2025年春八年級下冊數(shù)學(xué)北師版教學(xué)課件 1.2 第2課時(shí) 直角三角形全等的判定

新知一覽等腰三角形三角形的證明線段的垂直平分線角平分線直角三角形直角三角形全等的判定直角三角形的性質(zhì)與判定1.2直角三角形第一章三角形的證明第2課時(shí)直角三角形全等的判定問題1：我們學(xué)過哪些判定三角形全等的方法？問題2：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?

如果其中一組等邊所對的角是直角呢?問題：如果這兩個(gè)三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且

AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？ABCDEF直角三角形全等的判定1做一做已知一條直角邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形.已知：如圖，線段

a，c(a＜c)，直角

α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.αac結(jié)果展示(1)先畫

∠MCN＝∠α＝90°.(2)在射線

CM

上截取

CB＝a.AMCM(3)以點(diǎn)B為圓心，線段c的長為半徑作弧，交射線CN于點(diǎn)A.(4)連接AB，得到Rt△ABC.Bαac視頻觀看結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.已知：如圖，在△ABC

與△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，

AB=A′B′，AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′證明：在△ABC中，ABCA′B′C′∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴BC＝B'C'.∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，同理，B'C'2＝A'B'2－A'C'2.∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理).∵∠C＝90°驗(yàn)證結(jié)論歸納總結(jié)文字語言：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等

(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).幾何語言：“斜邊、直角邊”判定方法在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′，BC=B′C′，ABCA′B′C′例1

已知：如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，

求證：BC=AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA，

AC=BD.在

Rt△ABC

和

Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路典例精析

變式1：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，要證明△ABC≌△BAD，還需一個(gè)什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?(1)

()(2)

()(3)

()(4)

()ABDCAD＝BC∠DAB＝∠CBABD＝AC∠DBA＝∠CABHLHLAASAAS例2

如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度

AC與右邊滑梯水平方向的長度

DF

相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形的對應(yīng)角相等).∵∠DEF+∠F=90°(直角三角形的兩銳角互余)，∴∠B

+∠F

=

90°.解：根據(jù)題意，可知∠ABC=∠DEF

=90°，BADFCE證明：∵AD，AF

分別是兩個(gè)鈍角△ABC

和△ABE

的高，且

AD＝AF，AC＝AE，∴

Rt△ADC

≌

Rt△AFE

(HL).∴

CD

＝

EF.∵AD

＝

AF，AB

＝

AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF

(HL).∴

BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即

BC＝BE.

1.

如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，若

AD＝AF，AC＝AE，求證：BC＝BE.練一練“斜邊、直角邊”內(nèi)容斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等前提條件在直角三角形中使用方法只須找除直角外的兩個(gè)條件即可

(兩個(gè)條件中至少有一個(gè)條件是一組邊相等)1.判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有(

)

A.兩條直角邊對應(yīng)相等B.斜邊和一銳角對應(yīng)相等

C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等D.兩個(gè)銳角對應(yīng)相等D2.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則

△ADB與△ADC

(填“全等”或“不全等”)，依據(jù)是

(用簡寫法).全等HL┑3.如圖，在

△ABC中，已知

BD⊥AC，CE⊥AB，

BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在

Rt△EBC

和

Rt△DCB

中，CE=BD，BC=CB，

∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).4.

如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動，問P點(diǎn)運(yùn)動到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？解：(1)當(dāng)

P運(yùn)動到

AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌

Rt△QPA(HL).∴

AP＝BC＝5cm.能力拓展(2)當(dāng)

P運(yùn)動到與

C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ