空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系+高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修二

第八章§8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.2.掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實.(重點)3.會用符號表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系.(難點)導(dǎo)語前面我們初步認(rèn)識了簡單幾何體的組成元素，知道了頂點、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素，我們以直觀感知的方式認(rèn)識了這些基本元素之間的相互關(guān)系，從而得到了多面體的一些結(jié)構(gòu)特征.為了進(jìn)一步認(rèn)識立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，需要對點、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究.本節(jié)我們先研究平面及其基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，研究空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.一、平面的概念、畫法及表示二、基本事實及應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引平面的概念、畫法及表示一問題1

生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？提示無限延展、不計大小、不計厚薄、沒有質(zhì)量等.知識梳理畫法平面水平放置平面豎直放置

表示平面的畫法及表示ABCDACBDαβγ①平行四邊形的四個頂點：平面

；②對角頂點：平面

或平面

；③希臘字母：平面

，平面

，平面知識梳理注意點：一般按逆時針的順序用大寫字母標(biāo)注平行四邊形的四個頂點.例1(多選)下列說法正確的是A.平面是處處平的面B.平面是無限延展的C.平面的形狀是平行四邊形D.一個平面的厚度可以是0.001cm平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，√√AB兩種說法是正確的；CD兩種說法是錯誤的.反思感悟(1)“平面”是平的(這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù))；(2)“平面”無厚薄之分；(3)“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù).跟蹤訓(xùn)練1下列說法正確的是A.平行四邊形是一個平面B.任何一個平面圖形都是一個平面C.平靜的太平洋面就是一個平面D.一個平面可以將空間分成兩部分√A不正確，我們用平行四邊形來表示平面，但不能說平行四邊形是一個平面，平行四邊形僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，它是不能無限延展的；B不正確，平面圖形和平面是完全不同的兩個概念，平面圖形是有大小的，它是不可以無限延展的；C不正確，太平洋再大也會有邊際，也不可能是絕對平面；D正確，平面是無限延展的，它將空間分成兩部分.二基本事實及應(yīng)用問題2

我們知道，兩點確定一條直線，要確定一個平面需要幾個點呢？提示不共線的三個點；問題3

如果直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內(nèi)呢？提示不在；如果三點共線，無數(shù)個平面；無數(shù)個平面；則有無數(shù)個平面，如果三點不共線，有唯一的一個平面.在.過空間一點有幾個平面？兩個點呢？三個點呢？如果直線與平面有兩個公共點，直線在平面內(nèi)嗎？問題4

我們把三角尺的一個頂點直立在桌面上，則該三角尺所在的平面與桌面是否只有一個公共點？提示不是.三角尺所在的平面是可以無限延展的，用它去“穿透”課桌面，兩個平面相交于一條直線.知識梳理1.點、直線、平面之間的基本位置的符號表示文字語言符號語言點A在平面α外直線l在平面α內(nèi)平面α，β相交于直線lA∈αA?αl?αl?αα∩β＝l點

A

在直線

l

上A

∈

l點

A

在直線

l

外A

?

l點A在平面α內(nèi)直線l不在平面α內(nèi)知識梳理基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1

基本事實22.公理過不在一條直線上的三個點，

一個平面有且只有A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈αA∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_____如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條直線在___________兩個點這個平面內(nèi)l?α知識梳理基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的_________公共直線P∈α且P∈βα∩β＝l，且P∈l?知識梳理3.推論推論內(nèi)容圖形推論1

推論2

推論3

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面注意點：有時可用平面內(nèi)不共線的三點來表示平面，例如平面ABC.例2用符號表示下列語句，并畫出圖形.(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.角度1

立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖1.圖1(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上.用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖2.圖2反思感悟根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)若點A在直線b上，直線b在平面β內(nèi)，則點A，直線b，平面β之間的關(guān)系可以記作A.A∈bB.b?βC.A∈βD.A?β√√√(2)如圖所示，用符號語言可表述為A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n√如圖所示，例3已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面.角度2

點、線共面問題∵a∥b，∴過a，b有且只有一個平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α，即過a，b，l有且只有一個平面.反思感悟證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”.(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).方法一()∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).方法二∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2和l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).納入法(同一法)同理可證C∈α.∴B∈α.例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中“E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M”，求證：點D，A，M三點共線.角度3

共線、共點問題因為D1F∩CE＝M，且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，從而M在兩個平面的交線上，同理M∈平面BCDA。因為平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立.所以點D，A，M三點共線.反思感悟(1)證明三點共線的方法(2)證明三線共點的步驟跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點.因為在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD必定相交于一點，如圖，設(shè)AB∩CD＝M.又因為AB?α，CD?β，所以M∈α且M∈β，又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共點.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)平面的概念.(2)基本事實.(3)共面、共線、共點問題.2.方法歸納：同一法、納入法.3.常見誤區(qū)：三種語言的相互轉(zhuǎn)換.隨堂演練三表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP.1.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為A.平面MNB.平面NQPC.平面αD.平面MNPQ√12342.若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的作圖是1234√B中直線a不應(yīng)超出平面α；C中直線a不在平面α內(nèi)；D中直線a與平面α相交.3.空間四個點中，三點共線是這四個點共面的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件