐、討論等活動(dòng)，經(jīng)歷從觀察、判斷到發(fā)現(xiàn)關(guān)系的過程.

重點(diǎn)

一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運(yùn)用.

難點(diǎn)

一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運(yùn)用.

教學(xué)設(shè)計(jì)V

一、情境引入

教師課件展示，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

1.完成下列表格

X1+X2

方程XiX2X1?X2

X2—5x+6=02356

X2+3X-10=02—5-3-10

問題你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項(xiàng)）.

②設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為XI,X2,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

（x）+x2——p，Xi?X2=q.）

2.完成下列表格

Xi+x

方程X1X22Xi?x2

3

2X2-3X-2=02-1

~22

141

3X2-4X+1=0I

333

問題上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？（不成立）

請(qǐng)完善規(guī)律：

①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根

之積為常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比.）

②設(shè)方程ax?+bx+c=O的兩根為xi,X2,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

(Xl+x=-XI-X2=~.)

2aa

二、探究新知

教師多媒體展示，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)求根公式推出