河北省定州市2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-含解析

2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12個(gè)小題；每小題3分，共36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列圖形中為軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．以下各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2，4，6 B．8，6，4 C．2，3，6 D．6，7，143．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，2），則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）4．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．5．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形6．多邊形每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，則從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有（）A．7條 B．8條 C．9條 D．10條7．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD8．如圖，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．如圖所示，一個(gè)直角三角形紙片，剪去這個(gè)直角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．150° B．180° C．240° D．270°10．如圖，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，那么∠DAC的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°11．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．2AD＝BC D．BE＝ED12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC邊上的高AD＝8，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，則EB+EF的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題（本大題共6個(gè)小題；每小題3分，共18分.把答案寫在題中橫線上）13．等腰三角形的頂角是50°，則它一腰上的高與底邊的夾角為．14．等腰三角形的周長為20cm，且一邊長為6cm，則它的腰長為．15．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，EF＝2，則BC的長為．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，且DA＝DB．若CD＝3，則BC＝．18．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為°．三、解答下列各題（本題有8個(gè)小題共66分）19．已知：如圖，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．求∠DAE的度數(shù)．20．如圖，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，若DB＝DC．求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．21．△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．22．已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE＝DF．23．如圖，是由4×4個(gè)大小完在一樣的小正方形組成的方格紙，其中有兩個(gè)小正方形是涂黑的，請?jiān)龠x擇三個(gè)小正方形并涂黑，使圖中涂黑的部分成為軸對(duì)稱圖形．并畫出它的一條對(duì)稱軸（如圖例．畫對(duì)一個(gè)得1分）24．如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點(diǎn)E，P．（Ⅰ）依題意補(bǔ)全圖形；（Ⅱ）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（Ⅲ）若PA＝x，PC＝y(tǒng)，求PB的長度（用x，y的代數(shù)式表示）．25．如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A，B外的任意一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．（1）求證：BD＝AE；（2）求證：△NMC是等邊三角形．26．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5．（1）求BC的長；（2）求證：BD＝CD．

參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．下列圖形中為軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義即可判斷．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形；B、不是軸對(duì)稱圖形；C、不是軸對(duì)稱圖形；D、是軸對(duì)稱圖形；故選：D．2．以下各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2，4，6 B．8，6，4 C．2，3，6 D．6，7，14【分析】看看是否符合三角形三邊關(guān)系定理即可．【解答】解：A、∵2+4＝6，∴以2、4、6為邊不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵8+6＞4，4+6＞8，8+4＞6，∴以8、6、4為邊能組成三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵2+3＜6，∴以2、3、6為邊不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵6+7＝13＜14，∴以6、7、14為邊不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，2），則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，2），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，2）．故選：A．4．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是A選項(xiàng)．故選：A．5．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【分析】設(shè)∠A＝2x，則∠B＝2x，∠C＝5x，再由三角形內(nèi)角和定理求出x的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠C的度數(shù)，由此判斷出△ABC的形狀即可【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，∴設(shè)∠A＝2x，則∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°．∴AC＝CB．∴△ABC是鈍角三角形，等腰三角形．故選：A．6．多邊形每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，則從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有（）A．7條 B．8條 C．9條 D．10條【分析】多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，多邊形的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，則每個(gè)外角是30度，而任何多邊形的外角是360°，則求得多邊形的邊數(shù)；再根據(jù)不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的連線就是對(duì)角線，則此多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有（n﹣3）條，即可求得對(duì)角線的條數(shù)．【解答】解：∵多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，∴每個(gè)外角是30°，∴多邊形邊數(shù)是360°÷30°＝12，則此多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有12﹣3＝9條．故選：C．7．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A為公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量關(guān)系可得AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因?yàn)镾SA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件．故選：D．8．如圖，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，再利用“HL”證明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2＝∠3．【解答】解：∵∠B＝90°，∠1＝30°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2＝∠3＝60°．故選：D．9．如圖所示，一個(gè)直角三角形紙片，剪去這個(gè)直角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．150° B．180° C．240° D．270°【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出∠3+∠4的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，計(jì)算出∠1+∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠5＝90°，∴∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，∵∠3+∠4+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故選：D．10．如圖，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，那么∠DAC的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD＝BD，求出∠BAD＝40°，代入∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD求出即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，∵D在AB的垂直平分線上，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣40°＝60°，故選：C．11．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．2AD＝BC D．BE＝ED【分析】根據(jù)等腰三角形頂角的角平分線與底邊的高、底邊的中線三線重合這一性質(zhì)，可得BD⊥AC，然后，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠C＝∠ADE，即可推出∠A＝∠C，由∠EDB＝∠DBC，結(jié)合已知，可推出∠EBD＝∠EDB，便可推出BE＝ED．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠A＝∠C，∠EBD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠C＝∠EDA，∠EDB＝∠DBC，∴∠A＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED．故選：C．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC邊上的高AD＝8，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，則EB+EF的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先連接CF，再根據(jù)EB＝EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得CF的長，即為FE+EB的最小值．【解答】解：連接CF，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC∴EB＝EC，當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，∴AD＝CF＝8，∴EF+BE的最小值為8，故選：D．二．填空題（共6小題）13．等腰三角形的頂角是50°，則它一腰上的高與底邊的夾角為25°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出等腰三角形的底角的度數(shù)，然后在一腰上的高與底邊所構(gòu)成的直角三角形中，可得出所求角的度數(shù)．【解答】解：如圖：△ABC中，AB＝AC，BD是邊AC上的高．∵∠A＝70°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°；在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠C＝65°；∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°．故答案為：25°14．等腰三角形的周長為20cm，且一邊長為6cm，則它的腰長為6cm或7cm．【分析】當(dāng)腰長＝6cm時(shí)，底邊＝20﹣6﹣6＝8cm，當(dāng)?shù)走叄?cm時(shí)，腰長＝＝7cm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可推出腰長．【解答】解：∵等腰三角形的周長為20cm，∴當(dāng)腰長＝6cm時(shí)，底邊＝20﹣6﹣6＝8cm，∴當(dāng)?shù)走叄?cm時(shí)，腰長＝＝7cm，故答案為6cm或7cm．15．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，進(jìn)而可得答案．【解答】解：延長BE交AC于F，∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故答案為：180°．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，EF＝2，則BC的長為12．【分析】連接AF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠C＝∠B＝30°，根據(jù)線段垂直平分線求出AF＝BF＝2EF＝4，求出CF＝2AF＝8，即可求出答案．【解答】解：連接AF，∵AC＝AB，∴∠C＝∠B＝30°，∵EF是AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴∠B＝∠FAB＝30°，∴∠CFA＝30°+30°＝60°，∴∠CAF＝180°﹣∠C﹣∠CFA＝90°，∵EF⊥AB，EF＝2，∴AF＝BF＝2EF＝4，∵∠C＝30°，∠CAF＝90°，∴CF＝2AF＝8，∴BC＝CF+BF＝8+4＝12，故答案為：12．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，且DA＝DB．若CD＝3，則BC＝9．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∵AD＝BD，∴AE＝BE，在Rt△AED與Rt△ACD中，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∴AB＝2AC，∴∠B＝30°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝6，∴BC＝9．18．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為72°．【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°故答案為72三．解答題（共8小題）19．已知：如圖，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．求∠DAE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AE是∠BAC的平分線，可得∠EAC的度數(shù)，在直角△ADC中，可求出∠DAC的度數(shù)，所以∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，即可得出．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠EAC＝∠BAC＝25°，∵AD是BC邊上的高，∴在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣80°＝10°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣10°＝15°20．如圖，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，若DB＝DC．求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．【分析】因?yàn)椤螦CB＝90°，DB＝DC，可求得∠A＝∠DCA，利用三角形中兩內(nèi)角相等來證AD＝DC，則可證得點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．【解答】證明：∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠DCB＝∠A+∠B＝90°∵DB＝DC∴∠DCB＝∠B∴∠ACD+∠B＝∠A+∠B＝90°∴∠A＝∠ACD∴AD＝DC∴AD＝DB∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．21．△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可得；（2）利用割補(bǔ)法求解可得．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．由圖可知A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（3，﹣2）；（2）S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝．22．已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE＝DF．【分析】連接AD，利用“邊邊邊”證明△ABD和△ACD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等證明即可．【解答】證明：如圖，連接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．23．如圖，是由4×4個(gè)大小完在一樣的小正方形組成的方格紙，其中有兩個(gè)小正方形是涂黑的，請?jiān)龠x擇三個(gè)小正方形并涂黑，使圖中涂黑的部分成為軸對(duì)稱圖形．并畫出它的一條對(duì)稱軸（如圖例．畫對(duì)一個(gè)得1分）【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：24．如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點(diǎn)E，P．（Ⅰ）依題意補(bǔ)全圖形；（Ⅱ）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（Ⅲ）若PA＝x，PC＝y(tǒng)，求PB的長度（用x，y的代數(shù)式表示）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)對(duì)稱性和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)對(duì)稱得：CN是AD的垂直平分線，則CA＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形可得結(jié)論；（Ⅲ）作輔助線，在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，PA．先證明△CPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△APC，則BF＝PA，由此即可解決問題．【解答】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于CN對(duì)稱，∴CN是AD的垂直平分線，∴CA＝CD，∵等邊△ABC，∴CA＝CB，∴CD＝CB；（Ⅱ）∵CN是AD的垂直平分線，CA＝CD．∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACN＝α，∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．∵CB＝CD，∠ACB＝60°．∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．∴∠BDC＝∠DBC＝（180°﹣∠BCD）＝60°﹣α．（Ⅲ）在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，PA設(shè)∠ACN＝α，∵CA＝CD，∠ACD＝2α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．∵∠BDC＝60°﹣α，∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．∴△CPF是等邊三角形．∴CF＝CP，∠PCF＝60°∵∠PCF＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACP，∵CB＝CA，CF＝CP，∴∠BFC＝∠DPC＝120°．∴△BFC≌△APC（SAS）．∴BF＝PA，∴PB＝PF+BF＝PA+PC＝x+y．25．如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A，B外的任意一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．（1）求證：BD＝AE；（2）求證：△NMC是等邊三角形．【分析】（1）先由△ACD和△BCE是等邊三角形，可知AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，故可得出∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，根據(jù)SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）