人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊綜合質(zhì)量評估檢測含答案

綜合質(zhì)量評估(時間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)-1-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:復(fù)數(shù)-1-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(-1,-2)位于第三象限.答案:C2.(2023·全國乙卷,理)設(shè)z=2+i1+i2+iA.1-2i B.1+2iC.2-i D.2+i解析:因為i2=-1,i5=i,所以z=2+i1+i2+i5=2+ii=1-2i,所以z答案:B3.DC+AB-AC=()A.DB B.BCC.AD D.CB解析:DC+AB-AC=DC+CA+AB=DB.答案:A4.若數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的平均數(shù)為2,方差為3,則()A.數(shù)據(jù)3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的平均數(shù)為20B.∑i=110xC.數(shù)據(jù)3x1+2,3x1+2,…,3x10+2的方差為9D.∑i=110解析:數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的平均數(shù)為2,方差為3,則3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的平均數(shù)為3×2+2=8,3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差為3×32=27,故AC錯誤;∑i=110xi=10×2=20,故B錯誤;110∑i=110xi2=x2+s答案:D5.已知向量a=59,32,b=-49,-32,c=(-1,3),則向量c在向量a-b上的投影向量為()A.12,32 B.-12,32C.32,12 D.-32,12解析:因為向量a=59,-32,b=-49,-32,c=(-1,3),所以a-b=(1,3),又c=(-1,3),所以c在向量a-b上的投影向量為c·(a-b)(a-b)2(a-b)=12答案:A6.已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率,先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定2,4,6,8表示命中十環(huán),0,1,3,5,7,9表示未命中十環(huán),再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次射擊的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估計,小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為()A.0.25 B.0.3C.0.35 D.0.4解析:由題意知,模擬三次射擊的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù),在20組隨機數(shù)中表示三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的有421,292,274,632,478,663,共6組隨機數(shù),所以所求概率P=620=0.3答案:B7.下列命題正確的是()①平行于同一條直線的兩條直線平行;②平行于同一條直線的兩個平面平行;③平行于同一個平面的兩條直線平行;④平行于同一個平面的兩個平面平行.①② B.③④C.①④ D.②③解析:①由平行公理可得,平行于同一條直線的兩條直線平行,故①正確;②平行于同一條直線的兩個平面平行或相交,故②錯誤;③平行于同一個平面的兩條直線有三種位置關(guān)系,即平行、相交或異面,故③錯誤;④由平面與平面平行的判定可得,平行于同一個平面的兩個平面平行,故④正確.所以正確的說法是①④.答案:C8.某?；@球運動員進行投籃練習(xí),若他前一球投進,則后一球投進的概率為34;若他前一球投不進,則后一球投進的概率為14.若他第1球投進的概率為34A.34B.5C.116D.9解析:分以下兩種情況討論:(1)第2球投進,其概率為34×34+14×14=58,第3球投進的概率為5(2)第2球投不進,其概率為1-58=38,第3球投進的概率為38×1故第3球投進的概率為1532+332=答案:D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天,每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下,一定符合該標志的是()甲地:中位數(shù)為2,極差為5;乙地:總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2;丙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;丁地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3.甲地 B.乙地C.丙地 D.丁地解析:甲地:中位數(shù)為2,極差為5,每天新增疑似病例沒有超過7人的可能,故甲地符合該標志,即A項正確;乙地:總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,每天新增疑似病例有超過7人的可能,故乙地不符合該標志,即B項不正確;丙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0,每天新增疑似病例有超過7人的可能,故丙地不符合該標志,即C項不正確;丁地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3.根據(jù)方差公式,如果存在大于7的數(shù),那么方差一定大于3,故丁地符合該標志,即D項正確.故選AD.答案:AD10.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若b=ccosA,角A的平分線交BC于點D,AD=1,cos∠BAC=18,以下結(jié)論正確的是()A.AC=3B.AB=8C.CDBD=D.△ABD的面積為3解析:因為b=ccos∠BAC,所以sinB=sinCcos∠BAC=sin(∠BAC+C),所以sinCcosA=sin∠BACcosC+sinCcos∠BAC,所以sin∠BACcosC=0.因為sin∠BAC≠0,所以cosC=0,即C=12π因為cos∠BAC=ACAB=1由角平分線定理,可得ACAB=CDBD=設(shè)AC=x,則AB=8x,BC=37x,CD=73在Rt△ACD中,由勾股定理,可得x2+73x2=1,解得x=34,即AC=34,所以AB=因為S△ABC=12bcsin∠BAC=12×34×6×1-(18)

2=27732,所以S答案:ACD11.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,BC的中點,P,Q是線段A1C1上的兩個動點,且PQ=1,以A為頂點的三條棱長都是1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,則()A.EF∥平面A1C1DB.AC1=5C.三棱錐B-PQE的體積是定值D.三棱錐A1-ABD的外接球的表面積是3π答案:ACD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2023·新高考全國Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,則|b|=3.解析:因為|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b.所以b2=3.所以|b|=3.13.已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),則當(dāng)λ=12時,點P在第一、第三象限的角平分線上;當(dāng)λ<-1時,點P在第三象限內(nèi)解析:設(shè)點P的坐標為(x,y),則AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+λAC=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).因為AP=AB+λAC,所以x-2=3+5λ,y-3=1+7λ.所以x=5+5λ,y=4+7λ.若點P在第一、第三象限的角平分線上,則5+5λ=4+7λ,所以λ=12.若點P14.(2024·新高考全國Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標有一個數(shù)字,甲的卡片上分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為12解析:甲出1一定輸,所以甲最多得3分.若甲得3分,就只有一種組合1-8,3-2,5-4,7-6.若甲得2分有三類,分別列舉如下:①出3和出5時贏,有1-6,3-2,5-4,7-8;②出3和出7時贏,有1-4,3-2,5-8,7-6或1-8,3-2,5-6,7-4或1-6,3-2,5-8,7-4;③出5和出7時贏,有1-2,3-8,5-4,7-6或1-4,3-8,5-2,7-6或1-8,3-4,5-2,7-6或1-6,3-8,5-2,7-4或1-8,3-6,5-2,7-4或1-6,3-8,5-4,7-2或1-8,3-6,5-4,7-2.共12種組合滿足要求,而所有組合為A44=24種,所以甲的總得分不小于2的概率為1224四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)如圖所示,已知△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,點D是CB的中點,E為AB上一點.(1)設(shè)CA=a,CD=b,當(dāng)AE=12AB,請用a,b來表示AB,(2)當(dāng)AE=2EB時,求證:AD⊥CE.(1)解:因為CA=a,CD=b,點D是CB的中點,所以CB=2b,所以AB=CB-CA=2b-a,因為AE=12AB,所以CE=CA+AE=CA+12AB=a+12(2(2)證明:設(shè)CA=a,CD=b,則CB=2b,因為AE=2EB,所以CE=CA+AE=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13(a+4b),AD=AC+CD=-a+b.因為△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,點D是CB的中點,所以|a|=2|b|,a·b=0,所以AD·CE=13(a+4b)·(-a+b)=13(4b2-a216.(15分)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足BC·BA=-12(1)求角B的大小;(2)若b=23,sinA+sinC=1,求△ABC的面積.解:(1)因為BC·BA=-12ac,所以accosB=-12ac,所以cosB=-12.因為0<B<π,所以(2)因為B=2π3,b=23,所以12=a2+c2+ac①,又asinA=csinC=2332=4,所以sinA=a4,sinC=c4,所以a4+c4=1,所以a+c=4,所以a2+c2+2ac=16②,所以②-①得,ac=4,所以S△ABC=17.(15分)已知1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,所有球的大小完全相同.從1號箱中不放回地依次取2個球,每次取一個,求第一次取得紅球且第二次取得仍是紅球的概率.解:設(shè)“從1號箱中第1次取得紅球”為事件A,“從1號箱中第2次取得紅球”為事件B,由題意可知,P(A)=46=23,P(B|A)=35,所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=2518.(17分)某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書興趣,特舉辦讀書活動,準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段需看不同類型的書籍,為了合理配備資源,現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)讀書者進行年齡調(diào)查,隨機抽取了一天中40名讀書者進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計在這40名讀書者中年齡分布在區(qū)間[40,70)上的人數(shù);(2)求這40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);(3)從年齡在區(qū)間[20,40)上的讀書者中任選兩名,求這兩名讀書者年齡在區(qū)間[30,40)上的人數(shù)恰為1的概率.解:(1)由頻率分布直方圖知,年齡在區(qū)間[40,70)上的頻率為(0.020+0.030+0.025)×10=0.75,所以40名讀書者中年齡分布在區(qū)間[40,70)上的人數(shù)為40×0.75=30.(2)40名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54(歲).設(shè)40名讀書者年齡的中位數(shù)為x歲,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名讀書者年齡的中位數(shù)為55歲.(3)年齡在區(qū)間[20,30)上的讀書者有2人,分別記為a,b,年齡在區(qū)間[30,40)上的讀書者有4人,分別記為A,B,C,D.從上述6人中選出2人,有如下樣本點:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15個,記選取的兩名讀書者中恰好有1人年齡在區(qū)間[30,40)上為事件A,則事件A包含8個樣本點:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=81519.(17分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=2π3,AB=AC=2,AA1=6,D是BC的中點(1)求證:A1B∥平面ADC1;(2)求二面角B-AD-C1的余弦值.(1)證明:連接A1C交A