2025屆廣西新課程教研聯(lián)盟高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西省新課程教研聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，所以，故.故選：B2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，所以，解得，所以，.故選：D.3.設(shè)，向量，，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，向量，，此時(shí)有，所以，故是充分條件；當(dāng)時(shí)，，解得，故不是必要條件；所以是的充分不必要條件，故選：B.4.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，則其離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，所以，解得，所以橢圓的離心率.故選：B.5.已知函數(shù)圖像與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖像是A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，的圖像與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖像可知正確.故選：A.6.如圖甲，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖乙，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，，且，，，所以三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R，可得，所以外接球的體積為.故選：D.7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法?商功》一書(shū)中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)，如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，，設(shè)第層有個(gè)球，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，，，，于是有，所以，，，，，，將以上個(gè)式子相加，得，所以，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴，令，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，∴，故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B.若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面C.若空間向量，滿(mǎn)足，則與夾角為鈍角D.若空間向量，，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C：當(dāng)，反向共線時(shí)，也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．10.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.若，則B.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；則C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)類(lèi)系，其回歸直線方程為；若，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋瑒t，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，故B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，將代入中，得到，解得，故C正確，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過(guò)且與平面平行的平面【答案】AD【解析】因?yàn)樗倪呅握叫危?，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，?設(shè)，則，其中，由題設(shè)可得，，對(duì)于A，當(dāng)即時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數(shù)，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則____________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：.13.已知甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙盒中有1個(gè)白球，2個(gè)黑球．若從這8個(gè)球中隨機(jī)選取一球，該球是白球的概率是______；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是______．【答案】①.12②.【解析】根據(jù)題意，從這個(gè)8個(gè)球中隨機(jī)選取一球，該球是白球的概率是；設(shè)“取出甲盒”為事件，“取出乙盒”為事件，“取到的球是白球”為事件，則.所以從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是.故答案為：；.14.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別等于雙曲線的焦距和虛軸長(zhǎng)，在橢圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線PM，PN.切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】0【解析】依題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別等于雙曲線的焦距和虛軸長(zhǎng)，故，，所以橢圓方程為.設(shè)點(diǎn)Px,y，則，可得由圓，可得圓心，，∵，則，不妨設(shè)，則，令，，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在遞增，故，此時(shí)，故的最小值為0.故答案為：0.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，為的中點(diǎn)，求．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，在中，，則有，，，又，，，,（2）根據(jù)余弦定理有，則有，解得或（舍去），為的中點(diǎn)，則，，．16.如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接.因?yàn)?，且，又分別是棱的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：四邊形均為正方形，所以.所以平面.因?yàn)椋云矫?從而.又，所以為等邊三角形.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以.即兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以設(shè)n=x,則，即，可取.因?yàn)椋?設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，則，則，，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程，即.（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.18.已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；（3）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意，，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線，Px1,y聯(lián)立，消去整理得，，，且，，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或.（3）在軸上存在點(diǎn)使得，理由如下：因?yàn)椋?，即，整理得，即，即，則，又，解得，所以在軸上存在點(diǎn)使得.19.某校開(kāi)展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場(chǎng)，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束．已知A團(tuán)隊(duì)每位成員闖過(guò)第一關(guān)和第二關(guān)的概率均為，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響．（1）用隨機(jī)變量X表示A團(tuán)隊(duì)第位成員的闖關(guān)數(shù)，求X的分布列；（2）已知A團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)并闖過(guò)第二關(guān)，求恰好是第3位成員闖過(guò)第一關(guān)的概率；（3）記隨機(jī)變量表示A團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)并結(jié)束闖關(guān)活動(dòng)，證明單調(diào)遞增，并求使的n的最大值．（1）解：X的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列如下：X012P（2）解：記A團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)且闖過(guò)第二關(guān)的概率為，若前面人都沒(méi)有一人闖過(guò)第一關(guān)，其概率為，若前面人有一人闖過(guò)第一關(guān)，其概率為，故，“第6位成員上場(chǎng)且闖過(guò)第二關(guān)”，“第3位成員闖過(guò)第一關(guān)”，故，．（3）證明：由（2）知，．當(dāng)時(shí)，若前面人都沒(méi)有一人闖過(guò)第一關(guān)，其概率為，若前面人有一人闖過(guò)第一關(guān)，其概率為，故．故．，即單調(diào)遞增；又，故，所以，①，②得，故．由，得，設(shè)，則，故單調(diào)遞減，，故滿(mǎn)足題意的n的最大值為5．廣西省新課程教研聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，所以，故.故選：B2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，所以，解得，所以，.故選：D.3.設(shè)，向量，，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，向量，，此時(shí)有，所以，故是充分條件；當(dāng)時(shí)，，解得，故不是必要條件；所以是的充分不必要條件，故選：B.4.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，則其離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，所以，解得，所以橢圓的離心率.故選：B.5.已知函數(shù)圖像與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖像是A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，的圖像與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖像可知正確.故選：A.6.如圖甲，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖乙，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，，且，，，所以三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R，可得，所以外接球的體積為.故選：D.7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法?商功》一書(shū)中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)，如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，，設(shè)第層有個(gè)球，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，，，，于是有，所以，，，，，，將以上個(gè)式子相加，得，所以，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴，令，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，∴，故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B.若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面C.若空間向量，滿(mǎn)足，則與夾角為鈍角D.若空間向量，，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C：當(dāng)，反向共線時(shí)，也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．10.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.若，則B.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；則C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)類(lèi)系，其回歸直線方程為；若，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，故B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，將代入中，得到，解得，故C正確，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過(guò)且與平面平行的平面【答案】AD【解析】因?yàn)樗倪呅握叫危?，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，?設(shè)，則，其中，由題設(shè)可得，，對(duì)于A，當(dāng)即時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數(shù)，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則____________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.13.已知甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙盒中有1個(gè)白球，2個(gè)黑球．若從這8個(gè)球中隨機(jī)選取一球，該球是白球的概率是______；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是______．【答案】①.12②.【解析】根據(jù)題意，從這個(gè)8個(gè)球中隨機(jī)選取一球，該球是白球的概率是；設(shè)“取出甲盒”為事件，“取出乙盒”為事件，“取到的球是白球”為事件，則.所以從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是.故答案為：；.14.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別等于雙曲線的焦距和虛軸長(zhǎng)，在橢圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線PM，PN.切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】0【解析】依題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別等于雙曲線的焦距和虛軸長(zhǎng)，故，，所以橢圓方程為.設(shè)點(diǎn)Px,y，則，可得由圓，可得圓心，，∵，則，不妨設(shè)，則，令，，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在遞增，故，此時(shí)，故的最小值為0.故答案為：0.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，為的中點(diǎn)，求．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，在中，，則有，，，又，，，,（2）根據(jù)余弦定理有，則有，解得或（舍去），為的中點(diǎn)，則，，．16.如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接.因?yàn)?，且，又分別是棱的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：四邊形均為正方形，所以.所以平面.因?yàn)?，所以平?從而.又，所以為等邊三角形.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以.即兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以設(shè)n=x,則，即，可取.因?yàn)?，所?設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，則，則，，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程，即.（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.18.已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；（3）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的