2024-2025學(xué)年吉林市地區(qū)高一上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林市地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.4.“角為第二象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)角為第二象限角，，所以，充分性成立；反過來，當(dāng)時(shí)，角為第二或第四象限角，必要性不成立，所以“角為第二象限角”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所?故選：B.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以有，即，故選：B.7.已知函數(shù)（，且）圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（，且）圖象經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：C.8.萊洛三角形也叫圓弧三角形，它是由德國機(jī)械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的.其畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心、以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三角形.如圖所示，若萊洛三角形的周長為，則其面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對(duì)的扇形面積為，中間等邊的面積.所以萊洛三角形的面積是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由不等式性質(zhì)，，故B正確；對(duì)于C，若，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為D.將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】由圖象可知，，故A正確；又，所以，解得，故B正確；所以，由，即，又，故，所以，令，解得，即函數(shù)對(duì)稱軸方程為，故C錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：ABD.11.切比雪夫多項(xiàng)式是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫（Tschebyscheff，又譯契貝雪夫等，1821-1894）的名字命名的重要的特殊函數(shù)，第一類切比雪夫多項(xiàng)式和第二類切比雪夫多項(xiàng)式（簡稱切比雪夫多項(xiàng)式）源起于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式，是與棣莫弗定理有關(guān)、以遞推方式定義的多項(xiàng)式序列，是計(jì)算數(shù)學(xué)中的一類特殊函數(shù).有許多良好的結(jié)論，例如：①，，對(duì)于正整數(shù)時(shí)，有成立；②，成立.若函數(shù)在上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，，，則（）A B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，故B正確；對(duì)于C，若，，所以，即，結(jié)合C選項(xiàng)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)在上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程在上有3個(gè)不同的實(shí)根，所以令，則，由C選項(xiàng)可知，，而，則或或，于是，則，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分.12.已知命題，，寫出命題的否定：_____.【答案】【解析】由全稱命題的否定知，命題，的否定為：.13.已知，則的值為_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以或，又因?yàn)樗?，所?14.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為_____；若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】3【解析】①作出函數(shù)的圖象，如圖，∵函數(shù)的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解.②令，由圖可知，當(dāng)，有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)大于零且不大于2的不等的實(shí)根，因此，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值以及取得最值時(shí)的集合.解：（1），所以，函數(shù)y=fx的最小正周期為.令，得，因此，函數(shù)y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx有最大值，最大值為.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx有最小值，且最小值為.16.如圖，在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為.（1）求，的值；（2）將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與單位圓交于點(diǎn)，求的值.解：（1）∵角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，∴，又∵，∴，∴，∴.（2）因?yàn)閷⒔堑慕K邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以.17.吉林位于“冰雪黃金帶”，擁有世界上頂級(jí)的“粉雪”資源，是冰雪運(yùn)動(dòng)的理想之地，吸引了無數(shù)滑雪愛好者.吉林市擁有兩個(gè)優(yōu)質(zhì)的滑雪勝地：“北大湖滑雪場”“萬科松花湖滑雪場”.北大湖滑雪場是符合國際標(biāo)準(zhǔn)的滑雪場，曾在這里舉辦過“中國第六屆冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)”“中國第二屆青年冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)”“中國跳臺(tái)滑雪錦標(biāo)賽”和省、市不同等級(jí)雪上項(xiàng)目的比賽.北大湖滑雪場接待了多屆“中國·吉林國際霧凇冰雪節(jié)”游客，并被國家體育總局評(píng)為冰雪旅游類“國家體育產(chǎn)業(yè)示范單位”.萬科松花湖滑雪場是距離城市最近的大型滑雪場之一，曾獲得“中國最佳滑雪旅游度假區(qū)”殊榮.這兩個(gè)滑雪場多年以來在推動(dòng)中國的滑雪運(yùn)動(dòng)、冰雪旅游、帶動(dòng)城市周邊農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面都做出了重要貢獻(xiàn).近幾年，這兩個(gè)滑雪場接待總?cè)舜蔚哪暝鲩L速度越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，2021至2023年的年接待總?cè)舜谓浦等缦卤硭荆耗攴?02120222023年份代碼x123年接待總?cè)舜蝭/萬101216根據(jù)以上數(shù)據(jù)，兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜闻c年份代碼有以下兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②（，，且）.（1）試判斷哪種函數(shù)模型更適合刻畫兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜蔚脑鲩L趨勢，請(qǐng)簡述理由，并利用表格中后兩組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中選擇的函數(shù)模型，按表格中的數(shù)據(jù)增長趨勢，預(yù)測在哪一年兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到25萬?（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）選擇更合適，因?yàn)槟杲哟側(cè)舜坞S年份的增長呈爆炸增長趨勢.依題意，，解得，，.（2）由（1）可知，設(shè)在年份代碼為時(shí)，兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到25萬，則，所以，所以預(yù)測在年份代碼為5，即2025年兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到25萬.18.已知二次函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象如圖所示，直接寫出實(shí)數(shù)的值和不等式的解集，并寫出集合的真子集；（2）解關(guān)于的不等式；（3）若函數(shù)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋杂蓤D可知，，當(dāng)時(shí)，，即不等式解集為，所以，其真子集為.（2）由，①當(dāng)a=2時(shí)，不等的解為；②當(dāng)時(shí)，不等式的解為或；③當(dāng)時(shí)，不等式的解為或，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.（3）由可得，由，可得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以有最大值，故只需即可.19.在物理學(xué)和幾何學(xué)中，懸鏈線是指理想化的懸掛鏈條或電纜在均勻重力場中僅在其兩端受到支撐時(shí)，在自身重量的作用下呈現(xiàn)的曲線.懸鏈線呈形，表面上看起來類似于拋物線，但實(shí)際上并不是.笛卡爾坐標(biāo)系中的懸鏈線方程為.當(dāng)時(shí)，是雙曲余弦函數(shù)，類似的，也有雙曲正弦函數(shù).（1）求的值；（2）令.（ⅰ）證明函數(shù)Fx的奇偶性，并求關(guān)于的不等式的解集；（ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）.（2），（i）對(duì)任意的x∈R，，故函數(shù)Fx的定義域?yàn)镽，，故函數(shù)Fx為奇函數(shù)，且，任取、且，則，所以，，所以，所以函數(shù)Fx在R上為增函數(shù)，由可得，所以，可得，所以，解得，所以，不等式的解集為.（ii）當(dāng)時(shí)，，由可得，即，可得，當(dāng)時(shí)，令，可得，所以，令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故，解得，因此，實(shí)數(shù)的最大值為.吉林市地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.4.“角為第二象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)角為第二象限角，，所以，充分性成立；反過來，當(dāng)時(shí)，角為第二或第四象限角，必要性不成立，所以“角為第二象限角”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，所?故選：B.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以有，即，故選：B.7.已知函數(shù)（，且）圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（，且）圖象經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：C.8.萊洛三角形也叫圓弧三角形，它是由德國機(jī)械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的.其畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心、以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三角形.如圖所示，若萊洛三角形的周長為，則其面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對(duì)的扇形面積為，中間等邊的面積.所以萊洛三角形的面積是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由不等式性質(zhì)，，故B正確；對(duì)于C，若，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為D.將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】由圖象可知，，故A正確；又，所以，解得，故B正確；所以，由，即，又，故，所以，令，解得，即函數(shù)對(duì)稱軸方程為，故C錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：ABD.11.切比雪夫多項(xiàng)式是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫（Tschebyscheff，又譯契貝雪夫等，1821-1894）的名字命名的重要的特殊函數(shù)，第一類切比雪夫多項(xiàng)式和第二類切比雪夫多項(xiàng)式（簡稱切比雪夫多項(xiàng)式）源起于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式，是與棣莫弗定理有關(guān)、以遞推方式定義的多項(xiàng)式序列，是計(jì)算數(shù)學(xué)中的一類特殊函數(shù).有許多良好的結(jié)論，例如：①，，對(duì)于正整數(shù)時(shí)，有成立；②，成立.若函數(shù)在上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，，，則（）A B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C，若，，所以，即，結(jié)合C選項(xiàng)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)在上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程在上有3個(gè)不同的實(shí)根，所以令，則，由C選項(xiàng)可知，，而，則或或，于是，則，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分.12.已知命題，，寫出命題的否定：_____.【答案】【解析】由全稱命題的否定知，命題，的否定為：.13.已知，則的值為_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以或，又因?yàn)樗?，所?14.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為_____；若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】3【解析】①作出函數(shù)的圖象，如圖，∵函數(shù)的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解.②令，由圖可知，當(dāng)，有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)大于零且不大于2的不等的實(shí)根，因此，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值以及取得最值時(shí)的集合.解：（1），所以，函數(shù)y=fx的最小正周期為.令，得，因此，函數(shù)y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx有最大值，最大值為.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx有最小值，且最小值為.16.如圖，在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為.（1）求，的值；（2）將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與單位圓交于點(diǎn)，求的值.解：（1）∵角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，∴，又∵，∴，∴，∴.（2）因?yàn)閷⒔堑慕K邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以.17.吉林位于“冰雪黃金帶”，擁有世界上頂級(jí)的“粉雪”資源，是冰雪運(yùn)動(dòng)的理想之地，吸引了無數(shù)滑雪愛好者.吉林市擁有兩個(gè)優(yōu)質(zhì)的滑雪勝地：“北大湖滑雪場”“萬科松花湖滑雪場”.北大湖滑雪場是符合國際標(biāo)準(zhǔn)的滑雪場，曾在這里舉辦過“中國第六屆冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)”“中國第二屆青年冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)”“中國跳臺(tái)滑雪錦標(biāo)賽”和省、市不同等級(jí)雪上項(xiàng)目的比賽.北大湖滑雪場接待了多屆“中國·吉林國際霧凇冰雪節(jié)”游客，并被國家體育總局評(píng)為冰雪旅游類“國家體育產(chǎn)業(yè)示范單位”.萬科松花湖滑雪場是距離城市最近的大型滑雪場之一，曾獲得“中國最佳滑雪旅游度假區(qū)”殊榮.這兩個(gè)滑雪場多年以來在推動(dòng)中國的滑雪運(yùn)動(dòng)、冰雪旅游、帶動(dòng)城市周邊農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面都做出了重要貢獻(xiàn).近幾年，這兩個(gè)滑雪場接待總?cè)舜蔚哪暝鲩L速度越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，2021至2023年的年接待總?cè)舜谓浦等缦卤硭荆耗攴?02120222023年份代碼x123年接待總?cè)舜蝭/萬101216根據(jù)以上數(shù)據(jù)，兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜闻c年份代碼有以下兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②（，，且）.（1）試判斷哪種函數(shù)模型更適合刻畫兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜蔚脑鲩L趨勢，請(qǐng)簡述理由，并利用表格中后兩組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中選擇的函數(shù)模型，按表格中的數(shù)據(jù)增長趨勢，預(yù)測在哪一年兩個(gè)滑雪場的年接待總?cè)舜芜_(dá)到25萬?（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）選擇更合適，因?yàn)槟杲哟側(cè)舜坞S年