2025年春八年級下冊數(shù)學(xué)華師版教學(xué)課件 17.4.2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

17.4

反比例函數(shù)第17章函數(shù)及其圖象2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)有哪些？你還記得畫這些函數(shù)圖象時的方法嗎？寫出一個反比例函數(shù)，你能畫出它的圖象嗎？復(fù)習(xí)引入合作探究例1畫出反比例函數(shù)

與

的圖象.提示：畫函數(shù)的圖象步驟一般是：列表→描點→連線.需要注意的是在反比例函數(shù)中自變量x不能為0.解：列表如右：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42－1212反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)－4－5－6O－2描點：以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描繪出相應(yīng)的點．56xy4321123456－3－1－1－2－3－4－5－6連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得函數(shù)與的圖象.x增大O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6

觀察這兩個函數(shù)圖象，回答問題：思考：(1)每個函數(shù)圖象分別位于哪些象限？(2)在每一個象限內(nèi)隨著

x的增大，y如何變化？你能由它們的解析式說明理由嗎？y

減小(3)對于反比例函數(shù)(k＞0)，考慮問題(1)(2)，你能得出同樣的結(jié)論嗎？Oxy●這種圖象有兩支，通常稱為雙曲線.且分別位于第一、三象限它們與x軸、y軸都不相交；●在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.反比例函數(shù)(k＞0)的圖象和性質(zhì)：歸納：反比例函數(shù)

的圖象大致是()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo練一練圖象在第一、第三象限2.已知反比例函數(shù)的圖象過點(－2，－3)，函數(shù)圖象上有兩點A(，y1)，B(5，y2)，則y1與

y2

的大小關(guān)系為()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無法確定C提示：由題可知反比例函數(shù)的表達(dá)式為，因為6＞0，且A，B兩點均在該函數(shù)圖象的第一象限部分，根據(jù)>5，可知

y1，y2的大小關(guān)系.觀察與思考

當(dāng)k=－2，－4，－6時，反比例函數(shù)

的圖象有哪些共同特征？yxOyxOyxO

回顧上面我們利用函數(shù)圖象，從特殊到一般研究反比例函數(shù)(k＞0)的性質(zhì)的過程，你能用類似的方法研究反比例函數(shù)(k＜0)的圖象和性質(zhì)嗎？

yxOyxOyxO(1)當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?2)當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

一般地，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：

k的正負(fù)決定了反比例函數(shù)的圖象所在的象限和增減性

點(2，y1)和(3，y2)在函數(shù)

的圖象上，則

y1

y2(填“>”“<”或“=”).<練一練-2＜0，在每個象限，y隨

x的增大而增大例2

已知反比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，求

a的值.解：由題意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的初步運用例3

已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，6).(1)這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？y隨x的增大如何變化？解：因為點A(2，6)在第一象限，所以這個函數(shù)的圖象位于第一、三象限；在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.(2)點

B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在這個函數(shù)的圖象上？解：設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為，因為點

A(2，6)在其圖象上，所以有，解得k=12.

因為點B，C的坐標(biāo)都滿足該解析式，而點D的坐標(biāo)不滿足，所以點B，C在這個函數(shù)的圖象上，點D

不在這個函數(shù)的圖象上.所以該反比例函數(shù)的解析式為.(1)圖象的另一支位于哪個象限？m的取值范圍是什么？Oxy例4

如圖，是反比例函數(shù)圖象的一支.根據(jù)圖象，回答下列問題：解：因為這個反比例函數(shù)圖象的一支位于第一象限，所以根據(jù)對稱性知另一支位于第三象限.

又因為這個函數(shù)圖象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在這個函數(shù)圖象的某一支上任取點A(x1，y1)和

點

B(x2，y2).如果

x1＞x2，那么y1和y2有怎樣的

大小關(guān)系？解：因為m－5＞0，

所以在這個函數(shù)圖象的任一支上，y都隨x的增大而減小.因此，當(dāng)x1＞x2時，y1＜y2.Oxy練一練已知反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過點A(2，3)．(1)求這個函數(shù)的解析式；解：∵反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過點A(2，3)，∴把點A的坐標(biāo)代入解析式，得，

解得k=

6.∴這個函數(shù)的解析式為.(2)判斷點B(－1，6)，C(3，2)是否在這個函數(shù)的圖象上，并說明理由；解：分別把點B，C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，因為點B的坐標(biāo)不滿足該解析式，點C

的坐標(biāo)滿足該解析式，所以點B不在該函數(shù)的圖象上，點C在該函數(shù)的圖象上．

(3)當(dāng)－3<x<－1時，求y的取值范圍．解：∵當(dāng)x=－3時，y=－2；當(dāng)x=－1時，y=－6，且k>0，∴當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小.∴當(dāng)－3<x<－1時，－6<y<－2.1.

反比例函數(shù)的圖象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限B2.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x與的圖象大致是()OxyAOxyBOxyCOxyDD2＞0，正比例的函數(shù)圖象經(jīng)過第一、第三象限和原點；-1＜0，反比例函數(shù)的圖象在第二、第四象限

3.已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，則

m的取值范圍是________.m＞2圖象在第一、三象限，則m-2＞04.

下列關(guān)于反比例函數(shù)的圖象的三個結(jié)論：

(1)經(jīng)過點(－1，12)和點(10，－1.2)；

(2)在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；

(3)雙曲線位于第二、四象限.其中正確的是

(填序號).(1)(3)都滿足解析式，符合題意-12＜0，圖象位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)

y

隨

x

的增大而增大，故（2）不對，（3）對5.在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上有兩點A(x1，y1)，

B(x2，y2)，

且x1＞x2＞0，則y1－y2

0.＜6.

已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，－4).(1)求k的值；(2)這個函數(shù)的圖象分布在哪些象限？y隨x的增大如何變化?解：(1)依題意把點A(2，－4)

代入解析式，得，解得k=－8.(2)這個函數(shù)的圖象位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.(3)畫出該函數(shù)的圖象；(4)點

B(1，－8)，C(－3，5)是否在該函數(shù)的圖象上？因為點B的坐標(biāo)滿足該函數(shù)解析式，而點C的坐標(biāo)不滿足該函數(shù)解析式，所以點B在該函數(shù)的圖象上，點C不在該函數(shù)的圖象上.(4)該反比例函數(shù)的解析式為

.Oxy解：(3)如圖所示.7.已知反比例函數(shù)y=mxm2－5，它的兩個分支分別在第一、第三象限，求m的值.解：因為反比例函數(shù)y=mxm2－5的兩個分支分別在第一、第三象限，所以有m2－5=－1，m＞0，解得

m=2.能力提升8.已知點(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函數(shù)(k＞0)的圖象上，若

y1＜y2，求

a的取值范圍.

解：由

k＞0知在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

①當(dāng)這兩點在圖象的同一支上時，

∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，無解；