2024-2025學(xué)年北京西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第1頁(yè)/共11頁(yè)2025北京西城高三（上）期末數(shù)學(xué)本試卷共9頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合，，那么集合 A. B. C. D.2.設(shè)為虛數(shù)單位，，且，則 A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的是 A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，點(diǎn)在角的終邊上，則 A. B. C. D.5.過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，那么當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程是 A. B. C. D.6.在中，則“”是“是直角三角形”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率滿足 A. B. C. D.8.在光纖通信中，發(fā)射器發(fā)出光信號(hào)的功率傳輸后會(huì)逐漸變?nèi)?，衰減后的光功率（單位：W）可表示為，其中為起始光功率（單位：W），為衰減系數(shù)，為接收信號(hào)處與發(fā)射器間的距離（單位：km）.已知距離發(fā)射器處的光功率衰減為起始光功率的一半.若當(dāng)距離由km變到km時(shí)，光功率由變到，則 A. B. C. D.9.若實(shí)數(shù)滿足，則 A. B. C. D.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則 A.是平行四邊形，且周長(zhǎng)為 B.是平行四邊形，且周長(zhǎng)為 C.是等腰梯形，且周長(zhǎng)為 D.是等腰梯形，且周長(zhǎng)為第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.拋物線的準(zhǔn)線方程為_________.12.在中，若，，，則_________.13.若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的一個(gè)取值是_________，且此時(shí)常數(shù)項(xiàng)等于_________.（用數(shù)字作答）14.折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是_________，_________.15.已知無(wú)窮數(shù)列滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得集合中有無(wú)窮多個(gè)元素；②存在，使得集合中有有限個(gè)元素；③對(duì)于任意的，集合中至多有一個(gè)元素；④當(dāng)時(shí)，集合.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16.（本小題13分）如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小.17.（本小題13分）已知函數(shù)，從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使得函數(shù)存在且唯一，并完成下列兩問(wèn).（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的最大值.條件①：；條件②：函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為；條件③：函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.注：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（本小題14分）為踐行五育并舉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校擬開設(shè)課外體育活動(dòng)課.現(xiàn)從全校高一學(xué)生中分層隨機(jī)抽樣出100名男生和80名女生，對(duì)其選課意愿作調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：男生女生選擇不選擇選擇不選擇排球50505030籃球25751565足球7525575乒乓球10901070假設(shè)所有學(xué)生是否選擇排球、籃球、足球、乒乓球相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（Ⅰ）假設(shè)全校共有1800名高一學(xué)生，直接判斷下列結(jié)論的正誤.結(jié)論：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)全校有800名高一學(xué)生有選擇足球課的意愿；結(jié)論：樣本中男生對(duì)排球課和籃球課都不選擇的人數(shù)可以為20.（Ⅱ）若從該校全體高一男生中隨機(jī)抽取2人，全體高一女生中隨機(jī)抽取1人，記這3人中選擇排球課的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）記樣本中男生選擇排球、籃球、足球、乒乓球課的頻率依次為，其方差為；樣本中男生不選擇這四個(gè)活動(dòng)課的頻率依次為，其方差為.寫出與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19.（本小題15分）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)，的面積為2.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.若四邊形為正方形，求的值.20.（本小題15分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，曲線總在直線的下方；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.

21.（本小題15分）已知數(shù)列為個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，其中，且.若在集合中至少有一個(gè)元素使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷數(shù)列和數(shù)列是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若數(shù)列和均為等差數(shù)列，且，，證明：對(duì)于所有的偶數(shù)，數(shù)列不具有性質(zhì)；（Ⅲ）在所有由的排列組成的數(shù)列中，記具有性質(zhì)的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，不具有性質(zhì)的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，證明：對(duì)于任意，.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （?1?）C （?2?）B （?3?）D （?4?）A （?5?）C （?6?）A （?7?）B （?8?）A （?9?）D （10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11） （12） （13）（答案不唯一） （14） （15）=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④注：（13）（14）題第一空3分，第二空2分；（15）題全部選對(duì)得5分，有兩個(gè)選對(duì)且無(wú)錯(cuò)選得4分，有一個(gè)選對(duì)且無(wú)錯(cuò)選得3分，其他得0分.三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連接，． 由分別為的中點(diǎn)，得，且.………………1分又因?yàn)?，且，所以，?故四邊形為平行四邊形.所以.………………3分又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?………………5分（Ⅱ）由平面，得，.又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以，故兩兩互相垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因此，． ………………7分設(shè)平面的法向量為，則即………………8分令，則．于是． ………………9分同理，可得平面的一個(gè)法向量.………………10分設(shè)二面角的平面角為，則． ………………12分由圖知為銳角，所以二面角的大小為． ………………13分 （17）（本小題13分）解：（Ⅰ）選條件①②：由函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，得最小正周期.…2分由，，得.………………4分 由，，得. 所以. ………………8分選條件②③：由函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，得最小正周期.…2分由，，得.………………4分因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)為，即，所以，即.由，得. 所以.………………8分（Ⅱ）由，得，其中.………10分所以是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間.………………11分又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為.………………13分（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）結(jié)論正確，結(jié)論不正確． ………………3分（Ⅱ）高一男生選擇排球課的概率估計(jì)為，高一女生選擇排球課的概率估計(jì)為.………………5分隨機(jī)變量的所有可能取值為 則，，， ………………8分 所以的分布列為:3……………9分故………………11分（Ⅲ）………………14分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意，得………………3分解得． 所以橢圓的方程為．………………5分（Ⅱ）直線的方程為．………………6分當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線為………………7分當(dāng)時(shí)，設(shè)，由得．則，，.…………9分所以，故線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.………………10分所以線段的垂直平分線的方程為.則點(diǎn).………………11分由題意知線段和互相垂直平分，故所以欲使．………………12分所以………………13分.即.．………………15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以.………………1分則，，故曲線在點(diǎn)處切線的方程是.………………3分（Ⅱ）若，則，其定義域?yàn)?“曲線總在直線的下方”等價(jià)于“，”，即等價(jià)于“，”.設(shè)函數(shù)，，則.……………6分令，解得，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：↗極大值↘所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.………………8分故對(duì)任意的，，即曲線總在直線的下方.………………9分（Ⅲ）函數(shù)的定義域是，且.令，得.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：↗極大值↘所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.………11分當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性，知，且，有.所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.………………12分當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性，知，由有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，得，，又因?yàn)榇藭r(shí)，所以，且，解得.……………13分當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性，知，由有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，得，，所以，即.綜上，的取值范圍為.………………15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）數(shù)列不具有性質(zhì)，數(shù)列具有性質(zhì).………………2分（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.由，得.所以公差.若，則.不符合題意.所以，，其中.………………5分同理，可得.………………6分因?yàn)闉槠鏀?shù)，為偶數(shù)，所以和中一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù)，所以對(duì)于任意，不可能等于偶數(shù)，即對(duì)于所有的偶數(shù)m，數(shù)列不具有性質(zhì).………………8分（Ⅲ）設(shè)數(shù)列為任意一個(gè)不具有性質(zhì)的數(shù)列，因?yàn)闉榈囊粋€(gè)排列，所以在中有且僅有一項(xiàng)，使得.………10分在數(shù)列中，將項(xiàng)移到項(xiàng)的前面，其余項(xiàng)的順序