人教版九年級下冊數(shù)學全冊教案2

九年級下冊數(shù)學

第二十六章反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

26.1.1反比例函數(shù)

I.理解反比例函數(shù)的概念；（難點）

2.能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會用待定系數(shù)法求解析式；（重點）

3.能根據(jù)實際問題中的條件建立反比例函數(shù)模型.（重點）

一、情境導入

1.京廣高鐵全程為2298km,某次列車的平均速度。（單位：km/h）與此次列車的全程運

行時間”單位：h）有什么樣的等量關(guān)系？

2.冷凍一個物體，使它的溫度從20c下降到零下100C,每分鐘平均變化的溫度八單

位：C）與冷凍時間”單位：min）有什么樣的等量關(guān)系？

問題：這些關(guān)系式有什么共同點？

二'合作探究

探究點一：反比例函數(shù)的定義

［類型—］反比例函數(shù)的識別

［例H下列函數(shù)中：①②知=1；③y=1￥；④.反比例函數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

方法總結(jié)：判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先要看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，

然后根據(jù)反比例函數(shù)的定義去判斷，其形式為y=^k為常數(shù)，VO）,y=kx\k為常數(shù)，k

W0）或xy=k（k為常數(shù)，AWO）.

［類型二］根據(jù)反比例函數(shù)的定義確定字母的值

曲陶已知函數(shù)y=（2〃尸+〃?一1比2〃戶+3m一3是反比例函數(shù)，求用的值.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)也可以寫成)，="一|(心氣))的形式，注意X的次數(shù)為一1,系數(shù)不

等于0。

探究點二：用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式

［類型—］確定反比例函數(shù)解析式

［例?已知變量y與x成反比例，且當x=2時，尸一6.求：

(1?與x之間的函數(shù)解析式；

(2)當y=2時，％的值.

方法總結(jié)：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式時要注意：①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例

函數(shù)解析式，形如y=5伏為常數(shù)，左W0);②將已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析

式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；@解方程，求出待定系數(shù)；④寫出解析式.

［類型二］解決與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題

砸1已知y=y+y2,yi與。-1)成正比例，力與(x+1)成反比例，當x=0時，丫=一3；

當x=l時，y=-1.求：

(l)y關(guān)于x的關(guān)系式；

(2)當1=一!時，y的值.

方法總結(jié)；能根據(jù)題意設(shè)出y,)，2的函數(shù)關(guān)系式并用待定系數(shù)法求得等量關(guān)系是解答此

題的關(guān)鍵.

探究點三：建立反比例函數(shù)模型及其相關(guān)問題

碉寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)表達式，并判斷其是否為反比例函數(shù).

(1)底邊為3cm的三角形的面積“n?隨底邊上的高xcm的變化而變化；

(2)一艘輪船從相距5km的甲地駛往乙地，輪船的速度冰m/h與航行時間th的關(guān)系；

(3)在檢修100m長的管道時，每天能完成10m,剩下的未檢修的管道長ym隨檢修天數(shù)

上的變化而變化.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式，然后根據(jù)

解析式的特點判斷是什么函數(shù).

26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.會用描點的方法畫反比例函數(shù)的圖象；（重點）

2.理解反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).（重點，難點）

一、情境導入

己知某面粉廠加工出了4000噸面粉，廠方?jīng)Q定把這些面粉全部運往B市.則所需要

的時間/（天）和每天運出的面粉總重量M噸）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？你能在平面直角坐標

系中畫出這個圖形嗎？

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)的圖象

［類型—］反比例函數(shù)圖象的畫法

的U作函數(shù)），=2的圖象.

解析：根據(jù)函數(shù)國象的畫法，進行列表、描點、連線即可.

解：列表：

X-4-2-1124

y-1-2-4421

描點、連線:

方法總結(jié)：作圖的一般步驟為：①列表：②描點；③連線；④注明函數(shù)解析式.

［類型二］反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象位置的確定

曲陶在同一坐標系中（水平方向是X軸），函數(shù)y=芻和7=奴+3的圖象大致是（）

爭主小

A

方法總結(jié)：解答此類問題時，通常先根據(jù)雙曲線圖象所在的象限確定左的符號，再確定

一次函數(shù)的系數(shù)及經(jīng)過的點是否也符合圖案，如果符合，可能正確；如果不符合，一定錯誤.

［類型三］實際問題中函數(shù)圖象的確定

若按xL/min的速度向容積為20L的水池中注水，注滿水池需ymin.則所需時間ymin

與注水速度xL/min之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為（）

方法總結(jié)：解答此類問題要先根據(jù)題意列出反比例函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)實際情況確定

函數(shù)自變量的取值范圍，從而確定函數(shù)圖象.

［類型四］反比例函數(shù)圖象的對稱性

硒！若正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y=（圖象的一個交點坐標為（一1,2）,則另

一個交點坐標為（）

A.（2,-1）B.（1,-2）

C.（—2,—1）D.（―2?1）

方法總結(jié)：反比例函數(shù)y=$（kWO）的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸是

一、三（或二、四）象限角平分線所在的直線，對稱中心是坐標原點.

探究點二：反比例函數(shù)的性質(zhì)

［類型—］根據(jù)解析式判定反比例函數(shù)的性質(zhì)

的時已知反比例函數(shù)），=一5下列結(jié)論不正確的是（）

A.圖象必經(jīng)過點（一1,2）

B.），隨x的增大而增大

C.圖象分布在第二、四象限

D.若x>l,則一2Vy<0

方法總結(jié)：解答此類問題要熟記反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).

［類型二］根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判定系數(shù)的取值范圍

在反比例函數(shù)），=?的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則%的值可以是

A.-1B.3C.1D.2

方法總結(jié)：對于函數(shù)y=￡當2>0時，其圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x

的增大而減??；當AV0時，在第二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，熟記這

些性質(zhì)在解題時能事半功倍.

第2課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用

1.使學生進一步理解和掌握反比例函數(shù)及其圖象與性質(zhì)；（重點）

2.深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法；（重

3.探索反比例函數(shù)和一次函數(shù)、兒何圖形以及圖形面積的綜合應(yīng)用.（難點）

一、情境導入

如圖所示，對于反比例函數(shù)尸，＞0）,在其圖象上任取一點尸，過尸點作PQ_Lx

軸于。點，并連接OP.

試著猜想△OPQ的面積與反比例函數(shù)的關(guān)系，并探討反比例函數(shù)y=§（2W0）中k

值的幾何意義.

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義

例1如圖所示，點A在反比例函數(shù)y=5的圖象上，AC垂直x軸于點C,且△AOC的

面積為2,求該反比例函數(shù)的表達式.

方法總結(jié)：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段與坐標軸和向坐標軸作垂線所圍成的

直角三角形的面積等于園的一半.

探究點二：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用

【類型一】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

曲陶若M（—4,》）、N（—2,力）、PQ，券）三點都在函數(shù)尸欠<0）的圖象上，則V，

y2，”的大小關(guān)系為（）

A.y2>y3>yiB.yi>yi>3,3

C.y^>yi>y2D.yy>y2>y\

方法總結(jié)：反比例函數(shù)的解析式是y=g女WO）,當々VO時，圖象在第二、四象限，且

在每個現(xiàn)象內(nèi)y隨x的增大而增大；當心>0,圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)y隨x

的增大而減小.

［類型二］利用反比例函數(shù)計算圖形的面積

砸1如圖，直線/和雙曲線）=芻心>0）交于A、8兩點，P是線段48上的點（不與A、B

重合），過點A、B、P分別向“粕作垂線，垂足分別是C、力、E,連接04、OB、OP,設(shè)

△AOC的面積是S，△B。。的面積是Sz，△POE的面積是S3,則（）

方法總結(jié)：在反比例函數(shù)的匿象上任選一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原

點所構(gòu)成的三角形的面積是與，且保持不變.

［類型三］反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

砸1函數(shù)y=—的圖象與直線丫=一%沒有交點，那么攵的取值范圍是（）

A.k>}B.k<\

C.k>-\D.k<-\

方法總結(jié)：判斷正比例函數(shù)）=kx和反比例函數(shù)），=§在同一直角坐標系中的交點個數(shù)

可總結(jié)為：①當心與的同號時，正比例函數(shù)次與反比例函數(shù)有2個交點；②當

肉與心異號時，正比例函數(shù)），=少成與反比例函數(shù)），=，沒有交點.

［類型四］=反-比例函數(shù)與一次函數(shù)“，的…，一綜■■—合一一問題二

如圖，已知A（—4,2）,8（—1,2）是一次函數(shù)y=Ax+。與反比例函數(shù)y=￡（〃?VO）

圖象的兩個交點，AC_Lx軸于點C,軸于點D

（1）根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)

的值；

（2）求一次函數(shù)解析式及機的，直；

（3）尸是線段4B上的一點，連接PC,PD,若△尸。和APOB的面積相等，求點P的坐

標.

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標所包含的信

息.本題也考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力.

26.2實際問題與反比例函數(shù)

第1課時實際問題中的反比例函數(shù)

1.經(jīng)歷分析實際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進而解決問題；(重點)

2.體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，增強應(yīng)用意識，提高運用代數(shù)方法解決問題的能

力.(難點)

一、情境導入

小明和小華相約早晨一起騎自行車從4鎮(zhèn)出發(fā)前往相距20km的B鎮(zhèn)游玩，在返回時,

小明依舊以原來的速度騎自行車，小華則乘坐公交車返回A鎮(zhèn).

假設(shè)兩人經(jīng)過的路程一樣，自行車和公交車的速度保持不變，且自行車速度小于公交車

速度.你能找出兩人返回時間與所乘交通工具速度間的關(guān)系嗎？

二、合作探究

探究點：實際問題與反比例函數(shù)

［類型—］反比例函數(shù)在路程問題中的應(yīng)用

砸I王強家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為。米/分，

所需時間為，分鐘.

(1)速度。與時間I之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

(2)若王強到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？

(3)如果王強騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵要掌握路程、速度和時間的關(guān)系.

［類型二］反比例函數(shù)在工程問題中的應(yīng)用

曲陶在某河治理工程施工過程中，某工程隊接受一項開挖水渠的工程，所需天數(shù)M天)

與每天完成的工程量x(m/天)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.

(1)請根據(jù)題意，求)，與x之間的函數(shù)表達式；

(2)若該工程隊有2臺挖掘機，每臺挖掘機每天能夠開挖水渠15米，問該工程隊需用多

少天才能完成此項任務(wù)？

(3)如果為了防汛工作的緊急需要，必須在一個月內(nèi)(按30天計算)完成任務(wù)，那么每天

至少要完成多少米？

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是掌握工作量、工作效率和工作時間之間的關(guān)系.

［類型三］利用反比例函數(shù)解決利潤問題

砸1某商場出售一批進價為2元的賀卡，在銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的日售價x(元)與銷售量

y(張)之間有如下關(guān)系：

M元)3456

M張)20151210

(1)猜測并確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當日銷售單價為10元時，賀卡的日銷售量是多少張？

(3)設(shè)此卡的利潤為W元，試求出卯與x之間的函數(shù)關(guān)系式，若物價部門規(guī)定此卡的銷

售單價不能超過10元，試求出當日銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大并求出最大

利潤.

方法總結(jié)：本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)的關(guān)系式及求最大值，解答此類題目

的關(guān)鍵是準確理解題意.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

［類型四］反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

砸1如圖所示，制作某種食品的同時需將原材料加熱，設(shè)該材料溫度為yC,從加熱

開始計算的時間為x分鐘.據(jù)了解,該材料在加熱過程中溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系.已

知該材料在加熱前的溫度為4C,加熱一段時間使材料溫度達到28C時停止加熱，停止加熱

后，材料溫度逐漸下降，這時溫度y與時間x成反比例函數(shù)關(guān)系.已知第12分鐘時，材料

溫度是14℃,

(I)分別求出該材料加熱和停止加熱過程中)，與X的函數(shù)關(guān)系式(寫出X的取值范圍)；

(2)根據(jù)該食品制作要求，在材料溫度不低于12c的這段時間內(nèi)，需要對該材料進行特

殊處理，那么對該材料進行特殊處理的時間為多少分鐘？

方法總結(jié)：現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)關(guān)系的兩個變量，解答此類問題的關(guān)鍵是

首先確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

第2課時其他學科中的反比例函數(shù)

1.能夠從物理等其他學科問題中建構(gòu)反比例函數(shù)模型；(重點)

2.從實際問題中尋找變量之間的關(guān)系，利用所學知識分析物理等其他學科的問題，建

立函數(shù)模型解決實際問題.(難點)

一、情境導入

問題：某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的濕地，為了安全、迅速通

過這片濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時通道，從而順利完成任

務(wù).

問題思考；

(1)請你解釋他們這樣做的道理；

(2)當人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板面積S(m?)的變化，人和木板對地面的壓

強p(Pa)將如何變化？

二、合作探究

探究點：反比例函數(shù)在其他學科中的應(yīng)用

［類型—］反比例函數(shù)與電壓、電流和電阻的綜合

的II已知某電路的電壓U(V),電流/(A)和電阻R(Q)三者之間有關(guān)系式為U=/R,且

電路的電壓U恒為6V.

(1)求出電流/關(guān)于電阻R的函數(shù)表達式；

(2)如果接入該電路的電阻為25。，則通過它的電流是多少？

(3)如圖，怎樣調(diào)整電阻箱A的陽值，可以使電路中的電流/增大？若電流/=0.4A,求

電阻R的值.

方法總結(jié)：明確電壓、電流和電阻的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

［類型二］反比例函數(shù)與氣體壓強的綜合

版的某容器內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，容器內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣

體體積Hn?)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

(I)求出這個函數(shù)的解析式；

(2)當容器內(nèi)的氣體體積是0.60?時，此時容器內(nèi)的氣壓是多少千帕？

(3)當容器內(nèi)的氣壓大于240kPa時，容器將爆炸，為了安全起見，容器內(nèi)氣體體積應(yīng)不

小于多少m3?

方法總結(jié)：根據(jù)反比例函數(shù)圖象確定函數(shù)關(guān)系式以及知道變量的值求函數(shù)值或知道函數(shù)

值的范圍求自變量的范圍是解決問題的關(guān)鍵.

［類型三］反比例函數(shù)與杠桿知識的綜合

砸1公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿原理”，小明利用此

原理，要制作一個杠桿撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200N和0.5m.

(I)動力/與動力臂/有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當動力臂為1.5m時，撬動石頭至少要多大的

力？

(2)若想使動力F不超過(1)題中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少？

方法總結(jié)：明確“動力X動力臂=阻力X阻力臂”是解題的關(guān)鍵.

［類型四］反比例函數(shù)與功率知識的綜合

砸1某汽車的輸出功率P為一定值，汽車行駛時的速度o(m/s)與它所受的牽引力尸(N)

之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：

50

4()

3()

2()

10

OI(XX)200030004000500()F(N)

（I）這輛汽車的功率是多少？請寫出這一函數(shù)的表達式；

（2）當它所受牽引力為2400N時，汽車的速度為多少？

（3）如果限定汽車的速度不超過30m/s,則尸在什么范圍內(nèi)？

方法總結(jié)：熟練掌握功率的計算公式是解決問題的關(guān)鍵.

第二十七章相似

27.1圖形的相似

1.從生活中形狀相同的圖形的實例中認識圖形的相似；（重點）

2.理解成比例線段的概念，會確定線段的比.（難點）

一、情境導入

如圖是兩張大小不同的世界地圖，左邊的圖形可以看作是右邊的圖形縮小得來的.由于

不同的需要，對某一地區(qū)，經(jīng)常會制成各種大小的地圖，但其形狀（包括地圖中所描繪的各

個部分）肯定是相同的.

日常生活中我們會碰到很多這種形狀相同、大小不一定相同的圖形，在數(shù)學上，我們把

具有相同形狀的圖形稱為相似圖形.像這樣的圖形有哪些性質(zhì)？下面我們就一起探討一下

吧！

二、合作探究

探究點一：相似圖形

的II觀察下面圖形，指出⑴?（9）中的圖形有沒有與給出的圖形3）、S）、（c）形狀相同

的？

(a)(b)(c)

建

(1)(3)

dolz

(4)⑹

ii二iV

(7)(8)(9)

方法總結(jié)：判斷兩個圖形的形狀是否相同，應(yīng)仔細觀察，當兩個圖形的形狀除了大小沒

有其他任何差異時，我們才可以說這兩個圖形形狀相同.

探究點二：比例線段

［類型一］判斷四條線段是否成比例

例國下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.4cm,2cm,1cm,3cm

B.1cm,2cm,3cm,5cm

C.3cm,4cm,5cm,6cm

D.1cm,2cm,2cm?4cm

方法總結(jié)：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條

線段之比與后兩條線段之比是否相等即可.

［類型二］利用成比例線段的定義，求線段的長

［例E1已知線段a、b、c>d是成比例線段，其中a=2m,b=4m,c=5m,貝!）d=（）

八一58

A.ImB.10mC.gmD.5m

方法總結(jié)：求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，然后根據(jù)比例關(guān)系求值.

［類型三］利用比例尺求距離

硒1若一張地圖的比例尺是1:150000,在地圖上量得甲、乙兩地的距離是5cm,則

甲、乙兩地的實際距離是（）

A.3000mB.3500m

C.5000mD.7500m

方法總結(jié)：比例尺=圖上距離：實際距離.根據(jù)比例尺進行計算時，要注意單位的轉(zhuǎn)換.

探究點三：相似多邊形

［類型—］利用相似多邊形的性質(zhì)求線段和角

MH如圖所示,給出的兩個四邊形是相似形，具體數(shù)據(jù)如圖所示，求出未知邊小b的

方法總結(jié)：若兩個多邊形相似，那么它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.在書寫兩個多

邊形相似時，要注意把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.

［類型二］相似多邊形的判定

畫0如圖，一塊長3m、寬L5m的矩形黑板ABC。如圖所示，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框

寬75cm.邊框的內(nèi)邊緣所成的矩形ABCD與邊框的外邊緣所成的矩形EFGH相似嗎？為什

么？

H

方法總結(jié)：判定兩個多邊形相似，需要對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個條件缺一不

27.2.1相似三角形的判定

第1課時平行線分線段成比例

1.了解相似比的定義；（重點）

2.掌握平行線分線段成比例定理的基本事實以及利用平行線法判定三角形相似；（重點）

3.應(yīng)用平行線分線段成比例定理及平行線法判定三角形相似來解決問題.（難點）

一、情境導入

如圖，在△4BC中，D為邊AB上任一點，作DE"BC,交邊AC于E,用刻度尺和量

角器量一量，判斷AAOE與△ABC是否相似.

D/-——\E

R乙-------------ir

二、合作探究

探究點一：相似三角形的有關(guān)概念

的II如圖所示，已知△OACSAOBO,且Q4=4,AC=2fOB=2,/C=NO,求:

（9△OAC和△08。的相似比；

（2）8。的長.

方法總結(jié)：相似三角形的定義既是相似三角形的性質(zhì)，也是相似三角形的判定方法.

探窕點二：平行線分線段成比例定理

［類型一］平行線分線段成比例的基本事實

的陶如圖，直線八、h、，3分別交直線，4于點A、B、C,交直線A于點。、E、F,直線

14、交于點0，且/1〃/2〃/3，已知所：OF=5：8,AC=24.

⑴求嗡的值；

CD

⑵求A8的長.

方法總結(jié)：運用平行線分線段成比例定理時，一定要注意正確書寫對應(yīng)線段的位置.

［類型二］平行線分線段成比例的基本事實的推論

砸1如圖所示，已知△A8C中，DEHBC,4。=2,80=5,AC=5,求4E的長.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形，準確找出圖形中的對應(yīng)線段，正確列出比例式.

探究點三：相似三角形的引理

［類型—］利用相似三角形的引理判定三角形相似

硒1如圖，在口4BCO中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE,DE與BC相交于點凡

請找出圖中所有的相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.

方法總結(jié)：求相似比不僅要找準對應(yīng)邊，還需要注意兩個三角形的先后順序.

［類型二］.利用“i相一一-似三角形-的--引理求線-一段一一.的長_

的時如圖，己知AB〃EF〃CD,與相交于點0.

(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求的長；

(2)如果BO：OE：EC=2：4：3,A8=3,求CD的長.

方法總結(jié)：運用平行線分線段成比例的基本事實的推論一定要找準對應(yīng)線段，以防解答

錯誤.

27.2.1相似三角形的判定

第2課時三邊成比例的兩個三角形相似

1.理解“三邊成比例的兩個三角形相似”的判定方法；（重點）

2.會運用“三邊成比例的兩個三角形相似”的判定方法解決簡單問題.

一、情境導入

我們現(xiàn)在判定兩個三角形是否相似，必須要知道它們的對應(yīng)角是否相等，對應(yīng)邊是否成

比例.那么是否存在判定兩個三角形相似的簡便方法呢？

在如圖所示的方格上任畫一個三角形，再畫第二個三角形，使它的三邊長都是原來三角

形的三邊長的相同倍數(shù).畫完之后，用量角器比較兩個三角形的對應(yīng)角,你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

大家的結(jié)論都一樣嗎？

二、合作探究

探究點：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

［類型—］直接利用定理判定兩個三角形相似

的II在RtZ\A5C中，ZC=90°,AB=10,BC=6,在中，Nr=90°,DF

=3,EF=4,則△ABC和△&>/相似嗎？為什么？

方法總結(jié)：利用三邊對應(yīng)成比例判定兩個三角形相似時，應(yīng)說明三角形的三邊對應(yīng)成比

例，而不是兩邊對應(yīng)成比例.

［類型二］網(wǎng)格中的相似三角形

曲陶如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和aOE尸的頂點都在格點上,

判斷△ABC和△口￡尸是否相似，并說明理由.

方法總結(jié)：在網(wǎng)格中計算線段的長，運用勾股定理是常用的方法.

［類型三］利用相似三角形證明角相等

砸1如圖，已知第=解=弟，找出圖中相等的角，并說明你的理由.

i\L7L/JL?zlZL

方法總結(jié)：在證明角相等時，可通過證明三角形相似得到.

［類型四］利用相似三角形的判定證明線段的平行關(guān)系

砸1如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)A,B,C,。之間建有公路，已知AB=14千米，AD=28千

米，80=21千米，BC=42千米，OC=31.5千米，公路A8與C。平行嗎？說出你的理由.

方法總結(jié)：如果在已知條件中邊的數(shù)量關(guān)系較多時，可考慮使用“三邊對應(yīng)成比例，兩

三角形相似”的判定方法.

［類型五］利用相似三角形的判定解決探究性問題

酶要制作兩個形狀相同的三角形教具，其中一個三角形教具的三邊長分別為50cm,

60cm,80cm,另一個三角形教具的一邊長為20cm,請問怎樣選料可使這兩個三角形教具相

似？想想看，有幾種解決方案.

方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵在于分類討論，當對應(yīng)比不確定時，興用分類討論的方法可

避免漏解.

27.2.1相似三角形的判定

第3課時兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

1.理解“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并

能用文字、圖形和符號語言表示；（重點）

2.會運用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并解決

簡單的問題.（難點）

一、情境導入

利用刻度尺和量角器畫兩個三角形，使它們的兩條對應(yīng)邊成比例，并且夾角相等.量一

量第三條對應(yīng)邊的長，計算它們的比與前兩條對應(yīng)邊的比是否相等.另兩個角是否對應(yīng)相

等？你能得出什么結(jié)論？

二、合作探究

探究點：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

［類型—］直接利用判定定理判定兩個三角形相似

的II已知：如圖，在△ABC中，NC=90°,點。、E分別是AB、CB延長線上的點,

CE=9,AD=15,連接DE.若BC=6,AC=8,求證：AABCS&DBE.

方法總結(jié)：解本題時一定要注意必須是兩邊對應(yīng)的夾角才行，還要注意一些隱含條件,

如公共角、對頂角等.

［類型二］添加條件使三角形相似

曲陶如圖，已知△ABC中，。為邊AC上一點，P為邊AB上一點，48=12,AC=8,

AD=6,當AP的長度為時，△AO尸和4A5c相似.

方法總結(jié)：添加條件時，先明確已知的條件，再根據(jù)判定定理尋找需要的條件，對應(yīng)本

題可先假設(shè)兩個三角形相似，再利用倒推法以及分類討論解答.

［類型三］利用三角形相似證明等積式

面?如圖，C。是RtZ\ABC斜邊A8上的高，E為BC的中點，的延長線交C4的

延長線于尸.求證：AC?CF=BCDF.

方法總結(jié)：證明等積式或比例式的方法：把等積式或比例式中的四條線段分別看成兩個

三角形的對應(yīng)邊，然后證明兩個三角形相似，得到要證明的等積式或比例式.

［類型四］利用相似三角形的判定進行計算

硒1如圖所示，BC_LCO于點C,BELDE于點E,BE與CO相交于點4,若AC=3,

BC=4,AE=2,求CO的長.

方法總結(jié)：利用相似三角形的判定進行邊角計算時，應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通

過作輔助線構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊成比例進行求解.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習”課后鞏固提升”第7題

［類型五］利用相似三角形的判定解決動點問題

的時如圖，在aABC中，ZC=90°,8c=8cm,5AC—3A8=0,點P從8出發(fā)，沿

BC方向以2cm/s的速度移動，與此同時點。從C出發(fā)，沿C4方向以lcm/s的速度移動，

經(jīng)過多長時間△A8C和△PQC相;以？

A

方法總結(jié)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對應(yīng)頂點不同，分兩種情況△入BCS^QQC

與△ABCs△QPC分別列出比例式來解決問題.

27.2.1相似三角形的判定

第4課時兩角分別相等的兩個三角形相似

1.理解“兩角分別相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、

圖形和符號語言表示；(重點)

2.會運用“兩角分別相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并解決簡單的問

題.(難點)

一、情境導入

與同伴合作，一人畫△A8C,另一人畫AA'B'C',使得NA和N4嘟等于給定的Na,

NB和N*都等于給定的N/?,比較你們畫的兩個三角形，ZC與NC相等嗎？對應(yīng)邊的比

了斐-，T竿=，相等嗎？這樣的兩個三角形相似嗎？和同學們交流?

二、合作探究

探究點：兩角分別相等的兩個三角形相似

［類型—］利用判定定理證明兩個三角形相似

的II如圖，在等邊△ABC中，。為8c邊上一點，E為A8邊上一點，且NAOE=60°.

(1)求證：AABDsMDCE；

(2)若BO=3,CE=2,求△ABC的邊長.

D

方法總結(jié)：本題主要是利用“兩角分別相等的兩個三角形相似”，解答此題的關(guān)鍵是利

用三角形的外角的知識得出角相筌.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

［類型二］添加條件證明三角形相似

的陶如圖，在△ABC中，。為AB邊上的一點，要使△ABCSAA瓦)成立，還需要添

加一個條件為.

方法總結(jié)：熟練掌握相似三角形的各種判定方法是解題關(guān)鍵.

［類型三］相似三角形與圓的綜合應(yīng)用

砸1如圖，AB為。0的直徑，。為。0上一點，CZ)_LAB于點力，交AE于點、G,弦

CE交AB于點、F,求證：AC2=AGAE.

方法總結(jié)：相似三角形與圓的知識綜合時，往往要用到圓的一些性質(zhì)尋找角的等量關(guān)系

證明三角形相似.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題

［類型四］相似三角形與四邊形知識的綜合

硒1如圖，在。48co中，過點8作BE_LC。，垂足為E,連接AE,F為AE上一點，

且NBFE=NC.若AB=8,BE=6,AD=7,求B尸的長.

方法總結(jié)：相似三角形與四邊形知識綜合時，往往要用到平行四邊形的一些性質(zhì)尋找角

的等量關(guān)系證明三角形相似.

［類型五］相似三角形與二次函數(shù)的綜合

的時如圖，在△45C中，NC=90°,8C=5m,AB=\0m.M點在線段CA上，從C

向A運動，速度為lm/s；同時N點在線段人8上，從A向8運動，速度為2m/s.運動時間為

ts.

B

(1)當r為何值時，△AMN的面積為6m2?

(2)當，為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式，從而解決問題.

27.2.2相似三角形的性質(zhì)

I.理解相似三角形的性質(zhì)；(重點)

2.會利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的問題.(難點)

一、情境導入

兩個三角形相似，除了對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等之外，還可以得到許多有用的結(jié)論.例

如，在圖中，和△45C是兩個相似三角形，相似比為憶其中4。、4。分別為8C、

夕(7邊上的高，那么A。、ATT之間有什么關(guān)系？

探究點一：相似三角形的性質(zhì)

［類型—］利用相似比求三角形的周長和面積

的II如圖所示，平行四邊形A8CO中，E是BC邊上一點，MBE=EC,BD、AE相交

(1)求aBE尸與的周長之比；

(2)若S△B￡F=6cm2,求S&AFD.

方法總結(jié)：理解相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解決問題

的關(guān)鍵.

［類型二］利用相似三角形的周長或面積比求相似比

曲陶若△ABCs/XABC,其面積比為1:2,則△ABC與△A6C的相似比為（）

A.1：2B.小：2

C.1：4D.A/2：1

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.

［類型三］利用相似三角形的性質(zhì)和判定進行計算

砸1如圖所示，在銳角三角形ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和

△8。七的面積分別為18和8,DE=3,求AC邊上的高.

方法總結(jié)：解決此類問題，可利用相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比

的平方來解答.

［類型四］利用相似三角形線段的比等于相似比解決問題

硒1如圖所示，PN//BC,ADLBC交PN于E,交BC于D.

（1）若A尸：尸3=1：2,SMBC=18,求S&uw;

求器的值.

(2)若SAAPN?S四邊形PBCN=1：2,

方法總結(jié)：利用相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于

相似比的平方.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題

［類型五］利用相似三角形的性質(zhì)解決動點問題

的時如圖，已知△A8C中，A8=5,8c=3,AC=4,PQ//AB,P點在AC上（與A、C

不重合），Q點在8c上.

△

AB

⑴當△PQC的面積是四邊形PABQ面積的Q時，求CP的長；

（2）當△PQC的周長與四邊形用3Q的周長相等時，求CP的長.

方法總結(jié)：由相似三角形得出線段的比例關(guān)系，再根據(jù)線段的比例關(guān)系解決面積、線段

的問題是解題的關(guān)鍵.

27.2.3相似三角形的應(yīng)用舉例

1.運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度；（重點）

2.靈活運用三角形相似的知識解決實際問題.（難點）

二、合作探究

探究點：相似三角形的應(yīng)用

［類型一］利用影子的長度測量物體的高度

砸1如圖，某一時刻一根2m長的竹竿七尸的影長GE為1.2m,比時，小紅測得一棵被

風吹斜的柏樹與地面成30°角，樹頂端B在地面上的影子點。與B到垂直地面的落點。的

距離是3.6m,求樹人9的長.

方法總結(jié)：解答此類問題時，首先要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.利用相似三角形對應(yīng)

邊成比例建立相等關(guān)系求解.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

［類型二］利用鏡子的反射測量物體的高度

面?小紅用下面的方法來測量學校教學大樓A3的高度.如圖，在水平地面點E處放

一面平面鏡，鏡子與教學大樓的距離AE=20m.當她與鏡子的距離CE=2.5m時，她剛好能

從鏡子中看到教學大樓的頂端8.已知她的眼睛距地面高度。。=1.6m,請你幫助小紅測量出

大樓A8的高度（注：入射角=反射角）.

方法總結(jié)：解本題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程.解題

時要靈活運用所學各學科知識.

［類型三］利用標桿測量物體的高度

砸1如圖，某一?時刻，旗桿AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上.小

明測得旗桿AB在地面上的影長8C為9.6m,在墻面上的影長CD為2m.同一時刻，小明又

測得豎立于地面長1m的標桿的影長為1.2m.請幫助小明求出旗桿的高度.

方法總結(jié)：利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿（或直尺）的高（長）作為三角形

的邊構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

［類型四］利用相似三角形的性質(zhì)設(shè)計方案測量高度

硒1星期天，小麗和同學們在碧沙崗公園游玩，他們來到1928年馮玉祥將軍為紀念北

伐軍陣亡將士所立的紀念碑前，小麗問：“這個紀念碑有多高呢？”請你利用初中數(shù)學知識,

設(shè)計一種方案測量紀念碑的高度（畫出示意圖），并說明理由.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)計出具體圖形，將實際問題抽象出數(shù)

學問題求解.

27.3位似

第1課時位似圖形的概念及畫法

1.了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形的相關(guān)

知識；（重點）

2.掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小.（難點）

一、情境導入

生活中我們經(jīng)常把自己好看的照片放大或縮小，由于沒有改變圖形的形狀，我們得到的

照片是真實的.

觀察圖中有多邊形相似嗎？如果有,那么這種相似有什么共同的特征？

二、合作探究

探究點：位似圖形

［類型一］判定是否是位似圖形

球1下列3個圖形中是位似圖形的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

方法總結(jié)：判斷兩個圖形是不是位似圖形，首先要看它們是不是用似圖形，再看它們對

應(yīng)頂點的連線是否交于一點.

［類型二］確定位似中心

曲的找出下列圖形的位似中心.

方法總結(jié)：確定位似圖形的位似中心時，要找準對應(yīng)頂點，再經(jīng)過每組對應(yīng)頂點作直線,

交點即為位似中心.

［類型三］畫位似圖形

砸1按要求畫位似圖形：

(1)圖①中，以0為位似中心，把△ABC放大到原來的2倍；

(2)圖②中，以0為位似中心，把△48C縮小為原來的;.

方法總結(jié)：畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似

中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；④順次

連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

［類型四］位似圖形的實際應(yīng)用

硒1在放映電影時，我們需要把膠片上的圖片放大到銀幕上，以便人們欣賞.如圖，

點P為放映機的光源，△A8C是膠片上面的畫面，XN夕C'為銀幕上看到的畫面.若

膠片上圖片的規(guī)格是2.5cmX2.5cm,放映的銀幕規(guī)格是2mX2m,光源產(chǎn)與膠片的距離是

20cm,則銀幕應(yīng)距離光源P多遠時，放映的圖象正好布滿整個銀幕？

方法總結(jié)：在位似變換中，任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于對應(yīng)邊的比，面

積比等于相似比的平方.

【類型五］利用位似的性質(zhì)進行證明或計算

的時如圖，尸在上，BC、AO相交于點nAB〃CD〃EF、

(1)圖中有哪幾對位似三角形，選其中一對加以證明;

(2)若AB=2,CD=3,求E/的長.

方法總結(jié)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.位似圖形的

對應(yīng)線段的比等于相似比.

第2課時平面直角坐標系中的位似

1.學會用圖形坐標的變化來表示圖形的位似變換：(重點)

2.掌握把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，對應(yīng)點的坐標變化的規(guī)律.(難點)

一、情境導入

觀察如圖所示的坐標系.

試著發(fā)現(xiàn)坐標系中幾個圖形間的聯(lián)系，然后自己作出一個類似的圖形.

二、合作探究

探究點一：平面直角坐標系中的位似

［類型一］利用位似求點的坐標

砸1如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(6,6),B(8,2),以原點O為位似中心,

在第一象限內(nèi)將線段48縮小為原來的;后得到線段CD,則端點C的坐標為()

A.(3,3)B.(4,3)

C.(3,1)D.(4,1)

方法總結(jié)：關(guān)于原點成位似的兩個圖形，若位似比是鼠則原圖形上的點丁)經(jīng)過位

似變化得到的對應(yīng)點的坐標是(fcv,0)或(一履，一?).

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題

［類型二］在坐標系中畫位似圖形

曲陶在13X13的網(wǎng)格圖中，己知△ABC和點"(1,2).

(I)以點M為位似中心，位似比為2,畫出△ABC的位似圖形△4EC；

(2)寫出△AB。的各頂點坐標.

方法總結(jié)：畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的

內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具伍問題要考慮畫圖方便且符合要求.

［類型三］在坐標系中確定位似比

砸1△A8C三個頂點A(3,6)、4(6,2)、C(2,-1),以原點為位似中心，得到的位似

22I

圖形三個頂點分別為4(1,2),B'(2,3),C'每一亍，則△AEC與△A3C的位

似比是.

方法總結(jié)：以原點為位似中心的位似圖形的位似比是對應(yīng)點的對應(yīng)坐標的比.

探究點二：位似在坐標系中的簡單應(yīng)用

［類型一］確定圖形的面積

如圖，原點。是△人〃。和△人心77的位似中心，點人(1,0)與點”(一2,0)是對應(yīng)

方法總結(jié)：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的面積比等于相似比的

平方.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

［類型二］位似變換與平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的綜合

酶如圖，點4的坐標為(3,4),點。的坐標為(0,0),點B的坐標為(4,0).

(1)將aAOB沿x軸向左平移1個單位后得△4041，則點4的坐標為(),△

A\O\B\的面積為；

(2)將△AO8繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得△A2O2B2，則點4的坐標為();

(3)將△AOB沿x軸翻折后得ZXA3O383，則點4的坐標為(_______);

(4)以O(shè)為位似中心，按比例尺1：2將AAOB放大后得△從4。4艮，若點以在x軸的負

半軸上，則點4的坐標為(),&的面積為.

方法總結(jié)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及平移和位似變換、三角形面積求法等知識，

得出對應(yīng)點坐標是解題關(guān)鍵.

的對應(yīng)點的坐標是伙x,好)或［一履，~ky).

28.1銳角三角函數(shù)

第1課時正弦函數(shù)

1.能根據(jù)正弦概念正確進行計算；(重點)

2.能運用正弦函數(shù)解決實際問題.(難點)

一、情境導入

牛莊打算新建一個水站，在選擇水泵時，必須知道水站(點4)與水面(8C)的高度(AB).斜

坡與水面所成的角可以用量角器測出來，水管的長度(AC)也能直接量得.

二、合作探究

探究點一：正弦函數(shù)

)

方法總結(jié)：我們把銳角人的對邊。與斜邊。的比叫做N4的正弦，記作sinA即siM=

NA的對邊a

斜邊=G

探究點二：正弦函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用

［類型一］在網(wǎng)格中求三角函數(shù)值

的舊如圖，在正方形網(wǎng)格中有△A6C,則sin/A6c的值等于（）

A-10-B.片C，3D,10

方法總結(jié)：解決有關(guān)網(wǎng)格的同題往往和勾股定理及其逆定理相聯(lián)系，根據(jù)勾股定理求出

三邊長度，再運用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題

［類型二］已知三角函數(shù)值，求直角三角形的邊長

___2

圓?在RtZXA6c中，NC=9O。，BC=4,sinA=y則A8的長為（）

Q

A.jB.6C.12D.8

方法總結(jié)：根據(jù)正弦定義表示出邊的關(guān)系，然后將數(shù)值代入求解，記住定義是解決問題

的關(guān)鍵.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題

［類型三］三角函數(shù)與等腰三角形的綜合

己知等腰三角形的一條腰長為25cm,底邊長為30cm,求底角的正弦值.

解析：先作底邊上的高AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到^D=|fiC=15cm,

再由勾股定理求出AO,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

方法總結(jié)：求三角函數(shù)值一定要在直角三角形中求值，當