2024-2025學年高中數(shù)學第2章概率1離散型隨機變量及其分布列第1課時隨機變量學案北師大版選修2-3

PAGE1-第1課時隨機變量學習目標核心素養(yǎng)1.理解隨機變量的含義．(重點)2．了解隨機變量與函數(shù)的區(qū)分與聯(lián)系．(易混點)3．會用隨機變量描述隨機現(xiàn)象．(難點)通過對隨機變量的學習，培育“數(shù)學抽象”、“邏輯推理”的數(shù)學素養(yǎng).1．隨機變量的定義將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結果都對應于一個數(shù)，這種對應稱為一個隨機變量．2．隨機變量通常用大寫的英文字母如X，Y來表示．思索：隨機變量與函數(shù)有什么區(qū)分與聯(lián)系？[提示]區(qū)分：隨機變量是把試驗結果映射為實數(shù)，函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的映射．聯(lián)系：隨機變量與函數(shù)都是特別的映射．1．推斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個． ()(2)在拋擲一枚質地勻稱的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機變量． ()(3)隨機變量是用來表示不同試驗結果的量． ()[解析](1)√因為隨機變量的每一個取值，均代表一個試驗結果，試驗結果有有限個，隨機變量的取值就有有限個，試驗結果有無限個，隨機變量的取值就有無限個．(2)√因為擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結果是正面對上或反面對上，以一個標準如正面對上的次數(shù)來描述這一隨機試驗，那么正面對上的次數(shù)就是隨機變量ξ，ξ的取值是0,1.(3)√因為由隨機變量的定義可知，該說法正確．[答案](1)√(2)√(3)√2．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，不放回地從袋中每次隨意取出1個球，直到取出的球是白球為止，所須要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5B[由于取到白球嬉戲結束，那么取球次數(shù)可以是1,2,3，…，7，故選B.]隨機變量的概念【例1】推斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)北京國際機場候機廳中2020年5月1日的旅客數(shù)量；(2)2020年1月1日到6月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(3)2020年6月1日濟南到北京的某次動車到北京站的時間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．[解](1)旅客人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量．(2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量．(3)動車到達的時間可在某一區(qū)間內任取一值，是隨機的，因此是隨機變量．(4)球的體積為1000cm3時，球的半徑為定值，不是隨機變量．對隨機變量的理解應留意把握如下幾點隨機變量其實是一種映射，是隨機試驗結果到實數(shù)之間的映射，因此我們可以這樣理解，隨機試驗的結果相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域．1．推斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)擲兩次骰子，兩次結果的和；(2)2024年高考中，某考生解答Ⅰ卷所用的時間；(3)濟南長途客運總站候車廳中一天的旅客數(shù)量；(4)標準大氣壓下，水沸騰的溫度．[解](1)擲兩次骰子，兩次結果的和可能是2,3,4，…12，出現(xiàn)哪一個結果都是隨機的，是隨機變量．(2)解答Ⅰ卷所用時間在(0,120](單位：min)的范圍之內，是隨機變量．(3)候車廳中旅客數(shù)量可能是0,1,2，…出現(xiàn)哪個結果是隨機的．因此是隨機變量．(4)標準大氣壓下，水沸騰的溫度是定值，不是隨機變量．隨機變量的可能取值及試驗結果[探究問題]1．拋擲一枚質地勻稱的硬幣，可能出現(xiàn)正面對上、反面對上兩種結果．這種試驗結果能用數(shù)字表示嗎？[提示]可以．用數(shù)字1和0分別表示正面對上和反面對上．2．在一塊地里種10棵樹苗，設成活的樹苗數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．拋擲一枚質地勻稱的骰子，出現(xiàn)向上的點數(shù)為ξ，則“ξ≥4”表示的隨機事務是什么？[提示]“ξ≥4”表示出現(xiàn)的點數(shù)為4點，5點，6點．【例2】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值和所表示的隨機試驗的結果．(1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，直到取出的球是白球為止，所須要的取球次數(shù)；(2)從標有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．思路探究：eq\x(\a\al(分析,題意))→eq\x(\a\al(寫出X可,能取的值))→eq\x(\a\al(分別寫出取值,所表示的結果))[解](1)設所需的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到紅球，第i次取到白球，這里i＝1,2，…，11.(2)設所取卡片上的數(shù)字和為X，則X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示“取出標有1,2的兩張卡片”；X＝4，表示“取出標有1,3的兩張卡片”；X＝5，表示“取出標有2,3或1,4的兩張卡片”；X＝6，表示“取出標有2,4或1,5的兩張卡片”；X＝7，表示“取出標有3,4或2,5或1,6的兩張卡片”；X＝8，表示“取出標有2,6或3,5的兩張卡片”；X＝9，表示“取出標有3,6或4,5的兩張卡片”；X＝10，表示“取出標有4,6的兩張卡片”；X＝11，表示“取出標有5,6的兩張卡片”．用隨機變量表示隨機試驗的結果問題的關鍵點和留意點(1)關鍵點：解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的全部可能取值，以及取每一個值時對應的意義，即一個隨機變量的取值可能對應一個或多個隨機試驗的結果．(2)留意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結果．2．寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．(1)一袋中裝有5個同樣大小的球，編號為1,2,3,4,5，現(xiàn)從該袋內隨機取出3個球，被取出的球的最大號碼數(shù)ξ；(2)電臺在每個整點都報時，報時所需時間為0.5分鐘，某人隨機打開收音機對時間，他所等待的時間ξ分鐘．[解](1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3個球的編號為1,2,3；ξ＝4，表示取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內任何一個值，每一個可能取值表示他所等待的時間．1．所謂的隨機變量就是試驗結果和實數(shù)之間的一個對應關系，隨機變量是將試驗的結果數(shù)量化，變量的取值對應于隨機試驗的某一個隨機事務．2．寫隨機變量表示的結果，要看三個特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗之前可以推斷其可能出現(xiàn)的全部值；(3)在試驗之前不能確定取值.1．將一顆質地勻稱的骰子擲兩次，隨機變量為()A．第一次出現(xiàn)的點數(shù) B．其次次出現(xiàn)的點數(shù)C．兩次出現(xiàn)點數(shù)之和 D．兩次出現(xiàn)相同點的種數(shù)C[A、B中出現(xiàn)的點數(shù)雖然是隨機的，但它們取值所反映的結果，都不是本題涉及試驗的結果．D中出現(xiàn)相同點數(shù)的種數(shù)就是6種，不是變量．C整體反映兩次投擲的結果，可以預見兩次出現(xiàn)數(shù)字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，這11種結果，但每擲一次前，無法預見是11種中的哪一個，故是隨機變量，選C.]2．已知Y＝2X為離散型隨機變量，Y的取值為1,2,3，…，10，則X的取值為________.eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)，4，eq\f(9,2)，5[由Y＝2X知，X為Y的一半，所以X的取值為eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)，4，eq\f(9,2)，5.]3．甲進行3次射擊，甲擊中目標的概率為eq\f(1,2)，記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為________．0,1,2,3[甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]4．從標有1～10的10支竹簽中任取2支，設所得2支