重慶大學(xué)高等數(shù)學(xué)(工學(xué)類)中期試卷及參考答案

重慶大學(xué)2014版試卷標(biāo)準(zhǔn)格式第1頁共4頁命題人：組題人：審題人：命題人：組題人：審題人：命題時間：教務(wù)處制學(xué)院專業(yè)、班年級學(xué)號姓名公平競爭、誠實(shí)守信、嚴(yán)肅考紀(jì)、拒絕作弊封線密

20—20學(xué)年第學(xué)期開課學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)課程號：考試日期：考試時間：120分鐘題號一二三四五六七八九十總分得分考試提示考試提示1.嚴(yán)禁隨身攜帶通訊工具等電子設(shè)備參加考試；2.考試作弊，留校察看，畢業(yè)當(dāng)年不授學(xué)位；請人代考、替他人考試、兩次及以上作弊等，屬嚴(yán)重作弊，開除學(xué)籍。一．單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)，則【D】（A）（B）（C）（D）2.若函數(shù)有，則當(dāng)時，該函數(shù)在處的微分是【D】（A）與等價的無窮?。˙）與同階的無窮?。–）比低階的無窮小（D）比高階的無窮小3.若，則方程【B】（A）無實(shí)根（B）有唯一實(shí)根（C）有三個不同實(shí)根（D）有五個不同實(shí)根4.若，則【C】（A）（B）（C）（D）5.設(shè)兩函數(shù)和都在處取得極大值，則函數(shù)在處【D】（A）必取極大值（B）必取極小值（C）不可能取極值（D）不能確定是否取極值二．填空題（每小題3分，共15分）1.已知且，則的定義域?yàn)?.若，則3.已知當(dāng)時，與是等價無窮小，則常數(shù)4.若在上連續(xù)，則5.設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，則函數(shù)在處的切線斜率為三．判斷并說明理由（每小題4分，共12分）。1.設(shè)在的某個鄰域內(nèi)有定義，若存在，則在處可導(dǎo)。簡答：不對，例如則在間斷，因此在處是不可導(dǎo)，但2.若，則。簡答：錯，因?yàn)椋?.設(shè)和在內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且有間斷點(diǎn)，則必有間斷點(diǎn)。簡答：對，因?yàn)槿绻B續(xù)，于是，由連續(xù)函數(shù)的乘積必連續(xù)，知連續(xù)，與假設(shè)矛盾。四．計(jì)算題）1.。在處具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且求。解：=求曲線上對應(yīng)于點(diǎn)處的法線方程。解：當(dāng)時，，切線的斜率為：，法線的斜率為，所以法線的方程為：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)時，恒有，求解：由題設(shè)在區(qū)間內(nèi)有定義，又，令，得到，又而，由迫斂性定理可以知道故確定函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)個數(shù)。解：令當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得極大值，又，極大值在軸的上方。又，，由零點(diǎn)存在定理知在和內(nèi)分別有一個零點(diǎn).，所以在內(nèi)有兩個零點(diǎn).五．證明題1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo),且在上有求證在上有證明:任取,由泰勒公式其中.上面兩式相減得于是當(dāng)時,有即有2、設(shè)函數(shù)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明存在使得證明：在上滿足拉氏中值定理的條件，由拉氏中值定理，存在，使得令，則與在滿足柯西中值定理的條件，故由柯西中值定理，存在，使得，即由題設(shè)，知，從而應(yīng)用題（7分）汽車的前燈、探照燈、反射式的天文望遠(yuǎn)鏡以及日常生活中使用的手電筒，它們的反光鏡都是采用旋轉(zhuǎn)拋物面，即拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面。這種反光鏡有一個很好的光學(xué)特性，把光源放在拋物線的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后的光線變成了與對稱軸平行的光束，請用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來證明這個性質(zhì)。解：不妨設(shè)拋物線的方程為，它的焦點(diǎn)為由于拋物線關(guān)于