中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型訓(xùn)練圓的綜合證明壓軸題（解析版）

圓的綜合證明壓軸題 觀察近幾年大連中考試卷，可以看出圓作為中考必考知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生復(fù)習(xí)的重點(diǎn)部分。在選擇中一般考查圓周角定理等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，難度相對(duì)較低，在壓軸解答題部分會(huì)結(jié)合全等三角形和相似三角形以及三角函數(shù)考查，涉及知識(shí)點(diǎn)更多也更復(fù)雜，需要學(xué)生掌握一定的輔助線做法和解題思路?！局R(shí)點(diǎn)1】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。例題1、如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝6cm，OD＝4cm，則DC的長(zhǎng)為（）A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm【答案】D； 【解析】連OA，由垂徑定理知AD=1所以在Rt△AOD中，AO=OD所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【點(diǎn)評(píng)】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)度）構(gòu)成的直角三角形。變式練習(xí)1、AB為⊙O的弦，OC⊥AB，C為垂足，若OA＝2，OC＝l，則AB的長(zhǎng)為()．A．B．C．D．【答案】D；【解析】先求AC=22?1變式練習(xí)2、如圖1，某公園的一座石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24m，拱的半徑為13m，則拱高為（）A．5mB．8mC．7mD．m【答案】B；【解析】如圖2，AB表示橋拱，弦AB的長(zhǎng)表示橋的跨度，C為AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O為AB的圓心，根據(jù)垂徑定理的推論可知，C、D、O三點(diǎn)共線，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，則OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴OD＝5，∴CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高為8m．【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是將這樣的實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即能夠把題目中的已知條件和要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題中的已知條件和問(wèn)題．【知識(shí)點(diǎn)2】弧長(zhǎng)公式：l=nπr180扇形面積公式：圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形面積：S=πrR例題1、如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中點(diǎn)E為圓心的MPN與AD相切于點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積是多少?【答案】13【解析】∵BC＝AD＝3，∴BE=32連接PE，∵AD切⊙E于P點(diǎn)，∴PE⊥AD．∵∠A＝∠B＝90°．∴四邊形ABEP為矩形，∴PE＝AB＝1．在Rt△BEM中，BEME=321同理∠CEN＝30°，∴∠MEN＝180°-30°×2＝120°．∴S扇形【點(diǎn)評(píng)】由MPN與AD相切，易求得扇形MEN的半徑，只要求出圓心角∠MEN就可以利用扇形面積公式求得扇形MEN的面積．變式練習(xí)1、如圖所示，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為10cm，圖中陰影部分的面積為()．A．B．C．D．【答案】B；【解析】如圖，因?yàn)锳D∥BC，∠ADC＝120°，所以∠BCD＝60°，因?yàn)锳C平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝30°，所以∠BAC＝90°，BC為圓的直徑，所以AD＝DC＝AB．設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接OA、OD，由題意可知點(diǎn)A、D三等分半圓，則∠AOD＝60°，且OA＝OD＝AB＝AD＝CD，BC＝2AD，所以AB+AD+CD+BC＝10，所以半徑為2，則S陰影變式練習(xí)2、如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，將扇形AED剪下圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為．【答案】13【解析】在Rt△ABE中，BE=22?（3）2=1∴∠DAE=60°，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為：60π×2180=∴圓錐的底面半徑為23π÷2π=變式練習(xí)3、若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為_(kāi)_____.【答案】180°【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為R，底面半徑為r， 則S側(cè)面積=2S底面積,所以πrR=2π 利用圓錐側(cè)面的弧長(zhǎng)求解圓心角度數(shù)： 所以n×π×2r180【知識(shí)點(diǎn)3】切線：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。反證法：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓；外心：外接圓圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓； 內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。切線的判定方法：例題1、如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠DEC=∠BAC.求證：DE是⊙O的切線?！敬鸢浮緿E是⊙O的切線【解析】

連接BD，∵∠BAD=90°，∴點(diǎn)O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；變式練習(xí)1、如圖，△ABC中AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)E.求證：AC與D相切?！敬鸢浮緼C是D的切線?！窘馕觥孔C明：作DF⊥AC于F，連接AD、DE.∵AB是D的切線，∴DE⊥AB，∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DF=DE，∴AC是D的切線。變式練習(xí)2、如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)C在半圓上，且∠ACD=∠B；求證：DC為⊙O切線；【答案】DC為⊙O切線【解析】證明：如圖所示，鏈接OC，因?yàn)镺B=OC,所以∠OCB=∠B，因?yàn)椤螦CD=∠B，所以∠ACD=∠OCB因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，所以∠ACO+∠ACD=90°=∠OCD所以DC為⊙O切線。變式練習(xí)3、如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠DEC=∠BAC.求證：DE是⊙O的切線?！敬鸢浮緿E是⊙O的切線【解析】

連接BD，∵∠BAD=90°，∴點(diǎn)O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；【模型練習(xí)】圓與角平分線：已知AB是直徑，E、C是圓上的點(diǎn)，連接AC。AC平分∠BAE；AD⊥CD； （知二推一）DC是圓O的切線；如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點(diǎn)E。求證：BD=BE；若DE=2，BD=，求CE的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）【解析】（1）設(shè)∠BAD=α∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD=α∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°-2α∵BD是⊙O的切線∴BD⊥AB∴∠DBE=2α∠BED=∠BAD+∠ABC=90°-α∴∠D=180°-∠DBE-∠BED=90°-α∴∠D=∠BED∴BD=BE（2）設(shè)AD交⊙O于點(diǎn)F，CE=，連接BF∵AB是⊙O的直徑∴∠AFB=90°∵BD=BE,DE=2∴FE=FD=1∵BD=∴∴AC=2∴AB==2在Rt△ABC中有勾股定理可知：∴解得：或∴2、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，弦AD與OC相交于點(diǎn)E，與BC相交于點(diǎn)F，AE=DE。求證：∠CBD=∠OCB若⊙O的半徑為2，BC=8，求DF的長(zhǎng)【答案】（2）DF=6【解析】（1）證明：∵AE=DE∴OE⊥AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∴BD⊥AD∴OE∥BD∴∠CBD=∠OCB（2）連接AC、CD，如圖∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=∠ACB=90°∵⊙O的半徑為,BC=8∴AB=∴AC==4∵OB=OC∴∠ABC=∠OCB∴∠ABC=∠CBD∴CD=AC=4∵∠CDA=∠ABC∴∠CDA=∠CBD∵∠DCF=∠BCD∴△DCF∽△BCD∴∴∴BF=BC-CF=6∵∠ACB=∠ADB=90°,∠ABC=∠CBD∴△ABC∽△FBD∴∴3、如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線CE交AB于D，交⊙O于E，EF為⊙O的切線，交CB的延長(zhǎng)線于F.求證：EF∥AB；求BF的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）BF=【解析】（1）證明：連接OE∵∠ACE=∠BCE∴弧AE=弧BE∴OE⊥AB∵EF是切線∴OE⊥EF∴EF∥AB（2）作CH⊥AB于H∵AB是直徑∴∠ACB=90°∴BC=∵∴∵CH∥OE∴△CDH∽△EDO∴∵DB∥EF∴∴BF=4、如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E（1）求證：AC平分∠DAB；（2）連接BE交AC于點(diǎn)F，若AB=10，AC=8，求EF的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）EF=2.1【解析】（1）證明：連接OC，則∠ACO=∠CAO∵CD切⊙O于C∴CO⊥CD又∵AD⊥CD∴AD∥CO∴∠DAC=∠CAO∴AC平分∠BAD（2）如圖，BE、OC交于G∵AB是⊙O的直徑∴BE⊥AD∵CD是⊙O的切線∴CD⊥OC∴四邊形EGCD是矩形∴DE=CG，CD=EG∴OC⊥BE設(shè)DC=EG=BG=，OG=，則AE=在Rt△ADC中，，即①在Rt△OGB中，，即②①-②得，解得：，即AE=21.4=2.8，DC=4.8∵AB為直徑，AD⊥DC∴∠D=∠AEF=90°∵∠EAF=∠DAC∴△AEF∽△ADC∴∴∴EF=2.1圓與等腰三角形：1、如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，∠ABC的平分線與AC相交于點(diǎn)D，與O過(guò)點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E.(1)∠ACB=___°，理由是： ；(2)猜想△EAD的形狀，并證明你的猜想；(3)若AB=8，AD=6，求BD.【答案】（1）90°，直徑所對(duì)的圓周角是直角；（2）△EAD是等腰三角形；（3）【解析】(1)∵AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，∴∠ACB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角)(2)△EAD是等腰三角形。證明：∵∠ABC的平分線與AC相交于點(diǎn)D，∴∠CBD=∠ABE∵AE是O的切線,∴∠EAB=90°∴∠AEB+∠EBA=90°，∵∠EDA=∠CDB,∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，∴AE=AD∴△EAD是等腰三角形。（3）∵AE=ADAD=6∴AE=AD=6∵AB=8∴在直角三角形AEB中,EB=10∵∠CDB=∠E,∠CBD=∠ABE∴△CDB∽△AEB,∴設(shè)CB=4x,CD=3x則BD=5x∴CA=CD+DA=3x+6 在直角三角形ACB中即:解得:x=-2(舍去)或x=∴BD=5x=2、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）略；（2）【解析】(1)∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切線；(2)連接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴，∴EF=.3、如圖，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點(diǎn)E．（1）求證：BD=BE；（2）若DE=2，BD=，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）略；（2）【解析】（1）設(shè)∠BAD=，∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-2，∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2，∠BED=∠BAD+∠ABC=，∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=，∴∠D=∠BED，∴BD=BE（2）設(shè)AD交⊙O于點(diǎn)F，CE=x，則AC=2x，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，∵BD=，∴，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，∴解得：或,∴CE=.1、已知三角形ABC，以AB為直徑的圓O分別交AC與D，BC于E，連接ED，若ED=EC（1）求證：AB=AC（2）若AB=4，BC=23，求CD的長(zhǎng)【答案】（2）CD=3【解析】解:(1)證明:因?yàn)镋D=EC, 所以∠CDE=∠C,又因?yàn)樗倪呅蜛BED是O的內(nèi)接四邊形,所以∠CDE=∠B,所以∠B=∠C,以AB=AC;(2)連接AE,則易知AE⊥BC,所以BE=EC=12在△ABC與△EDC中,因?yàn)椤螩=∠C,∠CDE=∠B,所以△ABC∽△EDC,所以2、如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的圓O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長(zhǎng)線與圓O的切線AF交于點(diǎn)F.(1)求證：∠ABC=2∠CAF；(2)若AC=2，CE:EB=1:4，求CE的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）CE=2.【解析】(1)證明：如圖，連接BD.∵AB為O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°.∵AF是O的切線，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°.∴∠CAF=∠ABD.∵BA=BC,∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD.∴∠ABC=2∠CAF.(2)如圖，連接AE，∴∠AEB=90°，設(shè)CE=x，∵CE:EB=1:4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2，即（2)2=x2+(3x)2，∴x=2.∴CE=2.3、AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，與DO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，求證∠B＝∠E；（2）如圖2，連接AD，若⊙O的半徑為2，OE＝3，求AD的長(zhǎng)．【答案】(2)CD=221【解析】（1）證明：∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A∴AB⊥AE，∴∠A＝90°，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠A＝90°，∵∠BOD＝∠AOE，∴∠B＝∠E．（2）如圖2，連接AC，∵OA＝2，OE＝3，∴根據(jù)勾股定理得AE＝5，∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，∴△BOD∽△EOA，∴BDAE∴BD5∴BD＝25∴CD＝BD＝25∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC＝83在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得AD＝AC＝649+2094、如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A的切線與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．且∠APC＝∠BCP（1）求證：∠BAC＝2∠ACD；（2）過(guò)圖1中的點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E（如圖2），當(dāng)BC＝6，AE＝2時(shí)，求⊙O的半徑．【答案】（2）半徑為13【分析】（1）作DF⊥BC于F，連接DB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAC＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理證明即可；（2）根據(jù)垂徑定理求出F