2011年全國各地高考數學試題評析

PAGE82011年全國各地高考數學試題評析2011年全國高考數學試題非課標地區(qū)有：全國大綱卷（河北、廣西、云南、貴州、甘肅、青海、內蒙古、西藏）、湖北卷、重慶卷、四川卷；課標地區(qū)有：全國課程卷（河南、寧夏、海南、黑龍江、吉林、山西、新疆）、北京卷、天津卷、江西卷、安徽卷、湖南卷、廣東卷、福建卷、浙江卷、陜西卷、遼寧卷、山東卷、江蘇卷；教育綜合改革試點地區(qū)為：上海卷.除江蘇是文理科合卷外，其余均是文理科分卷。共計35套試題.需要說明的是，上海是自己的考試大綱，其余均是國家考試中心的高考大綱.當然，自主命題的省份一般有本省的高考大綱的說明.綜觀這些試題，筆者感到有以下特點，對今后的高考備考有一定啟迪作用.試題設計鮮活:試卷的結構變化，破除了以往“八股式”的試卷結構。諸如：陜西卷第18題改變了傳統(tǒng)的三角函數試題的結構形式，設計為“敘述并證明余弦定理”，體現了課本基礎知識和數學本質的考查，既能考核向量方法，又可考核解析方法；江西卷將立體幾何作為整卷的壓卷題；安徽理科卷第19題里出現了單獨的不等式證明題；安徽理科卷第18題（文科壓卷題）把數列與三角函數結合；全國大綱理科卷壓卷題將函數、概率與不等式證明綜合；江西卷第10題理科圓運動形成的曲線（文科“凸輪”）趣味題；福建卷理科第10題將函數圖象、點列、等差數列、三角形形狀判定綜合為一體；福建卷文科第16題里“商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格”；廣東理科卷第21題里將拋物線、切線、一元二次方程、不等式、函數最值綜合，呈現了問題的選拔性。廣東文科卷第18題里“直圓柱沿過軸的平面切開后“的平移，體現了問題的新穎性.應當說，今年數學試卷新穎靈活的結構模式，是對考生應變能力的一次大檢驗，也會對今后的高中數學教與學帶來深刻的啟示.例1(北京理科8)設，，，．記為平行四邊形內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，則函數的值域為（）A．B．C．D．講解：在平面直角坐標系中,畫出平行四邊形ABCD，其中A是原點，B在軸正半軸上，設（=1,2,3）與AD邊的交點為，與BC邊的交點為，四邊形ABCD內部（不包括邊界）的整點都在上.因為||=|AB|=4，所以線段上的整點有3個或4個，得9=3×3≤≤3×4=12，易求得點,,.當不上整數時，,,都不是整點，=12；當為型整數時，，，都是整點，=9；當為型整數時，，，中只有是整點，=11；當為或型整數時，,,都不是整點，=12.（）圖1-1圖1-2圖1-3故知函數的值域為{9,11,12}，選C.點評:本題考查平面區(qū)域內的整點個數問題，考查數形結合思想、分類整合思想及分析解決問題能力，屬于創(chuàng)新型的考題.例2（全國大綱12）設向量滿足,則的最大值等于（）A．B．C．D．講解：由知向量所成角為，由知終點與終點連線的夾角為，故的終點在以向量的終點所連線段為邊，所夾的角為的兩段圓弧上，點O在其中一段弧所在圓上，且弧所在圓的半徑為1，所以的最大值為圓的圖2直徑2.選A.點評:考查平面向量的模的概念、數量積的概念、夾角的幾何意義及平面幾何知識解決向量問題的方法。屬于“動態(tài)幾何”問題，新穎獨特．試題背景深刻：試題設計在堅持基礎、穩(wěn)定，考查基礎知識、基本技能、基本數學思想方法和基本活動經驗的前提下，一些題目的背景深刻，既有課本定理的證明與運用，還有經典試題的改變，更有著名數學背景的滲透，還有高等數學問題的下移。天津第19題考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、解不等式、函數的零點等基礎知識，考查運算能力和運用函數思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法，有著深刻的高等數學背景；四川理科第20題將二項式定理和等比數列結合，在解答試題里是很少見到的；四川文科第17題里“本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多”情景的概率題，更是與人們日常生活相聯(lián)系.例3（全國課標12）函數的圖像與函數（）的圖像所有交點的橫坐標之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8講解：函數圖象的對稱中心是（1,0），這也是函數的對稱中心，在上這兩個函數的圖象在x=1的左側有4個交點，在x=1右側也必有4個交點，不妨將其橫坐標由小到大依次記為，則，故選D.MN點評：MN例4(江西理科10)如圖3，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點，那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是（）圖3ABCDABCD講解：小圓沿大圓的內壁滾動時，在大圓上經過的弧長與小圓上滾動過的弧長是相等的，當小圓處于虛圓位置時，設大圓的圓心為O，，則的長度=，注意到，則的長度，則點P即為M運動后的點，說明是銳角時，點M在線段OM上運動；由，知的長度，則點Q即為點N運動后的點，說明是銳角時，點N在線段OE上運動.同樣圖4可以思考其它的情形.故知應當選A.點評：本題考查考生動手操作能力、閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力.試題設計新穎、獨特，是考能力的好題目.新增內容強化:對于課程改革卷的試題，重視新增內容的考查，命題的設計得到了很好的關注與體現，并隨相應省份的課程改革的推進，新增內容的考查的深度和廣度得到了不斷強化。諸如：對線性回歸的考查，如陜西第9題、廣東第13題、安徽文科第20題；全國新課程卷第23、24、25題，對選考內容的設計，增強了試題的綜合度，在坐標系與參數方程里添加了向量的成分；在不等式選講里，添加了字母的處理；在幾何證明選講里，融入了一元二次方程知識。北京卷理科第17題、文科第16題對莖葉圖等知識的考查.例5（陜西理科8）右圖中，，，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當，，時，等于（）A．11B.10C.8D.7講解：當，,不成立,即為“否”，所以再輸入；由絕對值的幾何意義和不等式知，點到點的距離小于點到的距離，所以當時，成立，即為“是”，此時，所以，即，解得，不合題意；當時，不成立，即為“否”，此時，所以，即，解得，符合題意，故選C．圖5點評：在讀懂框圖里的邏輯順序的前提下，進行計算判斷，當中，判斷條件是否成立是解答本題的關鍵．把評閱試卷的實際情景設計為算法內容的考試題目，新穎獨特，使人耳目一新.例6（廣東理科13）某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_____cm.講解：設回歸直線方程為.抓住“兒子的身高與父親的身高有關”,提煉數據易計算得平均值,于是，，從而，,，于是，線性回歸方程為，當時，.應填185.點評：本題考查回歸分析的基礎知識，考查學生應用回歸分析的方法收集數據、處理數據的能力，考查考生化歸能力、分析問題、解決問題的能力.重視數學應用:數學是一種工具，這體現了數學無處不在，數學有著十分廣泛的應用，體現設計實際應用性的考題，在多個試卷的解答題目（概率解答題除外）里得到了呈現．江蘇卷第17題“請你設計一個包裝盒”的最值題；福建卷第18題的“商品每日的銷售量y（單與銷售價格x的函數關系，求利潤最大”的問題；湖北理科第17題、文科第19題“提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況”的城市交通問題；湖南理科第20題“長方體物體E移動時單位時間內的淋雨量”的最少問題；湖南文科20題“企業(yè)設備更新”問題；山東卷第21題“容器的建造費用最小”問題.例7（陜西理科14）植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為（米）．講解：把實際問題轉化為數學模型,然后列式轉化為函數的最值問題．設樹苗放在第個樹坑旁邊，如圖1，12……1920圖6于是，各個樹坑到第i個樹坑距離的和為，所以，當或時，的值最小，最小值是1000.故往返路程的最小值是2000米.點評:若能猜想到往返路程的最小值在“中間”的位置，考題解法就更簡單了.例8（湖北理科17）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數．（1）當時，求函數的表達式；（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）講解：（1）由題意，當時，；當時，設，顯然在是減函數，由已知得解得故函數的表達式為=（2）依題意并由（1）可得當時，為增函數，故當時，其最大值為；當時，，當且僅當，即時，等號成立．所以，當時，在區(qū)間上取得最大值．綜上，當時，在區(qū)間上取得最大值，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．點評：本題考查運用數學知識分析、解決實際問題的能力.同時考查函數、分段函數最值、解方程組、2元均值不等式等基礎知識，考查分類討論思想、方程觀點、轉化與化歸的數學思想方法.知識交匯凸顯:知識交匯、知識綜合、知識網絡的考查，在以往的結合點上，又有了一些新的發(fā)展，這對檢查考生分析問題、變更問題和解決問題的能力，考核考生的發(fā)展?jié)撃苁呛芎玫念}型，試卷做了比較好的探索．例9(安徽理科18)在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.（1）求數列的通項公式；（2）設求數列的前項和.講解：（1）設構成等比數列，其中則 ① ② 由①×②，并注意到有 （2）由題意和（1）中計算結果，知 利用 得 所以點評:本題考查等比和等差數列，指數和對數的運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用基礎知識分析、解決問題的能力、綜合運算能力和創(chuàng)新思維的意識.兩角差的正切公式的變形，使得數列裂項求和成為可能.例10(全國大綱理22)（1）設函數，證明：當時，；（2）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：.講解：(1)因為，當時，，所以在上是增函數.因為，所以，當時，（2）.又，同理所以由(1)，當時，,即有，所以. 在上式里，令，得，即故.點評:本題主要考查函數、導數、概率和不等式證明，綜合性較強，其中的證明不等式是難點所在.用n元均值不等式證明是比較容易的.事實上.文理區(qū)別合理:除江蘇卷外，其余試題均為文理科分卷，命題人在設計試題時，很好的把握了文理科數學的不同教學實際和大綱的不同要求，對應的試題里，既有文理科相同的題目、不同的題目、姊妹題目.在不同題或姊妹題里，有文理科因知識要求差異的，也有思維、運算難度區(qū)別的，恰當、合理的設計與打磨，無不閃現出命題人的獨具匠心、數學功底和對高中數學教學的整體把握．課改理念深化:今年的全國各地高考數學試卷，不同程度上沖破了傳統(tǒng)的命題組卷模式的束縛，探索了新的試卷結構，這對市場流行的模擬卷是一次致命的打擊，有利于引導高三數學教學回歸課本，回歸基礎——基本知識、基本技能、基本思想方法，基本活動經驗；對立體幾何試題與解析幾何試題命制的大膽嘗試，力求降低運算量，彰顯空間想象能力和坐標思想、向量