初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與方法

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與方法

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目錄

代數(shù)

有理數(shù)的運(yùn)算技巧..........................................................................1

參數(shù)一來，難變易..........................................................................3

方程思想的應(yīng)用............................................................................5

“……”的運(yùn)算技巧..........................................................................7

遇難轉(zhuǎn)化走出困境.........................................................................10

從拆項(xiàng)入手巧妙解題.......................................................................11

因式分解常見錯(cuò)誤分析.....................................................................15

因式分解中的變換技巧.....................................................................16

例說通分的技巧...........................................................................18

奇妙的最小值.............................................................................20

利用分式方程的增根解題....................................................................21

分式通分的幾種技巧.......................................................................22

分組分解法的若干思路.....................................................................25

如何解分式問題...........................................................................27

一元二次方程解法評注.....................................................................30

巧用增根的性質(zhì)解題.......................................................................31

例談“常值換元”法解題.....................................................................32

幾個(gè)年齡問題的“另類”解法..................................................................33

解一元一次不等式（組）錯(cuò)解辨析............................................................34

含字母系數(shù)的一元二次方程常見錯(cuò)解剖析.....................................................37

巧挖隱含條件妙解題.......................................................................40

思路要明方針要定.........................................................................42

多設(shè)幾個(gè)未知數(shù)...........................................................................43

用轉(zhuǎn)換思想解“至少有”問題..................................................................44

數(shù)學(xué)命題的三個(gè)特征.......................................................................45

可貴的直覺...............................................................................47

簡單二元方程的一個(gè)應(yīng)用....................................................................48

“數(shù)據(jù)的分析”學(xué)習(xí)指導(dǎo).....................................................................49

舉一反三、探索新題.......................................................................50

利用軸對稱求一次函數(shù)解析式................................................................51

須強(qiáng)化的幾種解題意識.....................................................................54

最值問題的求解八法.......................................................................57

構(gòu)造法解二次函數(shù)應(yīng)用題....................................................................61

二次函數(shù)解析式求法列舉....................................................................63

解填空題七法.............................................................................66

配方法的解題功能.........................................................................67

求余數(shù)找規(guī)律.............................................................................69

幾何

巧用梯形面積公式求和.....................................................................71

測高問題多解.............................................................................72

三角形面積變形公式的應(yīng)用..................................................................73

巧補(bǔ)形妙求解.............................................................................75

證線段不等的十種方法.....................................................................79

一題五解.................................................................................84

巧用定義激活思路.........................................................................87

三角形角平分線的應(yīng)用.....................................................................89

等腰三角形的分類討論.....................................................................90

平面幾何中的命題變更.....................................................................92

螞蟻怎樣走最近...........................................................................94

巧用三角形中位線的兩種關(guān)系................................................................97

淺談一般四邊形的解題策略..................................................................99

有理數(shù)的運(yùn)算技巧

有理數(shù)及其運(yùn)算，是整個(gè)初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對于有理數(shù)的混合運(yùn)算，我們要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征，選

擇合理的運(yùn)算路徑，靈活使用運(yùn)算律，可以簡化計(jì)算，提高解題的速度和能力。運(yùn)算中常采用的技巧如下：

靈活運(yùn)用運(yùn)算律

12135

21-+(-36-)+(-16-)+(-45-)+(+10-)

例1.計(jì)算：2T2JT7\

分析：利用加法的交換律、結(jié)合律把同分母的數(shù)結(jié)合在一起，可以減少運(yùn)算量。

11235

[21-+(-16-)]+[(-36-)+(-45-)+(+10-)1°.一、一

解原式」22"7)、7工5+(-71)=-66。

5211

—x(-±)x(-2—)x(-4-)

例2.計(jì)算：31'9，'15，2\

分析：多個(gè)因數(shù)相乘時(shí)，積的符號的確定是關(guān)鍵，利用乘法的交換律與結(jié)合律，把易于約分的先相乘，提高解題的

速度。

52319,531、，29、1.1

解原式=319152、3115；<92，33。

二.逆用運(yùn)算律

(-1)x83+(-j)x(-13)-(-1)x28

例3.計(jì)算：666

_5

分析：本題每項(xiàng)含有6,因此可逆向運(yùn)用分配律來計(jì)算。

(--)x[83+(-13)-28](--)x42=-35

解原式=6=6

三.倒序相加

例4.計(jì)算：-…_2的一？"+2?°。(桂林市中考題)

分析：直接計(jì)算繁瑣，可從后兩項(xiàng)開始，逐步計(jì)算。

解原式=2-—.??-2'+(-2"+2”)

_2-22-23-218+219

2-22-23……-217+(-218+219)

_.........=2+22=6

-O

四.湊數(shù)法

64乎48

例5.計(jì)算:98+998+9998+……+99……98。(“信利杯,，競賽題)

分析：直接計(jì)算繁瑣，觀察其特征，發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)加2都是10”,所以把各項(xiàng)湊成10的倍數(shù)計(jì)算。

解原式=(100-2)+(1000-2)+(10000-2)+……+(100……00-2)

=(100+1000+10000+??????+100??????00)-50x2

-.1000+100004-100.......00=111.........11000O

五.拆項(xiàng)法

1I1卜…1

例6.計(jì)算：3x55x71997x1999。(天津市競賽題)

分析：通分來解顯然行不通，可采用拆項(xiàng)法。

星二）+入1」）+.??+入，.，）

解原式二2、35，2、5T2,19971999,

1,111111.111、998

一(一——I———F'"+---------)=—Z(-—----)=----

=23557199719992319995997o

六.錯(cuò)位相減法

例7,計(jì)算：3+3J+33+3*+...+32006。

分析：考慮到后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是3,所以可采用錯(cuò)位相減法。

2342006

解設(shè)$=3+3+3+3+-+3)則3s=32+3?+3'+…32°°6+3加°\

2S=32007-3,S=32007-3=3*3

所以2,即原式2。

七.用字母代替數(shù)

例8.計(jì)算：1997x20002000-2000x19971997.

解設(shè)1997=a,則

原式=ax[10000(a+3)+(a+3)]-(a+3)x[10000a+a]

=axl001(a+3)-(a+3)xl0001a

=10001a(a+3)-10001a(a+3)

=0o

八.分解相消

例9.計(jì)算：19492-19502+195儼一19522+…+19972-19982+19992。(北京市競賽題)

分析：此題滿足平方差公式=(a+b)(a-b),所以可用因式分解來簡便運(yùn)算。

解^=19492+(1951+1950)(1951-1950)+(1953+1952)(1953-1952)+-+

(1999+1998)(1999-1998)=19493+(1950+1951+1952+-+1998+1999)=19493+

50(1950+1999)

=3897326

2

練習(xí)

計(jì)算:

1+--+-------d-----------------；

(2)1+21+2+31+2+3+…+100

(3)987654321x987654324-987654323x987654322；

1,12、J23、123499、

一+(一+—)+(—+—+—)+,■■+z(---+----+++■,,+----)

(4)233444100100100100100

[參考答案]

11200

⑴20.(2)101.(3)-2；(4)2475。

參數(shù)一來，難變易

有些較復(fù)雜的問題，常規(guī)思路不易解決?？墒且坏┮?yún)?shù)，即化難為易。

例1若m＞。，病丁5-質(zhì)=T=m，則代數(shù)式小二可十6二I的值是。(用m表示)(第17屆(06年)

“希望杯”初二2試)

解：設(shè)Jx+3+Jx-l=a,則(Jx+3-JxT)(Jx+3+JxT)=ma,

4

ma=4,a=——

所以m

例2計(jì)算：

1+72006(72005-72004)?

J2J04+V2005+V2006(第17屆(06年)“希望杯”初二培訓(xùn))

解：設(shè)a=2004,則

1+Ja+2(Ja+1-Va)

原式框+Ja+]+Ja+2

_(Ja+1+/)(退+1-道)+Ja+2(Ja+1-亞)+亞

+Ja+]+Ja+2

_(Ja+1-,局(質(zhì)+Ja+1+Ja+2)+6

+Ja+1+Ja+2

=Ja+1—Va+Va=V2005

例3分解因式

2

(1+ab)+(a-b-2Xa-b+2ab)o(第"屆(06年)“希望杯”初二培訓(xùn))

解：設(shè)a-b=x,ab=y,則

原式=Q+y)，+(x-2)(x+2y)

=1+2y+y2+x2+2xy-2x-4y

=(x+y)2-2(x+y)+1

=(x+y-1)2=(a-b+ab-I)2

22

=(a-l)(b+l)

4

例4某校初一、初二兩個(gè)年級學(xué)生的人數(shù)相同，初三年級的學(xué)生人數(shù)是初二年級學(xué)生人數(shù)的已知初一年級的男

生人數(shù)與初二年級的女生人數(shù)相同，初三年級男生人數(shù)占三個(gè)年級男生人數(shù)的a,那么三個(gè)年級女生人數(shù)占三個(gè)年

級學(xué)生人數(shù)的()

9101110

A.19B.19C.2fD.21

(第17屆(06年)“希望杯”初二1試)

解：設(shè)初一年級學(xué)生人數(shù)為a人，男生人數(shù)為b人，則初一年級女生人數(shù)為(a-b)人；初二年級學(xué)生人數(shù)為a人，

4

男生人數(shù)為(a-b)人，女生人數(shù)為b人；初三年級學(xué)生人數(shù)為5a人，再設(shè)初三年級男生人數(shù)為x人，由題意得

11

—[b+(a-b)+x]=xx=-a

4、,，即3

/a_1_7_a

故初三女生人數(shù)為5"人，即后a人，三個(gè)年級女生人數(shù)占三個(gè)年級學(xué)生人數(shù)的比為

7

(a-b)+b+—a..

15_11

421

a+a+—a

5,選C。

例5已知A港在B港上游，小船于凌晨3：00從A港出發(fā)開往B港，到達(dá)后立即返回，來回穿梭于A、B港之間。

若小船在靜水中的速度為16千米〃」、時(shí)，水流的速度為4千米/小時(shí)，在當(dāng)晚23：00時(shí)，有人看見小船在距離A港

80千米處行駛，求A、B兩港之間的距離？

(第17屆(06年)“希望杯”初二2試)

解：設(shè)A、B兩港之間的距離為s,凌晨3：00至當(dāng)晚23：00,小船在A、B港之間共行駛了k個(gè)來回，

(1)若當(dāng)晚23：00時(shí)，小船順流航行且距A港80千米，貝I

—sk=16

化簡得15,即sk=120

當(dāng)k=l時(shí)，s=120

當(dāng)k22時(shí)，s<60<80(不合題意，舍去)。

(2)若當(dāng)晚23：00時(shí)，小船逆流航行且距A港80千米，則

化簡得ks+s=200

_200

即ik+l

當(dāng)k=。時(shí)，s=200

當(dāng)k=l時(shí)，s=100

w200成

s4---<80

當(dāng)k22時(shí)，3(不合題意，舍去)。

答：A、B兩港之間的距離為120千米或200千米或100千米。

練習(xí)：

111

—5--------+—5--------+—5---------=0

1、解方程：x+1lx-8x+2x-8x-13x-8。

3K

2、設(shè)關(guān)于x的方程'+6+2)x+9a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X],X2；且求a的取值范圍。

3、設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，那么a?+ab+b2-a-2b的最小值是。

答案：

1、設(shè)x?+2x-8=a,然后去分母，整理得a=9x或a=-5x,從而可求得

x=±8或x=±l。

22

y=x+(1+—)x+9

2、設(shè)a

由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根且々<1知

當(dāng)x=l時(shí),y<0

2°

----<a<0

由此即得11

3、設(shè)a"+ab+b"-a-2b=t,將整式整理成關(guān)于a的一元二次方程，由△2()得

t>-l,

當(dāng)a=0,b=l時(shí)t=-1。

方程思想的應(yīng)用

方程，是含有未知數(shù)的等式，它不僅是代數(shù)的重要內(nèi)容，也是重要的數(shù)學(xué)方法，一些表面看來與方程無關(guān)的數(shù)

學(xué)問題可以轉(zhuǎn)化成方程問題來解決。這就是方程思想，請看：

1、求值

1+—

例1求1+K的值。

1+---

分析：這是一個(gè)無窮分式，若靠常規(guī)方法難以解決。不妨設(shè)1+K=x,通過觀察發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)線下的式子

1+--1+——X

都是1+K,于是可得x,解這個(gè)方程得

.175+1

石+11+;~~i——

x=-----1+----

2故1+K

2、解不等式

不等式與等式是對立統(tǒng)一的，可以相互轉(zhuǎn)化。許多不等式問題可以利用等式的性質(zhì)加以解決，而等式中的一個(gè)重要

內(nèi)容就是方程。

例2已知mx+ny=2k(mn>k，求證xyWl。

分析：把所證不等式變換成等式燈=a,考慮到已知mx+ny=2k,進(jìn)一步將xy=a變換為mx-ny=amn,則

得rnx與ny是方程--2kt+amn=0的兩個(gè)實(shí)根，所以

△=4k2-4amn>0

又mn>k2>0

所以4mnmn

即xyWl

3、證明等式

例3已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,且*y,求證2y=x+z。

分析：若將已知條件式展開，則顯然很繁瑣且不容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論。如果認(rèn)真分析條件的特點(diǎn)，合理聯(lián)想，則可將已知

式看作某個(gè)有等根的一元二次方程的判別式，于是構(gòu)造方程(X-y)t2+(z-x)t+(y-z)=。，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這個(gè)方

程的系數(shù)和為0,說明方程有一根為1，又因?yàn)椤?(),所以另一根也為1,利用韋達(dá)定理，得

x-y,即2y=x+z

4、解方程組

一個(gè)數(shù)學(xué)問題中的某個(gè)具體的數(shù)或抽象的式，均可看作未知量，而其余的數(shù)或式則可看成已知量，其中把具體的數(shù)

看成未知量往往被忽略。

例4解方程組：

分析：可直接用消元法求解，但由于系數(shù)復(fù)雜使得運(yùn)算難以進(jìn)行。若能仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)x與y的系數(shù)有平方關(guān)系且常

1±72

數(shù)項(xiàng)相同，進(jìn)而把常數(shù)看成未知量，把X,y看作已知量構(gòu)造一元二次方程。于是有2是*22+丫2+1=()的兩

根。由韋達(dá)定理，得

1+V21-72_y

,~~+-2x

1+01--J21

~2X

解得x=-4,y=4

5、求取值范圍

x2-x+113

例5已知x為實(shí)數(shù)，求證x?+l的值在亍和亍之間。

2

_X__-__X_+__1_,k

證明：設(shè)X?+1-—,則

(1-k)x2-x+1-k=0

因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，

所以A=—4k2+8k—3=—(2k—l)(2k—3)0

l<k<2

解得2--2

X2-X4-113

即x2+1的值在，和，之間。

6、解(證)幾何最值或不等關(guān)系

例6半徑為1的圓O內(nèi)切于Rt^ABC,求證SAABC不小于3+2班。

解：如圖，設(shè)NC=90。，RtZXABC的三邊的長分別為a,b,c,

r__a__+_b__-_c__j

因?yàn)?

所以a+b=c+2

因?yàn)閍?+b2=c2

所以(a+b)?-2ab=/

.(c+2)2-c2

ab=--------------=2c+2

即2

所以a,b為一元二次方程

x2-(c+2)x+2c+2=0的兩實(shí)數(shù)根

于是△=c2-4c-4>0

解得c—2-2V2或c之2+2VJ

由c>0,得c之2+2

Sr=—ab=c+1

又AABPC2

所以SAABC23+272

即SMBC不小于3+271o

”的運(yùn)算技巧

在初中數(shù)學(xué)競賽的有理數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常碰到含省略號”......”的有理數(shù)計(jì)算問題，不少同學(xué)對這種題型的計(jì)算感到

無所適從，本文說明：可通過觀察尋找規(guī)律，問題即迎刃而解，下面舉例說明。

1.分組結(jié)合

例1計(jì)算：1+2-3+4+5-6+7+8-9…-2004+2005

解：原式=(1+2-3)+(4+5-6)+…+(2002+2003-2004)+2005

(3+6+-+2001)+2005

667x(3+2001)+2005

2

=670339

2.化積約分

例2.計(jì)算」喝(局(局"1W)

3815360399

—X—X—XX-------X--

122222

解：原式2341920

132418201921

-X—X—X—X*"X—X—X——X—

223319192020

121

—x一

220

21

40

另解：由=缶+8)3-8),知

所以，原式?卜撲撲力…卜白卜款彳卜「那沙卜W

(34520211f1231819,

{2341920)(2341920」

211

=——x一

220

_21

~40

3.用奇偶性

例3計(jì)算：(1-2)(3-4)-(2005-2006)

=(-1)(-1)-(-1)

解：原式,確一

=(-嚴(yán)

=-1

例4.計(jì)算：(-1)+(-1)2+(于+…+(-1產(chǎn)

解：原式=T+1-1+1+…7+1=0

4.去絕對值相消

1,1111

例5,計(jì)算：23220062005

.11111

解：原式22320052006

2006

=2005

-2006

5.裂項(xiàng)相消

1111

----+-----+-----++------------

例6.計(jì)算：1x22x33x42005x2006

=1——+———+———+,,,+----------

解：原式2233420052006

2006

=2005

~2006

6.逆序相加

例7.計(jì)算：1+2+3+…+2006

解：設(shè)S=l+2+3+…+2006(1)

則S=2006+2005+2004+…+1(2)

由(1)+(2),得

2s=2007+2007+…+2007=2007x2006

2006

故$=2013021

2+Q+2hQ+2+5k...J132005

2006+2006++

例8.計(jì)算：2U4jU66){2006.

1+3135132005

s=-4+4—十—+—4-???+++

解：設(shè)666200620062006.(1)

1

S=-+七+』+國叫+一+缺+些+???+

（44）\666）120062006

則有2006(2)

由(1)+(2),得

2s=1+2+3+…+1003=10Q3X1004

2

所以S=251753

7.錯(cuò)位相減

例9,計(jì)算：2+2I2+23*6+-??+23006

解：設(shè)S=2+2?+2?+…+2迎6m

則有2s=22+23+…+22006+22007Q)

由(2)-(I),得2S-S=22007-2

即$=23307-2

8.整體換元

111III

1———_---?—______-+-+—+

例10.計(jì)算:,232005.234

2OO61

11

j

-05

解

設(shè)2O5

:

’5

r-1\

-/

-2006

則原式I

I/

AD

20062006

A+B

2006

1II1

1,2_+_1+???+1

232005+2+342005

2006

1

~2006

9.逐級降次

例］1.計(jì)算：2_2?_23----23005+22006

解：原式=2耽6_2M05-22004-----22+2

22005(2-1)-220W-…-2?+2

22+2

=6

10.用運(yùn)算律

I3+22+32+-+=-?(?+1)(2?+1)-“八

2

例12.已知：6，那么2?+4+6+—+50：

解：原式=(1X2)2+(2X2)2+(2X3)2+…+(2x2力a

=22x(l2+22+…+252)

=4x1x25x(25+1)(2x25+1)

6

=22100

11.公式運(yùn)用

例13.計(jì)算：l2-22+32-42+-+20052-20062

解：原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+-+(2005-2006)(2005+2006)

=-(3+7+11+-+4011)

__(3+4011)xl033

2

=-2013021

12.湊整求和

例14.計(jì)算:19+299+3999+49999+?+899999999+9999999999

解：原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+-(10000000000-1)

=10000000000+900000000+80000000+7000000+-+20-9

=10987654320-9

=10987654311

練習(xí)：

1計(jì)算：1+2-3-4+5+6-7-8+-+2005+2006-2007-2008

1---111

------++-------+**,+-------------

2.計(jì)算：1x22x33x499x100

1233989

----+-----+-----+…+------

3.計(jì)算：1995199519951995

答案：

99

1.-20082.W03.3989

遇難轉(zhuǎn)化走出困境

數(shù)學(xué)解題中有一種很重要的方法叫做變換法也稱轉(zhuǎn)化法。當(dāng)你遇到的問題直接解答有困難，通過變換成其它形

式的等價(jià)命題較為簡單，其實(shí)，整個(gè)解題過程就是將未知轉(zhuǎn)向已知，這種思想方法匈牙利數(shù)學(xué)家P?羅莎打過比方：“假

設(shè)有煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你怎么辦？”當(dāng)然是“先把壺灌上水，點(diǎn)燃煤氣灶，把壺放

在灶上?！苯又_莎又問：“假設(shè)所有條件都不變，只是水壺中已有水，這時(shí)你怎么辦？”回答簡單：“點(diǎn)燃煤氣灶，放

上水壺?！钡_莎指出這不是最好的回答。因?yàn)橹挥形锢韺W(xué)家才這樣做，而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水，并聲稱：“我已

把后一問題轉(zhuǎn)化為己知(前一)問題了?！?/p>

下面我們通過幾個(gè)實(shí)例看看轉(zhuǎn)化法的解題功能。

例］a=一2、萬,b=，那么()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a<b

析解：直接比較很困難，通過等價(jià)變形再比較就容易了。

a=J(&-1尸=&-1=——,b=「1~~=?

因?yàn)閂I+1有

又應(yīng)+/>收+1

1<_1_

所以+>/2'萬+1

即a>bo選Ao

例2已知吟一3,那么關(guān)于x的方程：x4_6x3_2(a_3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0的根為Xl=,

234

析解：若直接解此方程太麻煩。經(jīng)觀察可見原式左端是關(guān)于a的二次式，所以原方程可化為關(guān)于a的二次方程：

a2-2(x2-3x-l)a+(x4-6x3+6x2+8x)=0,則a=X，-4x或a=x?-2x-2。

因?yàn)閍N—3,所以原方程的根為xg=2±JTT4x34=l±7a+Io

1111,

—卜一+-=------------=1

例3已知a、b、c是使等式abca+b+c成立的任意數(shù)，求證：a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)為1。

析解：此題猛一看似乎無從下手，稍加分析可知，其問題可變更為求證G-D8-1)8-1)=°。

證明：由題設(shè)條件可知：

a+b+c=Labc=ab+be+ca

因?yàn)?a-l)(b-l)(c-l)=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1

所以(a-l)(b-l)(c-l)=。

故a、b、c中至少有一個(gè)為1。

例4甲、乙兩車從A、B兩地同時(shí)相向而行，相遇后甲車?yán)^續(xù)行駛4小時(shí)到達(dá)B地，乙車用9小時(shí)到達(dá)A地，求甲、

乙兩車行駛完全程各用幾小時(shí)？

析解：本題屬較難的行程問題，我們可用相應(yīng)的工程問題的思路加以解決。改述如下：

甲、乙二人合作某項(xiàng)工程，若干天后，甲再干4天，乙再干9天，這樣正好完成，求甲、乙單獨(dú)完成該項(xiàng)工程各需

幾天？

11

設(shè)行駛完全程甲車要x小時(shí)，則乙車要(x+5)小時(shí)。它們每小時(shí)各走全程的1和壬，依題意，得

49,

xx+5

解得x=10(x=-2舍去)。

這是實(shí)行題型轉(zhuǎn)化的典型例子，給我們以啟迪。

總之，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想去解題可達(dá)到化難為易，變繁為簡之目的。

從拆項(xiàng)入手巧妙解題

拆項(xiàng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的解題方法，它指的是把代數(shù)式中的某項(xiàng)有意識地分成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的和。對于某些

問題，尤其是競賽試題，從拆項(xiàng)入手將問題轉(zhuǎn)化，可化難為易、捷足先登。

一、計(jì)算問題

例1(長春市初一數(shù)學(xué)競賽試題)計(jì)算：9999x9999+19999=。

解：原式二(9999x9999+9999)+10000

=9999x(9999+1)+10000

=10000x(9999+1)

=100000000

1?1?1|A1

++++

例2(天津市初二數(shù)學(xué)競賽試題)計(jì)算：3X55X77x91997xl999o

15-37-59-7-1999-1997.

解：原式23x55x77x91997x1999，

ll1、AkAA/11M

rz-)+A+(--------------)]

235577919971999

1A1、998

=-(——----)=----

2*1999，5997

二、分解因式問題

例3(“祖沖之”杯初二數(shù)學(xué)競賽試題)分解因式x4-7X?+1=.

解：原式=(x'+2x2+1)-9x2

=(x2+1)2-(3x)2

=(x2+3x+l)(x2-3x+1)

例4(重慶市初三數(shù)學(xué)競賽試題)分解因式X3+2X2-5X-6。

解：原式=(X3+2X2+X)-(6X+6)

=X(X+1)2-6(x+1)

=(x+l)(x2+x-6)

=(x+l)(x-2)(x+3)

三、求值問題

例5(哈爾濱市初中數(shù)學(xué)競賽試題)已知M+%-5=0,則@3+222-83+1994的值是()

A.1989B.1990C.1994D,1995

解：由@2+二一5=0得a?=5-3a

所以a，=5a-3a2

原式=(5a-3a2)+2a2-8a+1994

=-(a2+3a-5)+1989

=1989

應(yīng)選A。

例6(“希望杯”初二數(shù)學(xué)競賽試題)若n為正整數(shù)，且n'-ieM+lOO是質(zhì)數(shù)，那么n的值為

解:原式=(n4+20、+100)-361?

=(n2+10)2-(6n)2

=(n2+6n+10)(n2-6n+10)

因?yàn)閚，+6n+10>n2-6n+10

所以n2-6n+10=l

即有n?-6n+9=0,(n—3)2=0

所以n-3=0,n=3

2x2-9x+3+—=

2

例7(安徽省初中數(shù)學(xué)競賽試題)設(shè)x2-5x+l=0,則x+l0

解：由/-5又+1=0得X?+1=5X

因?yàn)閤rO

x2+11.

-----=5,x+—=5

所以XX

l=5-x

從而X

25

=2x-9x+3+—

原式5x

=2x2-9x+3+(5-x)

=(2x2-10x+2)+6

=2(x2-5x+1)+6

=6

四、比較大小問題

例8(河北省初中數(shù)學(xué)競賽試題)若x=123456789x123456786,y=123456788xl23456787,則x,y的大小關(guān)系是()

A.x=yB.x<yC.x>yD.難定

解：不難發(fā)現(xiàn)，

x-(123456788+1)x123456786-123456788x123456786+123456786

y=123456788x(123456786+1)

=123456788x123456786+123456788

所以x<y,應(yīng)選B。

200120012002200220032003

a■----------1b■----------,c.---------

例9(“英才杯”初一數(shù)學(xué)競賽試題)已知200220022003200320042004,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

20022002-1000110001

a-_________

解：2002200220022002

20032003-10001,10001

---------------------------=1―

2003200320032003

20042004-1000110001

c=1

2004200420042004

10001、10001、10001

因?yàn)?0022002,,20042004

所以a<b<c,應(yīng)選A。

五、方程問題

例10（江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題）方程X+2x+9x+3x+8的解是,

解：已知方程化為

11_11

所以x+3x+2x+9x+8

一1一1

即有(x+3)(x+2)-(x+9)(x+8)

從而(x+3)(x+2)=(x+9)(x+8)

解之并檢驗(yàn)，2。

14x2,

-------+5------=--------+1

例11(昆明市初中數(shù)學(xué)競賽試題)解出方程x+1X2-4X-2的解是.

4x_22

解：注意到1-4x+2x-2

1,22、2.

-------+(--------+--------)=--------+1

所以x+1x+2x-2X-2

12

-------+---------=1

即有x+1x+2

整理為/=2

解之并檢驗(yàn)，x=±E

六、最值問題

_3x2+3x+4

例12（“聰明杯”初三數(shù)學(xué)競賽試題）7--x2+x+l的最大值是（）

/3之

A.3B.4C.4D.3

y_（3x：3x+3）+l3丁1

解：x2+X+1X+X+1

213

X+X+1=