2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練新人教A版必修4

PAGE1-2.3.1平面對(duì)量基本定理【基礎(chǔ)練習(xí)】1．(2024年浙江臺(tái)州期末)已知e1，e2是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，則下列各組中的a，b不能構(gòu)成基底的是()A．a(chǎn)＝2e1，b＝－3e2 B．a(chǎn)＝2e1＋2e2，b＝e1－e2C．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝－2e1＋4e2 D．a(chǎn)＝2e1＋e2，b＝e1＋2e2【答案】C【解析】不共線的兩個(gè)向量可以構(gòu)成基底．選項(xiàng)C中，b＝－2a，即a，b共線，故不能構(gòu)成基底．故選C．2．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝()A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))－3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－3eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝3.3．在銳角△ABC中，關(guān)于向量夾角的說(shuō)法，正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是銳角 B．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角是銳角C．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是鈍角 D．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的夾角是銳角【答案】B【解析】由向量夾角的定義可知，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為∠A，為銳角．4．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，C為線段AB上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，D為線段CB上距C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則用a，b表示eq\o(OD,\s\up6(→))為()A．eq\f(1,9)(4a＋5b) B．eq\f(1,16)(9a＋7b)C．eq\f(1,3)(2a＋b) D．eq\f(1,4)(3a＋b)【答案】A【解析】∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,9)eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,9)b－eq\f(5,9)a.∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)b－\f(5,9)a))＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.5．(2024年黑龍江大慶期末)已知向量e1，e2不共線，a＝e1＋λe2，b＝3e1－(2－λ)e2，若a∥b，則λ＝________.【答案】－1【解析】由a∥b，可得存在實(shí)數(shù)k，使得b＝ka，即3e1－(2－λ)e2＝k(e1＋λe2)．又向量e1，e2不共線，所以k＝3，λk＝－2＋λ，解得λ＝－1.6．如圖，在△OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使AC＝BA，在OB上取點(diǎn)D，使DB＝eq\f(1,3)OB，DC與OA交于E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).【解析】∵A是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b.∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.由于D，E，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ·eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))＝2λa－eq\f(5,3)λb.由于eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b＋μa.∴2λa－eq\f(5,3)λb＝－eq\f(2,3)b＋μa，故有2λ＝μ，－eq\f(5,3)λ＝－eq\f(2,3).解得λ＝eq\f(2,5)，μ＝eq\f(4,5).∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)a－eq\f(2,3)b.7．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)且eq\f(DC,AB)＝k(k≠1)．設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，選擇基底{e1，e2}，試寫(xiě)出向量eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))在此基底下的分解式．【解析】如圖所示，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))＝ke2.又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.而eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋e2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)[e1＋(k－1)e2]＋e2－eq\f(1,2)e1＝eq\f(k＋1,2)e2.【實(shí)力提升】8．(2024年陜西咸陽(yáng)模擬)已知G是△ABC的重心，若eq\o(GC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，x，y∈R，則x＋y＝()A．－1 B．1C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)【答案】C【解析】如圖，D為AB的中點(diǎn)，由G是△ABC的重心，可得eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).由eq\o(GC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))及平面對(duì)量基本定理，可得x＝－eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)，則x＋y＝eq\f(1,3).故選C．9．(2024年安徽馬鞍山模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿意eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，EF與AC交于點(diǎn)G，設(shè)eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(GC,\s\up6(→))，則λ＝()A．eq\f(9,7) B．eq\f(7,4)C．eq\f(7,2) D．eq\f(9,2)【答案】C【解析】由E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得eq\o(CG,\s\up6(→))＝xeq\o(CE,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)xeq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(1－x)eq\o(CD,\s\up6(→)).由eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(GC,\s\up6(→))，得eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))．依據(jù)平面對(duì)量基本定理，可得eq\f(1,3)x＝eq\f(1,1＋λ)＝eq\f(2,3)(1－x)，解得x＝eq\f(2,3)，λ＝eq\f(7,2).故選C．10．(2024年陜西漢中模擬)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(1－2μ)eq\o(BC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.【答案】eq\f(3,4)【解析】由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(BP,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(BP,\s\up6(→))＝(1－2μ)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1－2μ)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(2μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－2μ)eq\o(AC,\s\up6(→))，由向量基本定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1＝2μ－1，,λ＝1－2μ，))解得λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,4)，則λ＋μ＝eq\f(3,4).11．如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，試用a，b為基底表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【解析】∵AB∥DC且AB＝2CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b.∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))