第一章 一元二次方程 單元小結(jié)

第一章一元二次方程九年級(上冊)蘇科版單元小結(jié)知識點一、一元二次方程的基本概念1.一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，最高次數(shù)為2的整式方程，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)知識歸納3.一元二次方程的項數(shù)和系數(shù)：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)二次項：ax2

二次項系數(shù)：a一次項：bx一次項系數(shù)：b常數(shù)項：c4.注意點：(1)含有一個未知數(shù)； (2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2；(3)二次項系數(shù)不為0；(4)整式方程．

注：四個要求缺一不可，是我們判定一元二次方程的依據(jù)！一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0一元二次方程的解法類型歸納注：先觀察一元二次方程的形式，再確定用哪個一元二次方程，磨刀不誤砍柴工！知識點二、解一元二次方程的方法1.直接開平方法直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義．直接開平方法適用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根據(jù)平方根的定義可知x＋a是b的平方根，當(dāng)b≥0時，x＝

；當(dāng)b＜0時，方程沒有實數(shù)根．2.配方法(1)配方法的基本思想：轉(zhuǎn)化思想，把方程轉(zhuǎn)化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，這樣原方程的一邊就轉(zhuǎn)化為一個完全平方式，然后兩邊同時開平方．(2)用配方法解一元二次方程的一般步驟：①化二次項系數(shù)為1；②含未知數(shù)的項放在一邊，常數(shù)項放在另一邊；③配方，方程兩邊同時加上

，并寫成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接開平方求出方程的根．一次項系數(shù)一半的平方3.公式法(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝

.用公式法解一元二次方程的一般步驟：①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②確定a，b，c的值；③求b2－4ac的值；④當(dāng)b2－4ac≥0時，則將a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，則方程無實數(shù)根．4.用分解因式法解一元二次方程的一般步驟(1)將方程變形為右邊是0的形式；(2)將方程左邊分解因式；(3)令方程左邊的每個因式為0，轉(zhuǎn)化成兩個一次方程；(4)分別解這兩個一次方程，它們的解就是原方程的解．列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審設(shè)列解檢答(1)審題：通過審題弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系．(2)設(shè)元：就是設(shè)未知數(shù)，分直接設(shè)與間接設(shè)，應(yīng)根據(jù)實際需要恰當(dāng)選取設(shè)元法．(3)列方程：就是建立已知量與未知量之間的等量關(guān)系．列方程這一環(huán)節(jié)最重要，決定著能否順利解決實際問題．(4)解方程：正確求出方程的解并注意檢驗其合理性．(5)作答：即寫出答語，遵循問什么答什么的原則寫清答語．知識點三、一元二次方程在生活中的應(yīng)用考點1、一元二次方程的定義；考點2、一元二次方程根的應(yīng)用；考點3、一元二次方程的解法；考點4、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用；考點5、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；考點6、一元二次方程的應(yīng)用?？键c歸納例1若關(guān)于x的一元二次方程是(m-3)x2+mx-1=0，則m的取值范圍是（）A.m≠3B.m=3C.m≥3D.m≠0解析：本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項（二次項系數(shù)不為0），因此它的系數(shù)m-3≠0，即m≠3，故選A.A考點一一元二次方程的定義針對訓(xùn)練1.方程3x2-2x-3=x2-3+2x的二次項系數(shù)是

，一次項系數(shù)是

，常數(shù)項是

.2-40點睛：將方程進(jìn)行移項，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般式，即可得到各系數(shù)。例2

若關(guān)于x的一元二次方程（m-2)x2+x+m2-4=0有一個根為0，則m=

.【易錯提示】求出m值有兩個2和-2,由于原方程是一元二次方程，所以2不符合，應(yīng)引起注意.-2考點二一元二次方程根的應(yīng)用解析：根據(jù)一元二次方程根的定義可知將x=0代入原方程一定會使方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數(shù)的方程m2-4=0，解得m=±2的值.這里應(yīng)填-2.這種題的解題方法我們稱之為“有根必代”.針對訓(xùn)練2.一元二次方程x2+px-3=0的一個根為1，則p的值為

.2解析：將x=1代入方程得：1+p-3=0，解得p=2.解析

(1)配方法的關(guān)鍵是配上一次項系數(shù)一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，得到符合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長．考點三一元二次方程的解法【易錯提示】(1)配方法的前提是二次項系數(shù)是1；（a-b)2與（a+b)2要準(zhǔn)確區(qū)分；（2）求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習(xí)慣例3(1)用配方法解方程x2-4x-5=0時，原方程應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢.(x-2)2=9B.(x+4)2=9C.(x+2)2=9D.(x-4)2=9(2)(易錯題）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為（）

A．13B．15C．18D．13或18AA針對訓(xùn)練3.菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是方程x2-7x+12=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（）A.16B.12C.16或12D.24A解：先解出x2-7x+12=0的解，得到x1=3，x2=4，∵菱形的一條對角線長為6,∴邊AB的長為4∴菱形ABCD的周長為16故選A.4.用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.提示：用配方法解一元二次方程，關(guān)鍵的一步是將二次項系數(shù)已化為1的方程的兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，轉(zhuǎn)化為(x＋m)2＝n的形式，當(dāng)n≥0時，直接開平方求得方程的根．考點四一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用例4

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3m=4x有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易錯提示】應(yīng)用根的判別式之前務(wù)必將方程化為一般形式，這樣能幫助我們正確確定a,b,c的值.解析根據(jù)方程根的情況可知，此方程的根的判別式>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故選A.Δ5.下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是（）A.2x2+x=0B.3x2-5x-2=0C.2x2-5x+2=0D.5x2-4x+3=06.（開放題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是

（寫出一個即可）．D-1針對訓(xùn)練考點五一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根為m，n，則m2－mn＋n2＝

．25解析根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，m+n=4,mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要變形】7.已知方程2x2+4x-3=0的兩根分別為x1和x2,則x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A

針對訓(xùn)練例6

某機(jī)械公司經(jīng)銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)銷售價為24元，平均每天能售出32件，而當(dāng)銷售價每上漲2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的銷售價為x元，則每天的銷售量為多少？（2）如果物價部門規(guī)定這種零件的銷售價不得高于每件28元，該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)當(dāng)為多少元？市場銷售問題考點六一元二次方程的應(yīng)用解析本題為銷售中的利潤問題，其基本本數(shù)量關(guān)系用表析分如下：設(shè)公司每天的銷售價為x元.單件利潤銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價銷售432x-2032-2(x-24)150其等量關(guān)系是：總利潤=單件利潤×銷售量.解：（1）32-(x-24)×2=80-2x.（2）由題意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由題意x≤28,∴x=25,即售價應(yīng)當(dāng)為25元.【易錯提示】銷售量在正常銷售的基礎(chǔ)上進(jìn)行減少.要注意驗根.128例7某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？[提示]增長率問題在近年中考試題中頻頻出現(xiàn)，解決此類問題應(yīng)掌握增長率是指增長數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的比．平均變化率問題解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則經(jīng)過1輪后有(1＋x)臺被染上病毒，2輪后就有(1＋x)2臺被感染病毒，依題意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．所以每輪感染中平均一臺電腦會感染8臺電腦．由此規(guī)律，經(jīng)過3輪后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729臺電腦被感染．由于729>700，所以若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．例8如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬.幾何問題解：設(shè)水渠的寬度為xm，根據(jù)題意，得:(92-2x)(60-x)=6×885.整理，得：x2–106x+105=0.解得：x1=1;x2=105(不合題意，舍去).答：水渠應(yīng)挖1米寬.1、下列方程中,一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0

B.

x2=0C.3x2+2y-

=0

D.

x2+

-5=0【解析】選B.A中的二次項系數(shù)缺少不等于0的條件,C中含有兩個未知數(shù),D中的方程不是整式方程.當(dāng)堂練習(xí)2、解方程x2-2x-1=0.【解】移項得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,開方得:x-1=±,x=1±,所以x1=1+,x2=1-.3、已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列說法正確的是(

)A.①②都有實數(shù)解B.①無實數(shù)解,②有實數(shù)解C.①有實數(shù)解,②無實數(shù)解D.①②都無實數(shù)解【解析】選B.

一元二次方程①的判別式的值為Δ=b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程無實數(shù)根;一元二次方程②的判別式的值為Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.4、關(guān)于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有兩個不相等的實根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,

則a的值是(

)A.1

B.-1

C.1或-1

D.2【解析】選B.由題意:x1+x2=,x1x2=,因為x1-x1x2+x2=1-a,所以-=1-a,即=1-a,解得a1=1,a2=-1.當(dāng)a=1時,原方程有兩個相等的實數(shù)根,不合題意,舍去.所以a=-1.5、用公式法解下列一元二次方程：解:

原方程即為，6、解下列一元二次方程：（1）（x－5)(3x－2)=10;(2)(3x－4)2=(4x－3)2.

(2)(3x－4)2=(4x－3)2.(2)移項，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.將方程的左邊分解因式，得〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0,

即(7x－7)(-x－1)=0.∴7x－7=0,或-x－1=0.∴x1=1,x2=-17、方程有一個正根，一個負(fù)根，求m的取值范圍.解:由已知,△=即m>0m-1<0∴0<m<18、某校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力,舉辦了動漫制作活動,小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛型.如圖所示,甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A,B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動.甲運動的路程l(cm)與時間t(s)滿足關(guān)系:l=t2+t(t≥0),乙以4cm/s的速度勻速運動,半圓的長度為21cm.(1)甲運動4s后的路程是多少?(2)甲、乙從開始運動到第一次相遇時,它們運動了多少時間?(3)甲、乙從開始運動到第二次相遇時,它們運動了多少時間?【解】(1)當(dāng)t=4時,l=×42+×4=14(cm).答:甲運動4s后的路程是14cm.(2)設(shè)它們運動了ms后第一次相遇,根據(jù)題意,得:+4m=21,解得m1=3,m2=-14(不合題意,舍去).答:甲、乙從開始運動到第一次相遇時