2023-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市長(zhǎng)寧區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.答案填在答題紙相應(yīng)位置）.1.已知集合，集合，則____________．【答案】【解析】由題設(shè)知：.2.若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所?3.不等式的解集是___________.【答案】【解析】由，得，解得，所以不等式的解集為.4.根式的指數(shù)冪形式為___________.【答案】【解析】，．5.“或”的否定形式為______________________．【答案】“且”【解析】由題意“或”的否定形式為“且”.6.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，故，故的定義域?yàn)?7.若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，解得.8.已知，若，則______.【答案】或【解析】由，得；由，得；由，得（舍）；綜上或.9.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】，【解析】方程可變形為，由于方程在上有解，而當(dāng)，時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．10.已知，方程的解集為______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，原方程的解集為.11.已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_________________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，又由是上的奇函數(shù)，所以，即，綜上，的解集為.12.已知，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】，【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，即函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則只需，解得；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則只需要，解得，又，所以．綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.13.若與互為相反數(shù)，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】與互為相反數(shù)，則，即，則.故選：D.14.設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，且零點(diǎn)為，；，，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：C．15.了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（）A. B.C D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，對(duì)于①，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，A、B、C、D均符合；對(duì)于②隨的增加而增加，且增加的速度越來越快，即函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來越快，A符合，B、C、D均不符合.故選：A.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?是上的嚴(yán)格增函數(shù)；任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒有；：當(dāng)時(shí)，都有；下列關(guān)于的充分條件的判斷中，正確的是（）A.都是 B.是，不是C.不是，是 D.都不是【答案】B【解析】根據(jù)題意，對(duì)于：任意，，都有，令，則有，再令，有，變形可得，則函數(shù)為奇函數(shù)；設(shè)，有，則有，必有，故函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則是的充分條件；對(duì)于，例如，當(dāng)，滿足時(shí)，都有；但不單調(diào)遞增函數(shù)，故不是的充分條件.故選：B．三、解答題（本大題共5小題，共52分.解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.17.已知是實(shí)數(shù).（1）求證：，并指出等號(hào)成立的條件；（2）若，求的最小值.解：（1）證明：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，不等式中等號(hào)成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，不等式中等號(hào)成立.所以最小值為4.18.設(shè)集合，.（1）若，試用區(qū)間表示集合、；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以，由，得，則有，解得，所以.（2）由，得，解得，所以，由（1）得，由于，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.為了鼓勵(lì)消費(fèi)，某地發(fā)放了以“愛購(gòu)**”為主題的消費(fèi)券，一張消費(fèi)券價(jià)值50元，使用方式為：消費(fèi)滿100元后，結(jié)賬時(shí)該券抵50元．（1）A商家在中秋節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，每件商品按原價(jià)6折銷售．若買一件原價(jià)為300元的商品，則在結(jié)賬時(shí)使用了一張消費(fèi)券后，還應(yīng)付多少元？（2）小明在B商家選購(gòu)時(shí)看中了一件88元的商品和一件打5折的特價(jià)商品，但特價(jià)商品的折扣不能與消費(fèi)券同時(shí)使用，若該特價(jià)商品原價(jià)的范圍在元，試判斷小明是否會(huì)使用消費(fèi)券？并說明理由．解：（1）由題意原價(jià)為300元的商品打6折后本應(yīng)付元，若在結(jié)賬時(shí)使用了一張消費(fèi)券后，則還應(yīng)付元.（2）設(shè)特價(jià)商品原價(jià)為，小明按特價(jià)商品打折方式購(gòu)買、使用優(yōu)惠券購(gòu)買所花費(fèi)的錢分別為，則，所以，即，所以小明不會(huì)使用消費(fèi)券，而會(huì)選擇按特價(jià)商品打折方式購(gòu)買.20.已知函數(shù)，其中.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑢?duì)，，此時(shí)，此時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù).（2）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，若為上的增函?shù)，則成立，則成立，所以成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.設(shè)函數(shù)y=fx在區(qū)間上有定義，若對(duì)任意，都存在使得：，則稱函數(shù)y=fx在區(qū)間上具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)在上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在0，2上具有性質(zhì)，求的值.解：由已知得對(duì)任意，都存在使得，即函數(shù)，的值域?yàn)椋涤虻淖蛹?，?）由可得，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，的值域?yàn)?，顯然不是的子集，即函數(shù)在上不具有性質(zhì).（2）函數(shù)在區(qū)間，的值域?yàn)?，，函?shù)在，上的值域?yàn)?，，要使函?shù)具有性質(zhì)，只需，解得，即的取值范圍為，.（3）由題意的值域?yàn)?，，因?yàn)?，，所以的?duì)稱軸，，且開口向下，所以的最大值為，又，，當(dāng)，即時(shí)，的值域?yàn)?，，要滿足題意，只需，解得，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，的值域?yàn)?，，要滿足題意，只需，解得，所以符合題意，綜上，的取值為，．上海市長(zhǎng)寧區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.答案填在答題紙相應(yīng)位置）.1.已知集合，集合，則____________．【答案】【解析】由題設(shè)知：.2.若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所?3.不等式的解集是___________.【答案】【解析】由，得，解得，所以不等式的解集為.4.根式的指數(shù)冪形式為___________.【答案】【解析】，．5.“或”的否定形式為______________________．【答案】“且”【解析】由題意“或”的否定形式為“且”.6.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，故，故的定義域?yàn)?7.若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，解得.8.已知，若，則______.【答案】或【解析】由，得；由，得；由，得（舍）；綜上或.9.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】，【解析】方程可變形為，由于方程在上有解，而當(dāng)，時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．10.已知，方程的解集為______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，原方程的解集為.11.已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_________________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，又由是上的奇函數(shù)，所以，即，綜上，的解集為.12.已知，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】，【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，即函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則只需，解得；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則只需要，解得，又，所以．綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.13.若與互為相反數(shù)，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】與互為相反數(shù)，則，即，則.故選：D.14.設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，且零點(diǎn)為，；，，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：C．15.了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（）A. B.C D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，對(duì)于①，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋珹、B、C、D均符合；對(duì)于②隨的增加而增加，且增加的速度越來越快，即函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來越快，A符合，B、C、D均不符合.故選：A.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?是上的嚴(yán)格增函數(shù)；任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒有；：當(dāng)時(shí)，都有；下列關(guān)于的充分條件的判斷中，正確的是（）A.都是 B.是，不是C.不是，是 D.都不是【答案】B【解析】根據(jù)題意，對(duì)于：任意，，都有，令，則有，再令，有，變形可得，則函數(shù)為奇函數(shù)；設(shè)，有，則有，必有，故函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則是的充分條件；對(duì)于，例如，當(dāng)，滿足時(shí)，都有；但不單調(diào)遞增函數(shù)，故不是的充分條件.故選：B．三、解答題（本大題共5小題，共52分.解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.17.已知是實(shí)數(shù).（1）求證：，并指出等號(hào)成立的條件；（2）若，求的最小值.解：（1）證明：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，不等式中等號(hào)成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，不等式中等號(hào)成立.所以最小值為4.18.設(shè)集合，.（1）若，試用區(qū)間表示集合、；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以，由，得，則有，解得，所以.（2）由，得，解得，所以，由（1）得，由于，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.為了鼓勵(lì)消費(fèi)，某地發(fā)放了以“愛購(gòu)**”為主題的消費(fèi)券，一張消費(fèi)券價(jià)值50元，使用方式為：消費(fèi)滿100元后，結(jié)賬時(shí)該券抵50元．（1）A商家在中秋節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，每件商品按原價(jià)6折銷售．若買一件原價(jià)為300元的商品，則在結(jié)賬時(shí)使用了一張消費(fèi)券后，還應(yīng)付多少元？（2）小明在B商家選購(gòu)時(shí)看中了一件88元的商品和一件打5折的特價(jià)商品，但特價(jià)商品的折扣不能與消費(fèi)券同時(shí)使用，若該特價(jià)商品原價(jià)的范圍在元，試判斷小明是否會(huì)使用消費(fèi)券？并說明理由．解：（1）由題意原價(jià)為300元的商品打6折后本應(yīng)付元，若在結(jié)賬時(shí)使用了一張消費(fèi)券后，則還應(yīng)付元.（2）設(shè)特價(jià)商品原價(jià)為，小明按特價(jià)商品打折方式購(gòu)買、使用優(yōu)惠券購(gòu)買所花費(fèi)的錢分別為，則，所以，即，所以小明不會(huì)使用消費(fèi)券，而會(huì)選擇按特價(jià)商品打折方式購(gòu)買.20.已知函數(shù)，其中.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，?duì)，，此時(shí)，此時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù).（2）設(shè)，則，因?yàn)椋?，，若為上的增函?shù)，則成立，則成立，所以成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.設(shè)函數(shù)y=fx在區(qū)間上有定義，若對(duì)任意，都存在使得：，則稱函數(shù)y=fx在區(qū)間上具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)在上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實(shí)