(參考資料)史濟懷,劉太順-復變函數-習題解答

第一章復數與復變函數

§1.1習題

nn

2.設Zi,Z2,...,Z〃是任意n個復數，證明：爻|zj,并給出不等式中等號成立k=lk=l

的條件.

（提示：可以用數學歸納法證明.等號成立的條件是一苔2,…，m線性相關）.

3.證明：-=(|Rer|+|hnz|)<|z|<|Rez|+|lmz|.

22

證明：設z=a+ib，則Res=a,Imz=bf\z\=y/a+b.Etl題2知.|z|v|a|+|Z?z'|=+時且

強)八+

2dif+2\alWfdif+W\〈公+空

?2A

即有AA]Re4+1”+卜呼1+眄_4若忸=A|S2|,A>0，證明：\Z/-AZ2=A\Z/-Z2\

證明：不妨設KlkJ/of國2=［二］F

則|卻%-懸2（二二1二2一人2|述二1二2一|二1「=|=1||-1-=2|

即有憶「2222|二2憶）221成立.

5?設也心，證明：若E則云

證明:由憶|=1得二=1

故仁一〈7問二-67-=|z||l-<7Z=|1-67Z即證之.

6.設|aI<l,|z|vl.證明：三M<1.

1一a二

證明：提示：（三乂<1?|二？一21^為+間2<1—21^為+|。|2|二|2；az

而l-|aF—Inf+|a|2|二|2=（IJf|2）（1」二|2）>o；）

7.設ZiZ,…Z,,CD/CQ2,…,CD,是任意2n個復數，證明復數形式的Lagrange等式:

n222

支旅=（￡|刁|）（力％|）一￡具伽-*1「，并由此推出Cauchy不等式:

J=Ij=IJ=li<J<k<n

?2W,,2\

初I蝕臉』J

1

fl*MB

二2一2

證明：提示（記/二2二2L,det2二det（』4）20,

COCD.

X4,

ded比場-二*<y]2,則原式二習|二｝砍一二上刨>0.（1）

叼例）ak\<J<k

1F

T飽（一y\z\Y7icni

-1-2--M

另外，det二2馮二detJ=iJ=i

0饑-W〃少」

<}=1}=1/

（文|zJI）（￡|皿|）-YzjCOJ>0.（2）

J=i=i

由（1）=（2）可得證.

§1.2習題

1.把復數=l+cos9+,sin,寫成三角形式.

qLie-LieLte%-te0-te

解：z=\^-e9=e2（e2+Q1）=e22Ree2=（2cos一）〃

2

2.問取何值時有（1+1）”=（1一，）〃.解：提示（巖二挪2如

0Icos?-cos（n+

?sin一+sin（〃+一）0?

f

3證明：￡cos=------------------,￡sin_h0=

2sin-

k=02sin-卜。

22

.〃+1々

證明：由于史質sin-----UinO則即可得￡cos河二ReZ酒

1一/SIC?K。k=。

>sinko=imy'e".

k=0k=0

4.證明：么良孑3和Z>/〃3同向相似的充分必要條件為二2a21=0.

1-3①31

證明:提示（$=2=3和$二2二3同向相似<='3f7,Z?eC,使得G）k=QM+b（k=\2f3）

5.設二I。二2,證明：z位于以上和二2為端點的開線段上，當且僅當存在2e（0,1）,使得

二二人二1+（1一人）二2；

證明：z位于以上和二2為端點的開線段上

o>0,二2一二二上（二一二Do不上>0,二二

omae（0,l）,s二人二1+（1+人）=2,以=土）?

1+A-

6.圖1.5是三個邊長為1的正方形，證明：ZAOD+ZBOD+ZCOD=-

解：以。為原點，0D為X軸，0E為Y軸，建立坐標系.設04=203=22,。。二二3

則Z]=1+Z,=2=2+Z?，二3=3+,,

從而arg（圭2二3）=ai*g（l+0（2+0（3+;）=aig（lOz）.

因加是單位向量，它的輻角亳，即W~勿+/*二：

10.證明：|4+二2「+|二1-二2|2=2（|寸+|=2「），并說明等式的幾何意義

證明：匕+-212+1-1-212=1-112+2Re-i-2+l-212+1=1/一2Re孑2+E2F

=2（"2+「）

幾何意義是：平行四邊形兩對角線長的平方和等于它的各邊長的平方和.

11.設二i,r二”是單位圓周（以原點為中心、半徑為1的圓周）上的n個點，如果二1,…,二,，

是正n邊形的n個頂點，證明：4=0.

k=l

證明：記a）=z/+z2+…+z〃eC,設該正n邊形的一個圓心角為0,0<0<71.由復數乘法幾何意義

及正n邊形對稱性，入6〃=?！?=0,即證之.

13.設二1,二2,二3,二4是單位圓周上的四個點，證明：這四個點是一矩形頂點的充要條

件

為二1+二2+吊+二4=。-

§1.3習題

1.證明：在復數的球面表示下，2和，的球面像關于復平面對稱.

證明：設2=工+i），其球面對應的坐標為邑二二一.Ikh□口「IP

1+|』，叫二面而明二日不一

而土球面像對應的坐標為

I1

咪二三i+B

14-

z(l+1|2),(1+二D

/(1+H)

I2-11-

1-

-I21+

2

+1i+

從而有X]=X],X2'二尤2,X3=-X3,故二和JL的球面像關于復平面對稱.

2.證明：在復數的球面表示下，二和刃的球面像是直徑對點當且僅當z＜y=-L

證明：＜二設-+iy,由二刃=—1得口=—_L，口二一JL

由于二對應的球面像為毛—一—工1-,1人T

口對應的球面像為工「，工2',工3',計算可得：工「二一玉王'二一工2,玉'二一*3,故z和

口的球面像是直徑對點.

=＞由球面表示的幾何意義知，二，口位于通過豎坐標軸的平面與xoy平面交點上，從而二。必

=x

與原點共線，則二刃二一兀人＞0,由x33'?易知人二L

3.證明：在復數的球面表示下，中的點Z和少的球面像間的距離為

2|二"

證明：設二和W的球面像的坐標為（石，工2,工3）和（邑'，工2',工3'）'則（X]—

X]'）~+%—X2'）'+低一X3）=2-2（玉邑'+工2工2…￡3'）,

（二+二）（口+口）一（二一二）（口+口）+（二r一1)(口”

西邑‘+X2X2'+X3X3'

++同）一2|二一d

(1+用(1+叩

故

d仁⑷=-*I+(G—0+(二一七

2Z-CD

=—2(玉七'+x2x2'+/七')=

4+田(1+叩

b\是二階酉方陣，則?？诘淖儞Qw二圭?誘導

4.證明：在復數的球面表示下，若ct+d

了球面繞球心的一個旋轉.

證明：先證

。二+6aw+b

，一定有d

、c二十dcvv+d

,,2

。二+bavv+bb

------7---------7(二-w)det

c二+d(c州_______________

而

avv+6~,〃二+6+c二+d|)(|aw+6~+|cw+Jpj

+1

c二十dcvv+d

b\

由是二階西方陣知,

d,

ab、cd,?_

det1」々一+3；

類似的有gW+句］咻研2引噴+1,故

|(6zJ-6c)(z-w)||z-w|2

原式二(卜F+1)(|心1)仲+1)仲+1)'

az+baw+b

故IZ』-一丁-^7--,成立，從而誘導變換是一個等距.

\cz+acw+a

又等距變換的行列式是J的連續(xù)函數且只取土】兩個值，而二階酉方陣全體是連通的,

從而行列式為常數.

，此時誘導變換是恒等變換，行列式為1,故此常數為1,從而此等距

變換為扁.

§1.4習題

1.設二。W（—oo,0],二“。0,VneTV.證明：復數列｛二”｝收斂到%的充要條件是1血

|=?|=l-ol和limarg=argz0.

n—xx>〃->8

證明：因為二o任（-co,0],3<5>argz（）>s8,

由不等式I二一%|圳〃H陽I+MI|arg即得充分性

由不等式憶氣。|2憶&。||及|Z.不+||ZBHZo||>2|Zo|sinarg2—并注意一如@丫_僦匝可

得必要性.

222

2.設s=x+zyeC,證明：lim1+二-e（cosx+zsiny）.

n）

（提示：分開證明實部與虛部收斂即可.）

§1.5習題

2.設EcC是非空點集，二,weC.證明：八二,￡■)-</(<?,B'V仁-可成立，而p(「,￡')-

c?(vy,￡)|?/(s?&>￡)不成立.

證明：P&住E,

有￡)=inflz-八|<|z-A|<|Z-<?I+1<?-zI二八6?■八|>d/Z場-\z?〃人

巽E

取下確界得

J((w,￡*)=infley—41A</(；,￡■)-1I,即d(z,E)-d(a),E)<1z―euI(1)

鴕E

同樣可得d(cofE)-d(=E)<\=-aA(2)

因此由(1)(2)可得結論成立.

反例：令E={l},s=2,6?=1.則<7(二,E)=l,d(a),E)=0,d(二一a>fE)=O

3.指出卜列點集的內部、邊界、閉包和導集：

(i)W={k:k為自然數};

解：內部：空集；邊界：7V；閉包：幣={k:k為自然數);導集：空集.

(ii)E={::k為自然數}:

k

解：內部：空集：邊界:ED{0}；閉包：E=Eu{0}；導集：{0}.

(iii)D=B(1,1)握(一1,1);

解：內部：D=B(1,1)3(一1,1)；邊界:aD=(zeC：|z-l|=l或匕+1|=1}；

閉包：Z)=(zeC:|z-l|<1或|z+11<1}；導集:Z)'={zeC:|r-l|<1或|r+l|vl}；

(iv)G=(zeC:l<|s|<2);

解：內部：G°二(zeC:k|z|v2)：邊界：；dG二〃eCAz\=2或二1=1}

閉包：G={zeC:l<|r|v2)；導集:G=(zeC;l<|=|<2)；

§1.6習題

(v)C

解：內部：C；邊界：空集；閉包：C；導集：C.

4.指出下列點集中哪些是開集，哪些是閉集，哪些是緊集:

(i)Z={k:k為自然數};

解：閉集，非開集，非緊集；

(ii)E為有限集；

解：緊集；

=

(iii)D={二eC:Imi>0}/J,FkC\z=k+iyfQ<y<\}■,

解：開集；

(iv)G=B(O,1)\J」一M為自然數I；

M+l

解:非開,非閉，非緊；

(v)C\B(oo,A);

解：緊集.

8.設D是開集，尸UZ)是非空緊集，證明：

(i)d(F,dD)>0;

(ii)對任意0〈8vd出6。)，存在戶中的點二］，二2,..司，博壽/u§3(突O)uQ并且

)

證明：(1)由定理可得

(2)V<eBJ0),成立d(F,6D)心，6D)<dg,瀝)-6D)<|A-<|?5

即d.,8。尸即心;B(r,$),6D)=infd,5￡>)>d{Ff8D)-S

§1.6習題

1.滿足卜列條件的點z所組成的點集是什么？如果是域，說明它是單連通域還是多連通域？

(i)Re二二1;

實部是1的直線，不是域

(ii)Im二<—5；

虛部小于-5的開平面，單連通域

(iii)|z-z|+|z+zj=5；

橢圓曲線不是域

(iv)|=-z|<|2-z|；

閉圓盤單連通域

(v)arg(二-1)二￡;

0

半射線不是域

(vi)Irl<1,1111J>-；

112

開弓形單連通域

(vii)——<2;

二+1

圓盤外無界閉區(qū)域

.、c二一i71

(viii)0<arg------<—.

S+z4

左半平面(不含虛軸)與以(?1,0)為圓心，J歹為半徑的閉圓盤外部之交多連通域

§1.7習題

3.證明緊集的連續(xù)像為緊集.

證明：任取/(E)的開覆蓋。，則=是E的一個開覆蓋，因為E為緊集，存在有限個開集廣

(妃,廣(吟)，…，廣(””)e尸廣(妃，故

00

f(E)upuk,從而/(￡,)是緊集..

k=\

將緊集換成閉集，結論不一定成立.

反例：取￡=[l,00),4/(X)=_L.則/㈤=(0,1]不閉.

X

5.證明：若f在域D上一致連續(xù)，則對任意r°eaz),lim/(r)存在.

證明：因為f在域D上一致連續(xù)，故Vf>0,3<5>0,

對D上任意的二1二2,只要|二1—二2]<2S,有F(二1一二2)|<￡.

因此V%,二2eQc3(zo,5),有FU1—二2)|<￡,由Cauchy收斂原理，極限存在.

第二章全純函數

§2.1習題

1.研究下列函數的可微性：

(i)/(z)=|z|;

解：時

lim/(Z)-/(Zo)=limH-N不存在

ZTZoZ-ZoZTZoZ-ZQ

這是因為當Z-Xo時，

當z二。時，有3H(o”國

AzAzAre10

］血+y2?JX；+月2=］血農2+y2.農2+「2

y^yoxo^iy-xo-iyoy^y()iy-iyo

當7

x+iyo時，

lim1'攝+y(?-Jx；+折-iim3c亍+折一用+席Xo

XT*x+iyo-xo-iyoXTXoxfJ

故Z尹。時，/(Z)不可導

即知/(Z)=憶|在Z=O也不可導.

從而/(Z)二憶|處處不可導.

(11)/(z)=|z|2;

解：z,O時

15*。)=------------------顯然不存在

ZTZoZ—ZoZTZoZ—Z0

這是因為當z=x+時

hm子+席-對一屋二臨(x-x。)⑴=xfMx+iyo—xo一iyoX——XO

當z=Xo+iy時,

lim婦一弟二hm。-矢口。+),())=

y-y。xo^-iy-xo-iyo{y?yNi

二二0時可導，7f(0)=0.

(iii)/(二)二Re二；

lim-?―〃任「―)—=limRe--Re%顯然不存在.

TO/

=--O-??o

這是因為當2=X+Z〉o

時，

Inn—H—=i.

x+iyo-xo-iyo

當z=xo+iy

時，

lim------------=0f'o+

/_XoFo

從而f(r)=Rer處處不可

導

(v)「(二)

為常數

不妨設/(r)=C，顯然/'(二)二0

故/(r)=C在處處可

導.

冒和g都心處可微，且心二站)*片。證明：堅倨二忠

提示：

fog（二）g（二）-g（二o）

lin/（-）-/（-O）.---0__/（二

0）二一二g（二）-g（-o）g'（二°）

1初

4.設域G和域D關于實軸對稱，證明：如果/(二)是D上的全純函數，那么/(z)是G上

的全純函數.--------------

提示：lim/(s+rmilI

匚

°L0

§2.2習題

1.設D是域,/eH。））.如果對每個z&D都有/'（二）二0,證明/是一常數.

證明：因為/'（二）二（）而/（二）=；+［?k=°（定理

dxOX

,5wdv十dudvdudvdudv

所以一=0,一=0,而一二一.一=---.故一=0,—=0.dxdxdxdydydxdydy

因此/■是一個常數.

3.設z二4+iy,證明/（z）=y/xy在z=0處滿足Cauchy-Reimann方程，但/在z=0處不可

微.提示：〃=J反，v=0.直接算偏導.

8.設D是域，/在D中不取零值，

證明：對于任意p>o,d&+*k&）「二p2貝二）廣廣（二）提示：△二皖+砂*潺，將網）|寫成

據）冷［利用塹=o,軍=o,g二尸，堂二巴計算.

dz&ozdz

11.設口是域/口丁口］是非常數的全純函數，則log#（二）|和Algf（二）是D上的調

和函數，而|/（r）|不是D上的調和函數.

提示：△log|/（r）|=AAlog|/（s）|2=2￡=loga2l/（-）I2

2ozoz

1畦、2a乂z）7v）

弒If（=）I2

2d_（「｝

M=e2,a貝：對z求偏導/（二）

命(〃〃(二上口儡

4&奐)|)>小「|昨)「

如果I,(二)|調和，則/'(?卜0,從而/是常數，矛盾;

12.設D,G是域，fO/G是全純函數，證明：若u是G上的調和函數測〃。是D上的調

和函數.

證明：因為U是G上的調和函數，局部存在全純函數g,s.t.”=Reg,則g。局部全純，

于是局部有〃0。，從而〃。調和.

15.舉例說明：存在B(0,l)\{0}上的調和函數，它不是B(0,l)\{0}上全純函數的實部.

解：i/(z)=log|z|是B(0,l)\{0}上的調和函數，它不是B(0,l)\{0}上全純函數的實部.

(反證)假設存在B(0,l)\{0}土的全純函數/(二)，使得RM二)二log目，

設/⑵=logI二I+zv(;),v(r)是實值函數.

>z)

則e，⑵=lzl-eT(z),從而-------=i,VZG5(0』)\{0}.

Z

由題2.(iv)可知-一三常數，故存在Oe口ste《z)=z/°

即IzI?此(2)=z,n此(z)=g3gz+O)ny(z)=argz+3十

由v(二)的連續(xù)性可知A：是常數.

于是argz=v3-0-2k〃族B(0,l)\{0}連續(xù)，不可能.

16.設/=〃+zv,zo=xo+”o.證明：

①如果極限limRe竺上&D存在，那么八-d,加)和查如*。)存在，并且相等.f°二一

二0辦

zdx

(ii)如果極限limli/OE,存在，那么一(XQ,Y\和一(xo,j;o)存在，而且-?-or-r0dy

甬

溫

X

i

)變

T

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J

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o

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