2024-2025學年河南省名校大聯(lián)考高二上學期階段性測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省名校大聯(lián)考2024-2025學年高二上學期階段性測試數(shù)學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故選：B2.已知三個向量共面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為共面，所以設，所以，解得，故選：C.3.在一次文物展覽中，要將5件不同的文物從左到右擺成一排進行展示，其中有2件特殊的文物需要相鄰擺放，則不同的排列方法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.120種【答案】B【解析】先把2件特殊的文物放一起，看做一個整體與其余3個全排列，共有種不同的排法，故選：B4.已知在四面體中，是棱的中點，點滿足，點滿足.記，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，因為是棱的中點，點滿足，則，，又點滿足，即，于是，所以.故選：A5.已知分別為雙曲線的左?右焦點，為上的一點，且，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以漸近線方程為，故選：C.6.已知點在圓上運動，點是的中點，記點的軌跡為曲線.若直線過定點，且與曲線有且僅有一個公共點，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設，∵M是線段中點，∴，整理可得，∵A在圓上，∴，整理可得曲線的方程為：．曲線E是以圓心，半徑的圓，所以若直線l與曲線E只有一個公共點，即直線l與曲線E相切．當直線l斜率不存在時，方程為，是圓切線，滿足題意；當直線l斜率存在時，設其方程為，即，∴圓心到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為，即．綜上，直線l的方程為或．故選：D．7.過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，過的中點作另一條直線交軸于點，若，且，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】拋物線y2=2pxp>0直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線方程得，即，解得，∴，∴，因為的中點，所以，即，又，∴，∴，∴，所以直線的方程為，令，得，所以，∴，∴，解得．故選：B．8.已知直線過定點,圓的方程為，若是直線與圓的一個交點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可得，令，解得，所以直線過定點，因為圓的方程為，而，所以點在圓內部，即直線與圓相交，點是圓上的任意一點，因為，設，所以，其中，則當時，取得最大值，且最大值為故選：C二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓，則下列結論正確的是（）A.的取值范圍為B.圓關于直線對稱C.若直線被圓截得的弦長為，則D.若，過點作圓的一條切線，切點為，則【答案】BCD【解析】圓可化為，所以，解得，故A錯誤；因為圓C的圓心為在直線上，所以圓關于直線對稱，故B正確；因為圓心到直線的距離為，又弦長為，所以，可得圓C的半徑為1，即，得，故C正確；當時，圓C的半徑為，，所以切線長為，故D正確.故選：BCD10.已知，且，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.若為奇數(shù)，則【答案】ACD【解析】對于A，組合數(shù)的性質為，在中，令，那么，所以，故A正確；對于B，組合數(shù)的遞推公式為，令，則，移項可得，故B錯誤；對于C，，，所以，故C正確；對于D，根據(jù)二項式定理，當時，，當，為奇數(shù)時，，兩式相加得，則，故D正確；故選：ACD.11.已知橢圓的左?右焦點分別為，過的直線與交于兩點，若，則（）A. B.的面積等于C.的斜率為 D.的離心率為【答案】BC【解析】根據(jù)，設，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，則，所以，即，因為，所以點在下頂點或上頂點，如圖所示：對于A，，所以，不能得到，故A錯誤；對于B，由A可得，所以，，因為，所以，故B正確；對于C，若點在下頂點，則該直線的傾斜角為，此時斜率為，若點在上頂點，則該直線傾斜角為，此時斜率為，所以的斜率為，故C正確；對于D，在中，，所以，離心率為，故D錯誤；故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，若第三項的系數(shù)為15，則__________.【答案】6【解析】的展開式的通項為，則第三項的系數(shù)為，即，即，解得(舍)或．故答案為：6．13.如圖，將兩個相同的四棱錐與對稱擺放組成一個多面體，已知平面，四邊形是邊長為2的正方形，若平面與平面的夾角為，則該多面體的體積為__________.【答案】【解析】∵平面，平面，∴，，又，，平面，∴平面，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則,，設平面的法向量為，由，令，則，，設平面的法向量為，由，令，則，，若平面與平面的夾角為，則，解得，所以該多面體的體積為.故答案為：.14.現(xiàn)用3種不同的顏色給正五邊形的五個頂點涂色，要求相鄰頂點的顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為__________.【答案】30【解析】如圖，考慮B，C，E三點的涂色情況，若B，C，E三點涂三種顏色，則該三點共有種涂色方法，此時A有1種涂色方法，D有1種涂色方法，則共有種涂色方法；若B，C，E三點涂兩種顏色，則E與B同色，或E與C同色，當E與B同色時，該三點共有種涂色方法，此時A有2種涂色方法，D有1種涂色方法，則共有種涂色方法，同理當E與C同色時，共有種涂色方法，綜上，不同的涂色方法種數(shù)為．故答案為：30．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（1）求的展開式中的常數(shù)項；（2）已知，求的值.解：（1）展開式通項為．由，可得．因此展開式的常數(shù)項為第5項：．（2）已知式中令得，令得，又，所以，所以．16.已知雙曲線的焦距為，且經過點.（1）求的方程；（2）已知斜率為且不經過坐標原點的直線與交于兩點，若的中點在直線上，求的值.解：（1）由題意得，即，所以，因為雙曲線經過點，所以代入可得，解得，，所以的方程為.（2）設直線的方程為，，，的中點為.聯(lián)立，消去整理得：，所以，，則，，所以.因為在直線上，所以，又，所以.17.如圖,在三棱錐中,底面，且為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）∵平面，且平面，∴，∵，平面，且，∴平面，又平面，∴，∵，且D為的中點，∴，又，且平面，因此平面．（2）以點A為原點，以過點A且平行于的直線為x軸，所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，∵，∴，∴，由于G在棱上，令，那么，∵，∴，解得，∴，又，設平面的法向量為，∴，令，則，，∵平面，∴是平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則，∴平面與平面夾角的余弦值為．18.一個袋中裝有2個紅球和4個白球，這些球除了顏色以外完全相同.每次從袋中隨機取出一個球，取出的球不放回.（1）求第二次取出是紅球的概率；（2）若第三次取球時發(fā)現(xiàn)取出的是紅球，求此時袋中沒有紅球的概率；（3）設2個紅球都被取出時，已經取出的白球個數(shù)為，求的分布列.解：（1）第二次取出的是紅球是兩個互斥事件的和事件，分別為第一次取出紅球，第二次取出紅球；第一次取出白球，第二次取出紅球；所以概率.（2）記第三次取球時發(fā)現(xiàn)取出的是紅球為事件A，第三次取球后袋中無紅球為事件B,則,，所以.（3）由題意，的可能取值為，則，，，，,所以分布列為：0123419.已知橢圓的離心率為，上?下頂點和左?右焦點形成的四邊形的面積為.（1）求的方程；（2）設是上任意一點，線段上一點滿足，求的取值范圍；（3）經過的直線與交于兩點，與的內切圓半徑分別為，，當時，求的方程.解：（1）由條件可知，，解得，所以的方程為.（2）設，則且，因為，所以，所以，因為，所以，所以，化簡可得，因為，所以.（3）當直線的斜率為時，顯然不符合要求；當直線的斜率不為時，設，Ax1,y聯(lián)立，可得，所以，因為，所以，所以，同理可知：，因為，所以且，所以，所以，所以，解得，所以的方程為，即.河南省名校大聯(lián)考2024-2025學年高二上學期階段性測試數(shù)學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故選：B2.已知三個向量共面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為共面，所以設，所以，解得，故選：C.3.在一次文物展覽中，要將5件不同的文物從左到右擺成一排進行展示，其中有2件特殊的文物需要相鄰擺放，則不同的排列方法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.120種【答案】B【解析】先把2件特殊的文物放一起，看做一個整體與其余3個全排列，共有種不同的排法，故選：B4.已知在四面體中，是棱的中點，點滿足，點滿足.記，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，因為是棱的中點，點滿足，則，，又點滿足，即，于是，所以.故選：A5.已知分別為雙曲線的左?右焦點，為上的一點，且，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以漸近線方程為，故選：C.6.已知點在圓上運動，點是的中點，記點的軌跡為曲線.若直線過定點，且與曲線有且僅有一個公共點，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設，∵M是線段中點，∴，整理可得，∵A在圓上，∴，整理可得曲線的方程為：．曲線E是以圓心，半徑的圓，所以若直線l與曲線E只有一個公共點，即直線l與曲線E相切．當直線l斜率不存在時，方程為，是圓切線，滿足題意；當直線l斜率存在時，設其方程為，即，∴圓心到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為，即．綜上，直線l的方程為或．故選：D．7.過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，過的中點作另一條直線交軸于點，若，且，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】拋物線y2=2pxp>0直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線方程得，即，解得，∴，∴，因為的中點，所以，即，又，∴，∴，∴，所以直線的方程為，令，得，所以，∴，∴，解得．故選：B．8.已知直線過定點,圓的方程為，若是直線與圓的一個交點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可得，令，解得，所以直線過定點，因為圓的方程為，而，所以點在圓內部，即直線與圓相交，點是圓上的任意一點，因為，設，所以，其中，則當時，取得最大值，且最大值為故選：C二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓，則下列結論正確的是（）A.的取值范圍為B.圓關于直線對稱C.若直線被圓截得的弦長為，則D.若，過點作圓的一條切線，切點為，則【答案】BCD【解析】圓可化為，所以，解得，故A錯誤；因為圓C的圓心為在直線上，所以圓關于直線對稱，故B正確；因為圓心到直線的距離為，又弦長為，所以，可得圓C的半徑為1，即，得，故C正確；當時，圓C的半徑為，，所以切線長為，故D正確.故選：BCD10.已知，且，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.若為奇數(shù)，則【答案】ACD【解析】對于A，組合數(shù)的性質為，在中，令，那么，所以，故A正確；對于B，組合數(shù)的遞推公式為，令，則，移項可得，故B錯誤；對于C，，，所以，故C正確；對于D，根據(jù)二項式定理，當時，，當，為奇數(shù)時，，兩式相加得，則，故D正確；故選：ACD.11.已知橢圓的左?右焦點分別為，過的直線與交于兩點，若，則（）A. B.的面積等于C.的斜率為 D.的離心率為【答案】BC【解析】根據(jù)，設，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，則，所以，即，因為，所以點在下頂點或上頂點，如圖所示：對于A，，所以，不能得到，故A錯誤；對于B，由A可得，所以，，因為，所以，故B正確；對于C，若點在下頂點，則該直線的傾斜角為，此時斜率為，若點在上頂點，則該直線傾斜角為，此時斜率為，所以的斜率為，故C正確；對于D，在中，，所以，離心率為，故D錯誤；故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，若第三項的系數(shù)為15，則__________.【答案】6【解析】的展開式的通項為，則第三項的系數(shù)為，即，即，解得(舍)或．故答案為：6．13.如圖，將兩個相同的四棱錐與對稱擺放組成一個多面體，已知平面，四邊形是邊長為2的正方形，若平面與平面的夾角為，則該多面體的體積為__________.【答案】【解析】∵平面，平面，∴，，又，，平面，∴平面，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則,，設平面的法向量為，由，令，則，，設平面的法向量為，由，令，則，，若平面與平面的夾角為，則，解得，所以該多面體的體積為.故答案為：.14.現(xiàn)用3種不同的顏色給正五邊形的五個頂點涂色，要求相鄰頂點的顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為__________.【答案】30【解析】如圖，考慮B，C，E三點的涂色情況，若B，C，E三點涂三種顏色，則該三點共有種涂色方法，此時A有1種涂色方法，D有1種涂色方法，則共有種涂色方法；若B，C，E三點涂兩種顏色，則E與B同色，或E與C同色，當E與B同色時，該三點共有種涂色方法，此時A有2種涂色方法，D有1種涂色方法，則共有種涂色方法，同理當E與C同色時，共有種涂色方法，綜上，不同的涂色方法種數(shù)為．故答案為：30．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（1）求的展開式中的常數(shù)項；（2）已知，求的值.解：（1）展開式通項為．由，可得．因此展開式的常數(shù)項為第5項：．（2）已知式中令得，令得，又，所以，所以．16.已知雙曲線的焦距為，且經過點.（1）求的方程；（2）已知斜率為且不經過坐標原點的直線與交于兩點，若的中點在直線上，求的值.解：（1）由題意得，即，所以，因為雙曲線經過點，所以代入可得，解得，，所以的方程為.（2）設直線的方程為，，，的中點為.聯(lián)立，消去整理得：，所以，，則，，所以.因為在直線上，所以，又，所以.17.如圖,在三棱錐中,底面，且為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）