832獨(dú)立性檢驗(yàn)課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)

人教A版（2019）選擇性必修三素養(yǎng)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，提高邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，會(huì)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入前面我們通過(guò)2×2列聯(lián)表整理成對(duì)分類變量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，并根據(jù)隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián).對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大．因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算．新課學(xué)習(xí)零假設(shè)或原假設(shè)的概念我們需要判斷下面的假定關(guān)系H0:P(Y=1∣X=0)=P(Y=1∣X=1)是否成立，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).這里，P(Y=1∣X=0)表示從{X=0}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于{X=0,Y=1}的概率；而P(Y=1∣X=1)表示從{X=1}中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于{X=1,Y=1}的概率．新課學(xué)習(xí)思考一下：請(qǐng)用條件概率的知識(shí)，分析零假設(shè)，給出分類變量X和Y獨(dú)立的定義.由條件概率的定義可知，零假設(shè)H0

等價(jià)于或

P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0).（1）注意到{X=0}和{X=1}為對(duì)立事件，于是P(X=0)=1-P(X=1)．再由概率的性質(zhì)，我們有P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1).由此推得（1）式等價(jià)于新課學(xué)習(xí)P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).因此，零假設(shè)H0等價(jià)于{X=1}與{Y=1}獨(dú)立．根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的概率知識(shí)，下面的四條性質(zhì)彼此等價(jià)：{X=0}與{Y=0}獨(dú)立;{X=0}與{Y=1}獨(dú)立;{X=1}與{Y=0}獨(dú)立;{X=1}與{Y=1}獨(dú)立.

如果這些性質(zhì)成立，我們就稱分類變量X

和Y獨(dú)立．這相當(dāng)于下面四個(gè)等式成立：P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0);P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).因此，我們可以用概率語(yǔ)言，將零假設(shè)改述為(2)H0：分類變量X和Y獨(dú)立.新課學(xué)習(xí)思考一下：給出下面的列聯(lián)表，你可以說(shuō)出里面的數(shù)據(jù)代表的含義嗎？XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d表中的數(shù)據(jù)是關(guān)于分類變X和

Y

的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù);最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù);中間的四個(gè)數(shù)a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}（x,y=0,1）的頻數(shù);右下角格中的數(shù)

n

是樣本容量．事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù)事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù)n是樣本容量事件{X=x,Y=y}(x，y=0，1)的頻數(shù)新課學(xué)習(xí)思考一下：如何基于（2）中的四個(gè)等式及上面列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，對(duì)成對(duì)分類變量

X

和

Y

是否相互獨(dú)立作出推斷？在零假設(shè)H0

成立的條件下，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，由（2）中的第一個(gè)等式，我們可以用概率

P(X=0)和

P(Y=0)對(duì)應(yīng)的頻率的乘積估計(jì)概率

P(X=0,Y=0)，而把視為事件{X=0,Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值（或預(yù)期值）．新課學(xué)習(xí)綜合(2)中的四個(gè)式子，如果零假設(shè)H0成立，下面四個(gè)量的取值都不應(yīng)該太大：反之，當(dāng)這些量的取值較大時(shí)，就可以推斷H0

不成立．(3)但是，我們并不能直接用(3)中的值的大小來(lái)推斷H0是否成立．為此需要找到一個(gè)既合理又能夠計(jì)算分布的統(tǒng)計(jì)量．一般來(lái)說(shuō)，若頻數(shù)的期望值較大，則(3)中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則(3)中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較?。疄榱撕侠淼仄胶膺@種影響，我們將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計(jì)量：新課學(xué)習(xí)該表達(dá)式可化簡(jiǎn)為新課學(xué)習(xí)思考一下：用隨機(jī)變量χ2

取值的大小作為判斷零假設(shè)H0

是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H0

不成立，否則認(rèn)為H0

成立.那么，究竟χ2

大到什么程度，可以推斷H0

不成立呢？或者說(shuō)，怎樣確定判斷χ2

大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律，上面的想法可以通過(guò)確定一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件來(lái)實(shí)現(xiàn)．在假定H0

的條件下，對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了χ2

的近似分布．忽略χ2

的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值α

，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα

，使得下面關(guān)系成立：(4)新課學(xué)習(xí)臨界值的概念對(duì)于任何小概率值α

，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)

xα

，使得下面關(guān)系成立：我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值

α越小，臨界值xα

越大．當(dāng)總體很大時(shí)，抽樣有、無(wú)放回對(duì)χ2

的分布影響較小．由(4)式可知，只要把概率值α取得充分小，在假設(shè)H0

成立的情況下，事件{χ2?xα}是不大可能發(fā)生的．根據(jù)這個(gè)規(guī)律，如果該事件發(fā)生，我們就可以推斷

H0不成立．新課學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念基于小概率值

α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2?xα

時(shí)，我們就推斷H0

不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2<xα

時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0

不成立，可以認(rèn)為

X

和

Y

獨(dú)立．這種利用χ2

的取值推斷分類變量

X

和

Y

是否獨(dú)立的方法稱為

χ2

獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).新課學(xué)習(xí)5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例如，對(duì)于小概率值

α=0.05，我們有如下的具體檢驗(yàn)規(guī)則：（1）當(dāng)χ2?x0.05=3.841時(shí)，我們推斷H0

不成立，即認(rèn)為X和

Y

不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05;（2）當(dāng)χ2<x0.05=3.841時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷

H0

不成立，可以認(rèn)為

X

和

Y獨(dú)立．新課學(xué)習(xí)例2

依據(jù)小概率值

α=0.1的χ2

獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？零假設(shè)為H0

：分類變量

X與

Y

相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異．根據(jù)例1中表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異．新課學(xué)習(xí)思考一下：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說(shuō)明其中的原因嗎？例1只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分．例2中，我們用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)零假設(shè)H0進(jìn)行了檢驗(yàn)．通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對(duì)應(yīng)的臨界值2.706，因此認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以接受H0

，推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有顯著差異的結(jié)論．這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個(gè)頻率的差異很有可能是由樣本隨機(jī)性導(dǎo)致的．因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的．新課學(xué)習(xí)例3

某兒童醫(yī)院用甲，乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名．試根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好．零假設(shè)為H0

：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異．將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，如下表所示新課學(xué)習(xí)療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0

成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒(méi)有差異．新課學(xué)習(xí)例4

為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示．依據(jù)小概率值

α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)．吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965新課學(xué)習(xí)零假設(shè)為H0

：吸煙與患肺癌之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到新課學(xué)習(xí)由可見(jiàn)，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌的概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌．吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為新課學(xué)習(xí)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：（1）提出零假設(shè)H0:X

和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋；（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較；（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論;（4）在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.新課學(xué)習(xí)思考一下：獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？反證法是在某種假設(shè)H0

之下，推出一個(gè)矛盾結(jié)論，從而證明H0

不成立；而獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)H0

之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0

相矛盾的小概率事件，就推斷H0

不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大