正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像+高一下學期數(shù)學人教B版（2019）必修第三冊

7.3.4正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像學習目標：1.利用正切線研究正切型函數(shù)的性質(zhì)；2.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性等）；3.類比正、余弦函數(shù)的五點法作圖作正切函數(shù)的圖像；4.利用整體代換的思想方法解決正切函數(shù)性質(zhì)相關的問題。重難點：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像。一、正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì)1、定義域:

值域：2、奇偶性：3、周期性：5、零點：4、單調(diào)性：奇函數(shù)T=

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把圖象向左、向右連續(xù)平移，得出y=tanx，的圖象——正切曲線。yx1-1/2-/2

3/2-3/2-oy=tanx二、正切函數(shù)y=tanx的圖像方法1：描點法AToXY如何利用正切線畫出函數(shù)，的圖象？

方法2：正切線法作法:(1)等分：(2)作正切線(3)平移(4)連線把單位圓右半圓分成8等份.，，，，，利用正切線畫出函數(shù)，的圖象:

.yxOO正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì)1、定義域與值域：2、奇偶性：3、周期性：5、零點：4、單調(diào)性：6、對稱性：中心對稱，對稱中心為正切型函數(shù)y=Atan(

x+

)的性質(zhì)1、定義域:值域：2、周期性：3、單調(diào)性：【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)正切函數(shù)既沒有最大值也沒有最小值.()(2)正切函數(shù)的對稱中心是(kπ,0),k∈Z.(

)(3)函數(shù)y=tan2x的周期是2π.(

)2.下列是函數(shù)y=tan的對稱中心的是(

)

A.(0,0) B.C.

D.(π,0)C√×

×

基本題型類型一、與正切函數(shù)有關的定義域、值域（最值）問題方法總結(jié)：求與正切函數(shù)有關的函數(shù)的定義域時,除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)y=tanx有意義即x≠+kπ,k∈Z.【例1】2.函數(shù)f(x)=的定義域為 (

)

【小試牛刀】A方法總結(jié)：1、求y=Atan(ωx+φ)型的函數(shù)值域，一般先由x的范圍求出ωx+φ的范圍，然后借助圖像求出y的范圍。2、求y=atan2x+btanx+c型的函數(shù)值域，一般先通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再根據(jù)自變量的范圍求出二次函數(shù)的值域?！拘≡嚺５丁?.函數(shù)y=tan,x∈的值域是________.

2.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相應的x值.基本題型類型二、單調(diào)性問題角度1求單調(diào)區(qū)間【例3】函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)

角度2單調(diào)性的應用【例4】1.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,則 ()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<bAD1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,且A,ω,φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z,解得x的范圍即可.(2)若ω<0,可利用誘導公式把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系數(shù)化為正值,再利用“整體代換”的思想,求得x的范圍即可.2.運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的步驟(1)運用函數(shù)的周期性或誘導公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).(2)運用單調(diào)性比較大小關系.方法總結(jié)2.若函數(shù)y=tanωx(ω>0)在(-π,π)上是遞增函數(shù),則ω的取值范圍是_______.【小試牛刀】1.函數(shù)y=tan的單調(diào)增區(qū)間是()3.比較-tan與tan大小關系是

.

B小于基本題型類型三、奇偶性與對稱性問題【例5】若函數(shù)f(x)=tan(x+φ),|φ|<的圖像的一個對稱中心為求φ的值。-或2.函數(shù)y=tan(sinx)是 ()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)1.下列函數(shù)中,同時滿足:①在上是增函數(shù),②為奇函數(shù),③以π為最小正周期的函數(shù)是 (

)

A.y=tanx B.y=cosx C.y=tan D.y=|tanx|3.函數(shù)y=tan是 ()A.最小正周期為4π的奇函數(shù) B.最小正周期為2π的奇函數(shù)C.最小正周期為4π的偶函數(shù) D.最小正周期為2π的偶函數(shù)【小試牛刀】【例6】1.下列圖形分別是①y=|tanx|;②y=tanx;③