專題五 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用（B卷-能力提升）解析版

專題五指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用（B卷·能力提升）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________滿分：100分考試時間：100分鐘題號一二三總分得分注意事項：答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）評卷人得分一、選擇題：本題共8小題，每小題6分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如圖所示給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是(A)A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝2t2[解析]由散點圖可知，與指數(shù)函數(shù)擬合的最貼切，故選A．2．某地為加強環(huán)境保護，決定使每年的綠地面積比上一年增長10%，那么從今年起，x年后綠地面積是今年的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是(D)[解析]設(shè)今年綠地面積為m，則有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故選D．3．據(jù)報道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%，若按此規(guī)律，設(shè)2015年的湖水量為m，從2015年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為(C)A．y＝0.9eq\f(x,50) B．y＝(1－0.1eq\f(x,50))mC．y＝0.9eq\f(x,50)m D．y＝(1－0.150x)m[解析]設(shè)每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9eq\f(1,50)，x年后的湖水量為y＝0.9eq\f(x,50)m，故選C．4．某企業(yè)生產(chǎn)總值的月平均增長率為P，則年平均增長率為(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]設(shè)年平均增長率為x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故選C．5．設(shè)某產(chǎn)品2018年12月底價格為a元(a>0)，在2019年的前6個月，價格平均每月比上個月上漲10%，后6個月，價格平均每月比上個月下降10%，經(jīng)過這12個月，2019年12月底該產(chǎn)品的價格為b元，則a，b的大小關(guān)系是(A)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．不能確定[解析]由題意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故選A．6.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為(D)A．eq\f(p＋q,2) B．eq\f(1＋p1＋q－1,2)C．eq\r(pq) D．eq\r(1＋p1＋q)－1[解析]設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.7.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(單位:只)與引入時間x(單位:年)的關(guān)系為y=alog2(x+1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到（

）A．300只 B．400只 C．600只 D．700只【解析】將x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得，100=alog2(1+1)，解得a=100，所以y=100log2(x+1)所以當x=7時，y=100log2(7+1)=300.故選：A8.某工廠去年十二月份的產(chǎn)量為，已知月平均增長率為，則今年十二月份的產(chǎn)量比去年同期增加的倍數(shù)為（

）A． B． C． D．【解析】由于去年十二月份的產(chǎn)量為，且月平均增長率為，則今年十二月份的產(chǎn)量為，比去年同期增加的倍數(shù)為，故選A.第Ⅱ卷（非選擇題）評卷人得分二、填空題：本題共4小題，每小題6分，共24分．9．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：h，y表示病毒個數(shù))，則k＝__2ln2__，經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖為__1_024__個．[解析]∵當t＝0.5時，y＝2，∴2＝eeq\f(k,2)，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.當t＝5時，y＝e10ln2＝210＝1024.10．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg、火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg的函數(shù)關(guān)系是v＝2000ln(1＋eq\f(M,m))．當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的__e6－1__倍時，火箭的最大速度可達12km/s.[解析]設(shè)M＝tm，則有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.11.隨著我國經(jīng)濟的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為________元.(精確到個位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)【解析】設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，依題意有y＝3000×1.06x，因為2014年年底到2021年年底經(jīng)過了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.故答案為：450012.在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過天以后，該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的倍，那么經(jīng)過天后該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的_____【解析】某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的6倍，設(shè)湖泊中原來藍藻數(shù)量為，則，經(jīng)過60天后該湖泊的藍藻數(shù)量為：經(jīng)過60天后該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的36倍.故答案為：36倍評卷人得分解答題：本題共2小題，共28分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.13．（14分）有甲、乙兩個水桶，開始時水桶甲中有aL水，水桶乙中無水，水通過水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，tmin后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝ae－nt，假設(shè)過5min時水桶甲和水桶乙的水相等，求再過多長時間水桶甲中的水只有eq\f(a,8).[解析]由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，設(shè)再過t分鐘水桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，所以e－n(t＋5)＝eq\f(1,8)＝(eq\f(1,2))3＝e－15n，∴t＋5＝15，∴t＝10.∴再過10分鐘水桶甲中的水只有eq\f(a,8).14．（14分）為了預(yù)防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能回到教室．[解析](1)∵藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y與時間t成正比，∴設(shè)y＝kt，代入點(0.1,1)，得k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．同理，將點