2025屆上海市崇明區(qū)高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市崇明區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．2．本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3．答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1.已知集合，則__________.【答案】【解析】因?yàn)榧?，所以，故答案為?.不等式的解為__________．【答案】【解析】不等式的解即為，故原不等式的解為，故答案為：3.若復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，則_____.【答案】【解析】，則所以，，，故答案為：4.的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為__________．【答案】35【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為.故答案為：5.雙曲線的漸近線方程是__________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為即，故答案為：.6.已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值是______．【答案】100【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.即的最大值為.故答案為：7.已知，如果，那么實(shí)數(shù)的值為______.【答案】4【解析】由題意得，則.故答案為：4.8.已知，關(guān)于的方程的解___________．【答案】【解析】等價于或，故，故答案為：9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.10.某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】當(dāng)時，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當(dāng)時，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當(dāng)時，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，和均符合題意.故答案為：或.11.已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)，所以，故，故答案為：12.已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是__________．【答案】【解析】若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t不同的函數(shù)的個數(shù)為，其中增函數(shù)共有3個：（1）；（2）；（3）；故所求概率為，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）13.下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，又是嚴(yán)格增函數(shù)，正確；對于B，的定義域?yàn)镽，且，所以不為奇函數(shù)，錯誤；對于C，的定義域?yàn)?,+∞，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不具有奇偶性，嚴(yán)格增函數(shù)，錯誤；對于D，的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，但為周期函數(shù)，不是定義域R上的嚴(yán)格增函數(shù)，錯誤.故選：A14.已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面.而“垂直于內(nèi)的兩條直線”，沒有滿足相交，所以不一定能推出直線與平面垂直，但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，即可得：“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的必要不充分條件.故選：B.15.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【解析】A選項(xiàng)，事件包含的情況有，事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，A錯誤；B選項(xiàng)，事件包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，B錯誤；C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，故，事件包含的情況為，故，故，故事件與事件不相互獨(dú)立，C錯誤；D選項(xiàng)，事件包含的情況有，，共18種情況，故，事件包含的情況有：，故，因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，D正確.故選：D16.已知數(shù)列，若存在數(shù)列滿足對任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是的交錯數(shù)列.有下列兩個命題：①對任意給定的等差數(shù)列，不存在等差數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列；②對任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（）A.①與②都真命題； B.①為真命題，②為假命題；C.①為假命題，②為真命題； D.①與②都是假命題．【答案】A【解析】對于①：因?yàn)閿?shù)列、均為等差數(shù)列，設(shè)，則，若，可知當(dāng)時，恒成立，不滿足交錯數(shù)列；若，可知的符號不變，不滿足交錯數(shù)列；若，可知當(dāng)時，恒成立，不滿足交錯數(shù)列；綜上所述：對任意等差數(shù)列、，均不是的交錯數(shù)列，故①正確；對于②：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，等比數(shù)列的公比為不妨假設(shè)，，此時等比數(shù)列的公比為當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；滿足是的交錯數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，同理若，，此時等比數(shù)列的公比為當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；滿足是的交錯數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，綜上所述：對任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列，故②正確；故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.如圖，在直三棱柱中，E、F分別為、的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）證明：取中點(diǎn)，連接，則，，又，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由（1）點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以，，，所以，，所以為等腰三角形，則，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，所以，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.18.在中，已知點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且，.（1）若，且，求AD的長；（2）若，，求AD的長（結(jié)果精確到0.01）.解：（1）因?yàn)椋?，，又，所以即，解?（2）在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得.19.王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試（滿分100分）成績分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)將記作第一組，、、、分別記作第二、三、四、五組．已知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計此次考試成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）王老師將測試成績在和內(nèi)的試卷進(jìn)行分析，再從中選2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率；（3）已知第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此計算第二組和第四組所有學(xué)生成績的方差．解：（1）由題意得，解得所以平均數(shù)等于（2）由題意，內(nèi)有8人，內(nèi)有2人，所以被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率為.（3）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，由題意，第二組、第四組分別有10人和8人，所以成績在第二組、第四組的平均數(shù)成績在第二組、第四組的方差故估計成績在第二組、第四組方差是.20.已知橢圓，點(diǎn)、分別是橢圓的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．（1）若直線平行于軸，求線段AB的長；（2）若點(diǎn)A在y軸左側(cè)，且，求直線l的方程；（3）已知橢圓上的點(diǎn)C滿足，是否存在直線l使得的重心在x軸上？若存在，請求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．解：（1）由題意，、，所以直線的方程是，代入中，得，所以（2）設(shè)，則所以，又，所以所以點(diǎn)坐標(biāo)是或，所以直線的方程是或.（3）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入中，得，此時，設(shè)、、，則，所以中點(diǎn).又的重心在軸上，所以，即，故，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得或當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時、恰為長軸頂點(diǎn)，點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，滿足題意．綜上所述，存在直線l使得的重心在軸上，其方程為：或或.21.定義：若曲線和曲線有公共點(diǎn)P，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線在點(diǎn)P處的切線重合，則稱與在點(diǎn)P處“一線切”.（1）已知圓與曲線在點(diǎn)處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)，，若曲線與曲線在點(diǎn)P處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值；（3）定義在上的函數(shù)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意的，都有成立.是否存在點(diǎn)使得曲線和曲線在點(diǎn)處“一線切”？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.解：（1），所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)閳A與曲線在點(diǎn)處“一線切”，所以直線與圓在點(diǎn)處相切，所以，所以.（2）設(shè)，，由題意，，所以，解得.（3）假設(shè)存在滿足題意，則有，對函數(shù)求導(dǎo)得：，于是，即，平方得，即有，因此，整理得，而恒有成立，則有，從而，顯然，于是，即與恒成立矛盾，所以假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)滿足條件上海市崇明區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．2．本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3．答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1.已知集合，則__________.【答案】【解析】因?yàn)榧?，所以，故答案為?.不等式的解為__________．【答案】【解析】不等式的解即為，故原不等式的解為，故答案為：3.若復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，則_____.【答案】【解析】，則所以，，，故答案為：4.的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為__________．【答案】35【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為.故答案為：5.雙曲線的漸近線方程是__________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為即，故答案為：.6.已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值是______．【答案】100【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.即的最大值為.故答案為：7.已知，如果，那么實(shí)數(shù)的值為______.【答案】4【解析】由題意得，則.故答案為：4.8.已知，關(guān)于的方程的解___________．【答案】【解析】等價于或，故，故答案為：9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.10.某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】當(dāng)時，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當(dāng)時，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當(dāng)時，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，和均符合題意.故答案為：或.11.已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)，所以，故，故答案為：12.已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是__________．【答案】【解析】若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則不同的函數(shù)的個數(shù)為，其中增函數(shù)共有3個：（1）；（2）；（3）；故所求概率為，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）13.下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，又是嚴(yán)格增函數(shù)，正確；對于B，的定義域?yàn)镽，且，所以不為奇函數(shù)，錯誤；對于C，的定義域?yàn)?,+∞，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不具有奇偶性，嚴(yán)格增函數(shù)，錯誤；對于D，的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，但為周期函數(shù)，不是定義域R上的嚴(yán)格增函數(shù)，錯誤.故選：A14.已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面.而“垂直于內(nèi)的兩條直線”，沒有滿足相交，所以不一定能推出直線與平面垂直，但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，即可得：“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的必要不充分條件.故選：B.15.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【解析】A選項(xiàng)，事件包含的情況有，事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，A錯誤；B選項(xiàng)，事件包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，B錯誤；C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，故，事件包含的情況為，故，故，故事件與事件不相互獨(dú)立，C錯誤；D選項(xiàng)，事件包含的情況有，，共18種情況，故，事件包含的情況有：，故，因?yàn)椋允录c事件相互獨(dú)立，D正確.故選：D16.已知數(shù)列，若存在數(shù)列滿足對任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是的交錯數(shù)列.有下列兩個命題：①對任意給定的等差數(shù)列，不存在等差數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列；②對任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（）A.①與②都真命題； B.①為真命題，②為假命題；C.①為假命題，②為真命題； D.①與②都是假命題．【答案】A【解析】對于①：因?yàn)閿?shù)列、均為等差數(shù)列，設(shè)，則，若，可知當(dāng)時，恒成立，不滿足交錯數(shù)列；若，可知的符號不變，不滿足交錯數(shù)列；若，可知當(dāng)時，恒成立，不滿足交錯數(shù)列；綜上所述：對任意等差數(shù)列、，均不是的交錯數(shù)列，故①正確；對于②：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，等比數(shù)列的公比為不妨假設(shè)，，此時等比數(shù)列的公比為當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；滿足是的交錯數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，同理若，，此時等比數(shù)列的公比為當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；滿足是的交錯數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，綜上所述：對任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列，故②正確；故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.如圖，在直三棱柱中，E、F分別為、的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）證明：取中點(diǎn)，連接，則，，又，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由（1）點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以，，，所以，，所以為等腰三角形，則，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，所以，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.18.在中，已知點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且，.（1）若，且，求AD的長；（2）若，，求AD的長（結(jié)果精確到0.01）.解：（1）因?yàn)?，所以，，又，所以即，解?（2）在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得.19.王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試（滿分100分）成績分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)將記作第一組，、、、分別記作第二、三、四、五組．已知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計此次考試成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）王老師將測試成績在和內(nèi)的試卷進(jìn)行分析，再從中選2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率；（3）已知第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此計算第二組和第四組所有學(xué)生成績的方差．解：（1）由題意得，解得所以平均數(shù)等于（2）由題意，內(nèi)有8人，內(nèi)有2人，所以被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率為.（3）設(shè)第二組、第四