2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列3.1等比數(shù)列第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)鞏固提升訓(xùn)練含解析北師大版必修5

PAGEPAGE1第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．搖擺數(shù)列解析：選D.由于公比q＝－eq\f(1,4)<0，所以數(shù)列{an}是搖擺數(shù)列．2．等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a7＝eq\f(1,16)，則a3a6＋a4a5的值是()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：選C.a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×eq\f(1,16)＝eq\f(1,4)，所以a3a6＋a4a5＝eq\f(1,2).3．在等比數(shù)列{an}中，已知a7·a12＝5，則a8·a9·a10·a11等于()A．10 B．25C．50 D．75解析：選B.法一：因?yàn)閍7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.法二：由已知得a1q6·a1q11＝aeq\o\al(2,1)q17＝5，所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝aeq\o\al(4,1)·q34＝(aeq\o\al(2,1)q17)2＝25.4．計(jì)算機(jī)的價(jià)格不斷降低，若每件計(jì)算機(jī)的價(jià)格每年降低eq\f(1,3)，現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價(jià)格可降低為()A．300元 B．900元C．2400元 D．3600元解析：選C.降低后的價(jià)格構(gòu)成以eq\f(2,3)為公比的等比數(shù)列．則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價(jià)格可降低為8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝2400(元)．5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．16解析：選C.等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，則a4＋a8＝________．解析：因?yàn)閍6a10＝aeq\o\al(2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2,4)，所以aeq\o\al(2,8)＋aeq\o\al(2,4)＝41.又因?yàn)閍4a8＝5，an>0，所以a4＋a8＝eq\r(（a4＋a8）2)＝eq\r(aeq\o\al(2,4)＋2a4a8＋aeq\o\al(2,8))＝eq\r(51).答案：eq\r(51)7．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6，則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．解析：設(shè)此三數(shù)為3，a，b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,（a－6）2＝3b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以這個(gè)未知數(shù)為3或27.答案：3或278．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，9x，12y，15z成等比數(shù)列．且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，則eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)的值是________．解析：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（12y）2＝9x×15z，,\f(2,y)＝\f(1,x)＋\f(1,z)，))所以y＝eq\f(2xz,x＋z)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24xz,x＋z)))eq\s\up12(2)＝135xz，化簡得15x2＋15z2＝34xz，兩邊同時(shí)除以15xz可得eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)＝eq\f(34,15).答案：eq\f(34,15)9．三個(gè)互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，假如適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)，又可成為等比數(shù)列，這三個(gè)數(shù)和為6，求這三個(gè)數(shù)．解：由已知，可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，則a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，這三個(gè)數(shù)可表示為2－d，2，2＋d，①若2－d為等比中項(xiàng)，則有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此時(shí)三個(gè)數(shù)為－4，2，8.②若2＋d是等比中項(xiàng)，則有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此時(shí)三個(gè)數(shù)為8，2，－4.③若2為等比中項(xiàng)，則22＝(2＋d)·(2－d)，所以d＝0(舍去)．綜上可求得此三數(shù)為－4，2，8.10．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))(n≥2，n∈N＋)的前n項(xiàng)和．解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍eq\o\al(2,3)＝9a2a6＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(aeq\o\al(2,4),aeq\o\al(2,3))＝eq\f(1,9)，因?yàn)閍n＞0，所以q＞0，所以q＝eq\f(1,3)，因?yàn)?a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝eq\f(1,3)，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝log3(a1·a2·…·an)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1＋2＋3＋…＋n)＝－eq\f(n（n＋1）,2).設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋…＋\f(1,n（n＋1）)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝－eq\f(2n,n＋1).[B實(shí)力提升]11．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10·b11＝2，則a21＝()A．20 B．512C．1013 D．1024解析：選D.因?yàn)閎n＝eq\f(an＋1,an)，且b10·b11＝2，又{bn}是等比數(shù)列，所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，則eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)…eq\f(a21,a20)＝b1b2b3…b20＝210，即eq\f(a21,a1)＝1024，從而a21＝1024a1＝1024.12．在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝________．解析：因?yàn)閑q\f(1,a7)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a10,a7a10)，eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＝eq\f(a8＋a9,a8a9)，又a8a9＝a7a10，所以eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3).答案：－eq\f(5,3)13．如圖所示，在邊長為1的等邊三角形A1B1C1中，連接各邊中點(diǎn)得△A2B2C2，再連接△A2B2C2的各邊中點(diǎn)得△A3B3C3，…，如此接著下去，試證明數(shù)列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比數(shù)列．證明：由題意，得△AnBnCn(n＝1，2，3…)的邊長AnBn構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故AnBn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)，所以S△AnBnCn＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2n－2)，所以eq\f(S△An＋1Bn＋1Cn＋1,S△AnBnCn)＝eq\f(\f(\r(3),4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2n),\f(\r(3),4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2n－2))＝eq\f(1,4).因此，數(shù)列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比數(shù)列．14．(選做題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an,an＋1)，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，求出全部符合條件的m，k的值；若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝55，,20a1＋\f(20×19,2)d＝210，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝11，,2a1＋19d＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．(2)假設(shè)存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列．則beq\o\al(2,m)＝b1bk.因?yàn)閎n＝eq\f(an,an＋1)＝eq\f(n,n＋1)，所以b1＝eq\f(1,2)，bm＝eq\f(m,m