高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第03講721三角函數(shù)的定義

7.2.1三角函數(shù)的定義TOC\o"13"\h\u題型1三角函數(shù)的定義 2◆類型1利用定義求三角函數(shù)值 2◆類型2單位圓與三角函數(shù)值 3◆類型3利用三角函數(shù)值求參數(shù) 6◆類型4三角函數(shù)定義的其他應(yīng)用 9◆類型5終邊在一條直線上的三角函數(shù)值 14◆類型6特殊角的三角函數(shù)值 14◆類型7對稱相關(guān)的考點(diǎn) 17題型2利用象限角判斷三角函數(shù)的符號 18◆類型1判定三角函數(shù)值的符號 18◆類型2判定點(diǎn)的象限 21◆類型3判定角的象限 22◆類型4由點(diǎn)的象限判定角的象限 26◆類型5化簡求值 27◆類型6取值范圍問題 30題型3圓上的動點(diǎn)問題 31知識點(diǎn)一.任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．注意：三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).步驟：1.計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，2.sinα=yx知識點(diǎn)二.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號1．圖示：口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．題型1三角函數(shù)的定義【方法總結(jié)】求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)及其到原點(diǎn)的距離．當(dāng)已知坐標(biāo)含參數(shù)時需注意分類討論.）◆類型1利用定義求三角函數(shù)值【例題1】α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．【解析】由已知可得|OP|＝eq\r(－32＋－42)＝5.如圖所示，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0(x，y)．分別過點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，則|MP|＝4，|M0P0|＝－y，|OM|＝3，|OM0|＝－x，△OMP∽△OM0P0，于是，sinα＝y(tǒng)＝eq\f(y,1)＝－eq\f(|M0P0|,|OP0|)＝eq\f(－|MP|,|OP|)＝－eq\f(4,5)；cosα＝x＝eq\f(x,1)＝－eq\f(|OM0|,|OP0|)＝eq\f(－|OM|,|OP|)＝－eq\f(3,5)；tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).【變式11】1．（2023·高一課時練習(xí)）若角α的終邊過點(diǎn)6,?8，則cosα=______，【答案】

35##0.6

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)6,?8，所以cosαtanα=?86=?【變式11】2.（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P?3,4，則sinA．?65 B．1 C．2【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義可得sinα=45，【詳解】由?32+42=5，得sinα=故選：A【變式11】3．(多選)（2023秋·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=logax?2+2(a>0且aA．13+34 B．13+32 C．【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)過的定點(diǎn)，再利用三角函數(shù)的定義求出sinθ和tan【詳解】根據(jù)題意可知函數(shù)fx=log則A3,2或A當(dāng)點(diǎn)A3,2在角θ的終邊上，則sinθ=則1tan當(dāng)點(diǎn)A1,2在角θ的終邊上，則sinθ=則1tan故選：BD.◆類型2單位圓與三角函數(shù)值【例題12】已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，則sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)【答案】B【變式12】1.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P?310A．?21010 B．?1010 【答案】A【分析】利用角的終邊與單位圓相交來定義任意角的三角函數(shù)值.【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊與單位圓的交點(diǎn)P?令x=?所以sinα所以sinα故選：A.【變式12】2．（2023·高一課時練習(xí)）角5π4【答案】(?【分析】根據(jù)三角函數(shù)對于解決即可.【詳解】由題知，α=設(shè)角α=5π因?yàn)橛扇呛瘮?shù)定義知sinα所以y=sin所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(?2故答案為：(?【變式12】3．（2022秋·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谥校┙铅烈設(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓O相交于第四象限點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為45，則tan【答案】?34【分析】由角的終邊與單位圓交于P，故將P的坐標(biāo)求出，利用定義就可以求出tanα【詳解】由交α的終邊與單位圓O相交于第四象限點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為?3所以P(有定義可得tan故答案為：?3【變式12】4．（2021·全國·高一專題練習(xí)）如圖，過原點(diǎn)的直線與單位圓交于P,Q兩點(diǎn)，其中P點(diǎn)在角A．12 B．?12 C．3【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義可求出.【詳解】設(shè)Px,y，∵根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得cos2π3故選：B.【變式12】5．（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)n越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin5°的近似值為（

）A．π72 B．π48 C．π36【答案】C【分析】由題意在圓內(nèi)作內(nèi)接正三十六邊形后求解，【詳解】在單位圓中作內(nèi)接正三十六邊形，則每個等腰三角形的頂角為10°，底邊約為2π由題意得sin5°≈π故選：C◆類型3利用三角函數(shù)值求參數(shù)【例題13】（2023秋·廣東佛山·高一南海中學(xué)?？计谀┮阎铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(?8,m)，且tanA．35 B．?35 C．?【答案】C【分析】由tanα=?3【詳解】解：因?yàn)閠anα=?m所以cosα【變式13】1.（2023春·湖南永州·高一永州市第四中學(xué)校考開學(xué)考試）已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點(diǎn)P?55A．?55 B．55 C．?【答案】C【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P?55【詳解】∵P?終邊在第三象限所以m<0，m=?255故選：C【變式13】2．（多選）（2021秋·江蘇徐州·高一校考階段練習(xí)）已知角α終邊上一點(diǎn)Px,5，且cosA．104 B．?104 C．0【答案】AD【分析】由cosα=x【詳解】根據(jù)三角形函數(shù)定義可知，r=x2+5，cosα當(dāng)x=0時，r=x當(dāng)x2=3時，r=故選：AD．【變式13】3.（2022秋·廣東廣州·高一?？计谀┮阎铅恋捻旤c(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過單位圓上的點(diǎn)x0,y0，若A．?12 B．12 C．?【答案】C【分析】根據(jù)終邊經(jīng)過點(diǎn)x0,y【詳解】因?yàn)榻铅两K邊經(jīng)過點(diǎn)x0,y0，且∴r=x解得y故選：C【變式13】4.（2022秋·上海寶山·高一?？计谀┮阎铅恋慕K邊上一點(diǎn)P?4a,3a，【答案】±1【分析】利用三角函數(shù)的定義，求得正弦值與余弦值，可得答案.【詳解】由角α的終邊上一點(diǎn)P?4當(dāng)a>0時，sinα=3a當(dāng)a<0時，sinα=3a故答案為：±1.【變式13】5.（2022秋·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(3m,1?m)【答案】110【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，即可得出.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得tanθ解得，m=故答案為：110【變式13】6．（2022秋·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)Px?y(1)求x+(2)求x2【答案】(1)?2(2)2【分析】由三角函數(shù)的定義與基本不等式求解即可【詳解】（1）由題意得：x即x2+y解得?2≤x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=?1所以x+y（2）由x2+y2?xy=1可變形為x◆類型4三角函數(shù)定義的其他應(yīng)用【例題14】有下列命題，其中正確的個數(shù)是()①終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等；②同名三角函數(shù)值相等的角也相等；③終邊不相同，它們的同名三角函數(shù)值一定不相等；④不相等的角，同名三角函數(shù)值也不相等．A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】對于①，由誘導(dǎo)公式一可得正確；對于②，由sin30°＝sin150°＝eq\f(1,2)，但30°≠150°，所以②錯誤；對于③，如α＝60°，β＝120°的終邊不相同，但sin60°＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，所以③錯誤；對于④，由③中的例子可知④錯誤．【變式14】1.（2023·高一課時練習(xí)）以下四個命題：①終邊相同的角的同角三角比值相等；②終邊不同的角的同角三角比值不等；③若sinα>0，則④若α是第二象限角，P（x，y）是其終邊上的一點(diǎn)，則cosα其中正確命題的個數(shù)是________．【答案】1【分析】按照任意角三角函數(shù)的定義以及運(yùn)算規(guī)則即可.【詳解】①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等，故比值相等——正確；②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等——錯誤，如sinπ③α終邊可能在y軸非負(fù)半軸上，故錯誤.④余弦值應(yīng)為xx2+故答案為：1【變式14】2.（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形較小的銳角為α，則sinαcosα的值為（

）A．15 B．25 C．55【答案】B【分析】根據(jù)題意求出直角三角形的兩條直角邊，即可求出答案.【詳解】設(shè)直角三角形的短邊為x，一個直角三角形的面積為100?204小正方形的面積為20，則邊長為25直角三角形的面積為12則直角三角形的長邊為45故sinα即sinα故選：B.【變式14】3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOBA．31010； B．12； C．13；【答案】D【分析】取格點(diǎn)C，連接AC,【詳解】如圖：取格點(diǎn)C，連接AC,BC可得O,因?yàn)檎叫尉W(wǎng)格邊長為1，所以AC=2，所以sin∠故選：D【變式14】4．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，D為Rt△ABC的AC邊上的一點(diǎn)，∠DBC=∠A，AC=4A．154 B．125 C．9【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)定義和勾股定理，先在△ABC中求出BC,再在△BCD中求【詳解】∵Rt△ABC∴AC∴ABRt△BCD中，∠DBC=∠∴3故選:A.【變式14】5．（2023·高一課時練習(xí)）如果三角形有一邊上的中線長等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A=【答案】32或【分析】分析可知BC邊上的中線長等于BC邊長的，分兩種情況討論：①AB邊上的中線長等于AB邊的長；②AC邊上的中線長等于AC的長.根據(jù)邊長關(guān)系可求得tan∠ABC【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°，則BC取AB的中點(diǎn)D，連接CD，不妨設(shè)AB邊上的中線長CD=設(shè)AD=BD=m，則故tan∠ABC若AC邊上的中線長等于AC邊的長，同理可得tan∠ACB=AB故答案為：32或2【變式14】6．（2023·高一課時練習(xí)）在銳角△ABC中，∠B、∠C對邊分別為b、c【答案】證明見解析【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)可得出AD=【詳解】證明：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)由銳角三角函數(shù)的定義可得sinB=ADc，則所以，csinB=◆類型5終邊在一條直線上的三角函數(shù)值【例題15】角α的終邊落在直線y=2x上，則sinα的值為()A．－eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5)D．±eq\f(2\r(5),5)【正解】D當(dāng)角的終邊在第一象限時，在角的終邊上取點(diǎn)P(1,2)由r=|OP|=得sinα=25=255,當(dāng)角的終邊在第三象限時，在角的終邊上取點(diǎn)Q（1，2),r=|OQ|=(?【變式15】（2022·高一課時練習(xí)）已知角α的終邊在射線y=3x【答案】

32

1【分析】求出角的終邊y=【詳解】設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,又y=3x于是sinα=y故答案為：32；◆類型6特殊角的三角函數(shù)值【例題16】若420°角的終邊所在直線上有一點(diǎn)(－4，a)，則a的值為．【答案】－4eq\r(3)【解析】由三角函數(shù)定義知，tan420°＝－eq\f(a,4)，又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝eq\r(3)，∴－eq\f(a,4)＝eq\r(3)，∴a＝－4eq\r(3).【變式16】1.（2022秋·湖北·）已知點(diǎn)Pcosπ3,1是角A．55 B．32 C．12【答案】D【分析】先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.【詳解】依題意點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,1，OP=故選：D.【變式16】2.（2022·全國·）如果角α的終邊過點(diǎn)P2sin60°,?2cos60°，則cosA．?12 B．12 C．?【答案】D【分析】先算點(diǎn)P坐標(biāo)，然后由三角函數(shù)定義可得.【詳解】由題可得P(因?yàn)閞所以cosα故選：D【變式16】3.（2022秋·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）若點(diǎn)Psinπ6,1A．33 B．1 C．π6 【答案】B【分析】先根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出P點(diǎn)坐標(biāo),再應(yīng)用任意角三角函數(shù)定義求出正切即可.【詳解】因?yàn)閟inπ6所以由三角函數(shù)定義可知tan故選:B.【變式16】4.（2023秋·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．若角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為?cosπ3,sinA．?22 B．1 C．22【答案】D【分析】計(jì)算得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義計(jì)算得到答案．【詳解】P?cosπ3,sinπ故選：D．【變式16】5.（2022春·山東日照·高一校聯(lián)考期末）若點(diǎn)P(?4,a)A．43 B．?43 C．±43【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出方程，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)定義，可得tan240°=a?4，解得故選：B.【變式16】6．（多選）（2023秋·河南鄭州·高一?？计谀┮阎铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)PsinA．cosα=55 B．sinα=【答案】ACD【分析】先化簡點(diǎn)P坐標(biāo),再根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得sinα,cosα,進(jìn)而求得【詳解】解:由題知Psin120°因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P,所以sintanα=sin故選:ACD◆類型7對稱相關(guān)的考點(diǎn)【例題17】（2021·高一課時練習(xí)）若α、β的終邊關(guān)于y軸對稱，則下列等式成立的是（）A．sinα=sinβC．sinα=cosβ【答案】A【分析】確定兩角的終邊與單位圓交點(diǎn)的關(guān)系，利用三角函數(shù)的定義可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)Pm,n，則角β則cosβ=?m當(dāng)m≠0時，tan故選：A.【變式17】1．若點(diǎn)P（cosθ，sinθ)與點(diǎn)Q（cos(θ+π6【答案】5【分析】根據(jù)給定條件可得θ角的終邊與θ+π6【詳解】因點(diǎn)P(cosθ,sinθ)即cos(θ+π6)=?cosθ，且sin(θ即θ+π6所以當(dāng)k=0時，絕對值最小的θ值為5故答案為：5【變式17】2.若點(diǎn)A（cosθ，sinθ）與B(cos(θ+π【答案】1112【分析】作圖，數(shù)形結(jié)合得到2θ【詳解】解：因?yàn)锳（cosθ，sinθ）與B(cos(θ+π設(shè)圓與x軸交于P?Q兩點(diǎn)，A在第二象限，B在第三象限，如圖所示：則∠AOP=θ，∠AOB=π6因?yàn)锳?B關(guān)于x軸對稱，所以∠BOP=θ，所以2θ+π6=2π，解得θ=11則符合題意的θ的一個值可以為1112故答案為：1112π題型2利用象限角判斷三角函數(shù)的符號◆類型1判定三角函數(shù)值的符號【例題21】下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cosπ.其中符號為負(fù)的有()A．1個B．2個C．3個D．4個【解析】D－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)π，－3π))，在第二象限，故tan(－10)<0，cosπ＝－1<0.【變式21】1．（2022秋·福建廈門·高一廈門外國語學(xué)校?？计谀┤齻€數(shù)sin1.5·sin2·sin3.1，cos4.1·cos5·cos6，tan7·tan8·tan9中，值為負(fù)數(shù)的個數(shù)有個（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】計(jì)算出題目中角度的終邊所在象限，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)確定符號即可.【詳解】0<1.5<ππ<4.1<∴cos4.1·cos5·cos6<0；2πtan7·tan8·tan9>0；只有一個負(fù)數(shù)，故選：B.【變式21】2.（2023·高一課時練習(xí)）cos5【答案】>【分析】根據(jù)角所在象限，判斷符號即可求解.【詳解】因?yàn)?π6為第二象限角，11π則cos5π6<0所以cos5故答案為：>.【變式21】3．（2023·高一課時練習(xí)）如果θ是第二象限角，則sincos【答案】負(fù)【分析】由θ是第二象限角，可得0<sinθ<1，?1<cosθ【詳解】解：因?yàn)棣仁堑诙笙藿牵?<sinθ<1，所以sin(cosθ所以sincos故答案為：負(fù).【變式21】4．（2023·高一課時練習(xí)）已知sinαsinα【答案】負(fù)【分析】分sinα>0,cosα>0、sinα【詳解】由題意可得sinα若sinα>0,cosα若sinα>0,cosα若sinα<0,cosα若sinα<0,cosα故sinα>0,cosα所以sinα所以sinα◆類型2判定點(diǎn)的象限【例題22】（2022秋·河南·高一校聯(lián)考期末）點(diǎn)Acos2023°,tan8A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角確定角度2023°與弧度8所在的象限，從而得cos2023°<0，tan8<0，即可知點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的象限位置.【詳解】解：因?yàn)?023°=360°×5+223°，180°<223°<270°，故2023°為第三象限角，故cos2023°<0，因?yàn)?與8?2π≈1.72終邊相同，又π2<1.72<π，故8是第二象限角，故故選：C.【變式22】1．（2022秋·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）已知角α的終邊過點(diǎn)P(sin2,cos2)，則αA．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根據(jù)已知判斷角的終邊所在象限，即可判斷出答案.【詳解】由已知角α的終邊過點(diǎn)P(sin2,cos2)因?yàn)棣?<2<π，所以故角α的終邊在第四象限，∴α是第四象限角，故選∶D．【變式22】2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)Psin95°,cos95°，則角α【答案】四【分析】根據(jù)95°是第二象限角，確定點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的正負(fù)，進(jìn)而得到點(diǎn)P【詳解】因?yàn)?5°是第二象限角，所以sin95°>0,cos95°<0所以點(diǎn)Psin95°,cos95°所以α是第四象限角，故答案為：四◆類型3判定角的象限【例題23】（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）若sinα<0,cosαA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的正負(fù)性求解即可.【詳解】因?yàn)閟inα<0，所以α在第三象限或第四象限，或因?yàn)閏osα<0，所以α在第二象限或第三象限，或所以α是第三象限角.故選：C【變式23】1.（2023秋·湖南長沙·高一校考期末）“α為第一象限角”是“tanαA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)在各個象限的符號，結(jié)合充分條件、必要條件的概念，即可得出答案.【詳解】若α為第一象限角則必有tanα反之，若tanα>0，則故選：A.【變式23】2.（2021春·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）sinθA．tanθ<0，θ可能是二，四象限 B．tanθC．tanθ<0，θ可能是三，四象限角的 D．tanθ【答案】A【分析】題目考察任意角三角函數(shù)的定義，由各個象限角三角函數(shù)的正負(fù)即可判斷【詳解】由sinθcosθ<0可得，sinθ與cosθ異號，所以tanθ=sinθcosθ<0，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可知，角θ為第一象限角時，sinθ>0，cosθ>0，不符合題意；角θ為第二象限角時，sin故選：A【變式23】3．（2023秋·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀┮阎猻inθtanθ【答案】二或三【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)在各個象限的符號，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閟inθtanθ<0，即所以θ為第二或第三象限，故答案為:二或三【變式23】4．（2022秋·河北廊坊·高一河北省文安縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）sinα>0是【答案】必要不充分【分析】若sinα>0，則α的終邊落在第一、二象限或y軸的正半軸，故由sinα【詳解】如α=π2，則sinα>0，但α若α的終邊落在第一、二象限，則sinα故sinα>0是故答案為：必要不充分【變式23】5.已知tanα>0，且sinα＋cosα>0，則α屬于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】由三角函數(shù)的定義可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)>0,\f(x,r)＋\f(y,r)>0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy>0,x＋y>0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0)).∴α為第一象限的角，故選A．【變式23】6.（2021春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）若角θ滿足sinθ|sinθA．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角【答案】C【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系得出sinθ<0且cosθ【詳解】∵角θ滿足sinθ∴?sin∴{sin∴θ故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)在各象限的符號和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,難度較易.【變式23】7.（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若lg[sin?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)sinθ【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可知：sin?θcosθ>0又sin(?θ)=?sinθ所以θ角是第二象限角.故選：B【變式23】8.（1990·上海·高考真題）設(shè)α角屬于第二象限，且cosα2=?cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)α為第二象限角可求得α2為第一或第三象限角，由cos【詳解】∵α為第二象限角，∴∴45當(dāng)k=2nn∈Z時，α∴α∵cosα2=?cosα故選：C.◆類型4由點(diǎn)的象限判定角的象限【例題24】（2022秋·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角α的終邊過點(diǎn)P(sin2,cos2)，則αA．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根據(jù)已知判斷角的終邊所在象限，即可判斷出答案.【詳解】由已知角α的終邊過點(diǎn)P(sin2,cos2)因?yàn)棣?<2<π，所以故角α的終邊在第四象限，∴α是第四象限角，故選∶D．【變式24】1.已知點(diǎn)在第三象限，則角在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D由題意，，由①知，為第三、第四或軸負(fù)半軸上的角；由②知，為第二或第四象限角．則角在第四象限．【變式24】2.已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第四象限，則角α的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】C因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α的終邊在第三象限．【變式24】3．如果點(diǎn)P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】∵P點(diǎn)位于第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ<0，,sinθ·cosθ>0，))則有sinθ<0且cosθ<0，∴角θ位于第三象限．◆類型5化簡求值【例題25】（2018春·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)y=A．{1，2} B．{–2，0，2} C．{–2，2} D．{0，1，2}【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)四個象限符號去掉絕對值.【詳解】當(dāng)角x是第一象限的角時，y=當(dāng)角x是第二象限的角時，y=當(dāng)角x是第三象限的角時，y=當(dāng)角x是第四象限的角時，y=綜上可知函數(shù)的值域是{–2，0，2}，故選：B．【變式25】1．（2022春·廣西桂林·高一?？计谀┮阎螹=s|A．2個 B．4個 C．8個 D．16個【答案】B【分析】根據(jù)x為象限角分四種情況討論可得集合M，進(jìn)而可求子集個數(shù).【詳解】因?yàn)閟=所以sinx所以x為象限角，若x為第一象限角，則sinx所以s=1+1+1=3若x為第二象限角，則sinx所以s=1?1?1=?1若x為第三象限角，則sinx所以s=?1?1+1=?1若x為第四象限角，則sinx所以s=?1+1?1=?1所以M=?1,3，所以集合M的子集個數(shù)為故選:B.【變式25】2．（多選）（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校校考期末）y=2A．2 B．3 C．?4 D．0【答案】ACD【分析】根據(jù)x的不同取值去絕對值即可求解.【詳解】當(dāng)x是第一象限角時，sinx,cosx當(dāng)x是第二象限角時，sinx大于0，cosx,tan當(dāng)x是第三象限角時，sinx,cosx小于0，tan當(dāng)x是第四象限角時，sinx,tanx小于0，cos故選：ACD【變式25】3．（2022春·甘肅張掖·高一張掖市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=【答案】?2,0,2【分析】分類討論角x的象限即可求y的值域﹒【詳解】當(dāng)x是第一象限角時，sinx＞0，cosx＞0，∴y＝2；當(dāng)x是第二象限角時，sinx＞0，cosx＜0，∴y＝0；當(dāng)x是第三象限角時，sinx＜0，cosx＜0，∴y＝－2；當(dāng)x是第四象限角時，sinx＜0，cosx＞0，∴y＝0；∴y的值域?yàn)閧－2，0，2}．故答案為：{－2，0，2}﹒【變式25】4．（2023·高一課時練習(xí)）由sinα【答案】1,?3【分析】分α為第一、二、三、四象限角討論即可.【詳解】由題意得sinα≠0,cosα則α不與坐標(biāo)軸重合，當(dāng)α為第一象限角時，sinα∴sin當(dāng)α為第二象限角時，sinα∴sin當(dāng)α為第三象限角時，sinα∴sin當(dāng)α為第四象限角時，sinα∴sin故答案為：{1,?3}.【變式25】5．（2023·高一單元測試）若0<α<π【答案】1【分析】先判斷l(xiāng)og2【詳解】∵0<α<π2，∴0<sin故答案為：1◆類型6取值范圍問題【例題26】（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)?？计谥校┰O(shè)0≤α<2π，如果sinα<0且A．π<α<3π2 B．3π2<α<C．π4<α<3π4 D．5π4<α【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限符號判斷．【詳解】0≤αsinα<0，則π<αcos2α<0，則5π2故選：D．【變式26】（多選）（2022·高一課時練習(xí)）已知點(diǎn)P(sinθ?cosθ,tanA．π,5π4 B．π4,【答案】AB【分析】由題知θ位于第一象限或者第三象限，且滿足sinθ【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P(s