北師大八年級下冊數(shù)學(xué)教案

第一章三角形的證明

§1.1等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：能證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

能力目標(biāo)；了解分析的思考方法，掌握用綜合法證明的格式；

情感目標(biāo)：感受證明的必要性，感受合情推理和演繹推理都是認(rèn)識事物的途徑.

教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

教學(xué)難點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

教具準(zhǔn)備：教學(xué)圖片

教學(xué)過程：

一.【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】

1.用的過程，叫做證明.

經(jīng)過稱為定理.

2.證明與圖形有關(guān)的命題，?般步驟有哪些？

3.我們初中數(shù)學(xué)中，選用了哪些真命題作為基本事實(shí)：

4.什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）

5.我們曾經(jīng)利用等腰三角形的對稱性，發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的哪些性質(zhì)？

6.這些性質(zhì)都是真命題嗎？你能否用從基本事實(shí)出發(fā)，對它們進(jìn)行證明？

二.【效果檢測】

1.證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

點(diǎn)撥：要證明兩個(gè)角相等，可以構(gòu)造一對全等三角形.圖中的NB、NC,AB、AC要分別是這兩個(gè)三角形的角與邊.如果

用“SAS”證明，如何作輔助線？

討論：還有不同的證明方法嗎？

2.“等邊對等角”用符號語言如何表示？

三.【布置任務(wù)】師生互動(dòng)探究

思考與探索

問題1.證明：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

互相重合.

點(diǎn)撥：上面的證明你作的輔助性是等腰三甬形的什么線？接著剛才的證明，你一定能發(fā)現(xiàn)“三線合一”的真相。請按

照證明題的三個(gè)步驟，進(jìn)行證明.

思考：“三線合一”用符號語言如何表示？

問題2.如何證明”等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是正確的？

①寫出它的逆命題：____________________________________________

②畫出圖形，寫出已知、求證，并進(jìn)行證明.

思考：”等角對等邊”一符號語言如何表示？

問題3.已知：如圖NEAC是aABC的外角，AO平分NEAC,且AO〃BC.

求證：AB=AC.

分析：問題3.已知：如圖NE4c是△A8C的外角，AD平分NE4?,且4￡>〃BC.

求證：AB=AC./

分析：要證AB=AC,只需證NB=NC,已知NEAD=NDAC,A￡------D

只需證NEAD=NB,ZDAC=ZC./Y

--------------------------------A^\-------e----------

Bc

證明:

四.【小組交流】學(xué)生展示

己知：如圖，在AABC中，ZABC.NACB的平分線相交于點(diǎn)。

MN過點(diǎn)、0,且MN〃BC,交.AB、AC于點(diǎn)M、N.%

(1)求證：MN=BM+CN./\

⑵如果A8=20,BC=12,AC=18,求的周長./\

子7y

五.【課堂訓(xùn)練】拓展延伸

1.在問題3中，如果AB=AC,AD//BC,那么AO平分NE4C嗎？如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

2.在問題3中，如果A8=AC,AO平分NE4C,那么AO〃BC嗎？如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

六.【課堂小結(jié)】//\

本節(jié)課你在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法方面有何收獲？還有什么疑惑？/\

要證AB=AC,只需證NB=NC,已知NEAD=NDAC,/\

只需證NEAD=NB,ZDAC=ZC./\

證明：四.【小組交流】學(xué)生展示//o葭，

已知：如圖，在△ABC中，ZABC.NACB的平分線相交于點(diǎn)。，7\

MN過點(diǎn)。,且MN〃BC,交.AB、AC于點(diǎn)M、N.

M<_________________2:1c

(1)求證：MN=BM+CN.

⑵如果A8=20,BC=12,AC=18,求的周長.

五.【課堂訓(xùn)練】拓展延伸

1.在問題3中，如果A8=AC,AD//BC,那么AO平分NEAC嗎？如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

2.在問題3中，如果48=AC,AO平分NEAC,那么AO〃BC嗎？如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

六.【課堂小結(jié)】

本節(jié)課你在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法方面有何收獲？還有什么疑惑？

【教學(xué)反思】

§1.2等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：能證明等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理。

能力目標(biāo)：能證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理。

情感目標(biāo)：進(jìn)一步了解分析法和綜合法。

教學(xué)重點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理

教學(xué)難點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理

教具準(zhǔn)備：教學(xué)圖片

教學(xué)過程：

一.【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】

1.等腰三角形性質(zhì)定理：

2.等腰三角形判定定理：o

3.等邊三角形是特殊的等腰三角形，特殊在哪里？

____________________________________________________________O

4.線段垂直平分線的性質(zhì)定理.

二.【效果檢測】

1證明：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°.

分析：要證等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°,就要先根據(jù)等邊對等角證明三個(gè)角相等。

2.證明：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

三.【布置任務(wù)】師生互動(dòng)探究

問題1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

分析：由等邊三角形的的定義可知，三邊相等的三角形是等邊三角形。

根據(jù)“等角對等邊”可以證得。

問題2.證明：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

四.【小組交流】學(xué)生展示

1.證明：如果一個(gè)等腰三角形中有一個(gè)角等于60°,那么這個(gè)三角形是AA.

等邊三角形。

2已.知：如圖，Z^ABC是等邊三角形，DE〃BC,分別交AB、AC于

點(diǎn)D、E。求證：4ADE是等邊三角形。/

五.【課堂訓(xùn)練】拓展延伸

己知：如圖，Z\ABC、Z\CDE是等邊三角形，B、C、D在同一條直線上，AC..BE交于點(diǎn)M,AD、CE交于點(diǎn)N。證明:

△BCE^AACD,AMCE^ANCD

BCD

拓展：△MNC是什么形狀？證明你的想法。

六.【課堂小結(jié)】

本節(jié)課你在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法方面有何收獲？還有什么疑惑？

【教學(xué)反思】

直角三角形

教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)；能證明并會(huì)應(yīng)用直角三角形全等的“HL”判定定理。

能力、情感目標(biāo)：1、體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.逐步學(xué)會(huì)分析的思考方法，發(fā)展演繹推理的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：證明直角三角形全等的“HL”判定定理及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：證明直角三角形全等的“HI.”判定定理及其應(yīng)用

教學(xué)過程：

一.【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】

1、直角三角形全等的條件有哪些？

2、你認(rèn)為具備這樣條件的兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？為什么？

思考：我們知道：斜邊和一對銳角相等的兩個(gè)直角三角形*可以根據(jù)

判定它們?nèi)?一對直角邊和一對銳角相等的兩個(gè)直角三角形,可以根據(jù)"ASA”或"A4S”判定它們?nèi)?兩對直角

邊相等的兩個(gè)直角三角形,可以根據(jù)“SAS”判定它們?nèi)?

如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一對直角邊相等(邊邊角)，這兩個(gè)三角形是否可能全等呢？

二.【效果檢測】

1.如圖1(1),在AABC與4A'B'C'中，若AB=A'B',AC=A'C',NC=NC'=90°,這時(shí)Rt^ABC與Rt

△A'B'C是否全等？

導(dǎo)學(xué)：把Rt^ABC與RtZ\A'B'C'拼合在一起，如圖1(2),因?yàn)?/p>

NACB=NA'CB'=90°,所以B、C(C')、B'三點(diǎn)在一條直線上，

因此，ZXABB'是一個(gè)等腰三角形，可以知道NB=NB'.根據(jù)AAS公理可知RtZXA'B'C當(dāng)RtZXABC。

請你按照上面的分析，嘗試著完成本題的證明過程。

證明：

反思：1.為什么要說明B、C(C'卜B'三點(diǎn)在一條直線上呢？

2.前面我們曾用畫圖剪拼的方法，比較感性的獲得“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)

直角三角形的全等。"但是，由于觀察并不一定可靠，通過今天嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，我們確信這

是一條數(shù)學(xué)真理。

3.根據(jù)勾股定理、SAS公理你還有其他證明方法嗎？

三.【布置任務(wù)】師生互動(dòng)探究

問題1.證明：在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半。

點(diǎn)撥：1.我們可以構(gòu)造如圖1（2）的圖形中，在等邊三角形ABB，中，如果

ZBAC=30",那么aABC是一個(gè)直角三角形，且BC="B。

四.【小組交流】學(xué)生展示

問題2.如圖，在AABC中，已知D是BC中點(diǎn)，DE_LAB,DF1AC,垂足分別是E、F,DE=DF.求證：

AB=AC

點(diǎn)撥：要證AB=AC,只要分別證AE=AF,BE=CF,因而只要用“HL”證明

RtAAED^RtAAFD,RtABED^RtACFD,

六.【課堂訓(xùn)練】拓展延伸A

問題3如圖，CD_LAB,BE_LAC,垂足分別是D、E,，

BE、CD相交于點(diǎn)0,如果AB=AC,哪么圖中有幾對全等的直角三角形？取其中的一對予以證明。/卜

拓展：直線AO與線段BC有何關(guān)系？請說明理由。/

七.【課堂小結(jié)】DZ

1.圖形的“拆（把一個(gè)等腰三角形拆成兩個(gè)全等的直角三角形）”和“拼把兩個(gè)直角三角卜、形拼

成一個(gè)等腰三角形”兩種方法體現(xiàn)了同一種思想一一轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問題轉(zhuǎn)化為B'C

可證的問題。

2.本節(jié)課我們證明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角三角形的特殊性質(zhì)，你還能列

舉一些關(guān)于特殊與一般的例子嗎？

【教學(xué)反思】

直角三角形（2）

教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：能證明角平分線的性質(zhì)定理和逆定理、三角形三條角平分線交與一點(diǎn)

能力目標(biāo)：從簡單的數(shù)學(xué)例子中了解反證法的含義

情感目標(biāo)：逐步學(xué)會(huì)分析的思考方法，發(fā)展演繹推理的能力

教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理和逆定理

教學(xué)難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理和逆定理

教學(xué)過程：

一.【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】

1.直角三角形全等的判定方法：________________________________。

2.角平分線的性質(zhì)定理：______________________________________。

A

°ER

3.你能用什么方法作出/AOB的平分線OC?B

二.【效果檢測】

1證明：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

已知：

求證：

證明：

思考：上述定理用符號語言如何讓表示？

2、證明；角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn),

在這個(gè)角的平分線上。

己知：

求證；

證明：

思考：上述定理用符號語言如何讓表示？

【布置任務(wù)】師生互動(dòng)探究

問題1.“如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離不相等，那么這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角

的平分線上?！蹦阏J(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，你能證明嗎？

點(diǎn)撥：假設(shè)該點(diǎn)在角的平分線上，則它到這個(gè)角的兩邊的距離,

這與已知條件”這個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離不相等”矛盾。所以

鏈接：這種證題模式稱為反證法，應(yīng)用反證法證明的主要三步是：

否定結(jié)論一推導(dǎo)出矛盾一結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；

第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，由此通過正確推理導(dǎo)出矛盾；

第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

牛頓曾經(jīng)說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦灰话銇碇v，

反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或

“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題。

問題2.如圖，AABC的角平分線Al）、BE相交于點(diǎn)0,點(diǎn)0到4ABC各邊的距離相等嗎？點(diǎn)0

在NC的平分線上嗎？為什么？

點(diǎn)撥：先運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理，然后應(yīng)用其逆定理。

思考：你能用一個(gè)命題概括這一題嗎？

四.【小組交流】學(xué)生展示

問題3.如圖，已知AABC的外角NCBD和NBCE的平分線相交于點(diǎn)F,

求證：點(diǎn)F在NDAE的平分線上

2、如圖，在AABC中，NC=90度，點(diǎn)D在BC上，DE垂直平分AB,

且DE=DC0求NB的度數(shù)。

點(diǎn)撥：應(yīng)用角平分線判定定理和相等垂直平分線性質(zhì)定理。

五.【課堂訓(xùn)練】拓展延伸

問題3.如圖，已知NB=NC=90°,M是BC中點(diǎn),MN1AD,

若N1=N2,求證N3=/4。

拓展：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

六.【課堂小結(jié)】

1.角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的內(nèi)容是什么？我們是如何證明的？

2.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)嗎？我是然后證明的？

3.反證法的一般步驟有哪些？

4.你還有哪些困惑？

【教學(xué)反思】

線段的垂直平分線

教學(xué)目標(biāo)；

知識目標(biāo)：熟練利用直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平分線；掌握三角形三邊垂直平分線的性質(zhì).已知底邊及底邊

上的高，能夠利用直尺和圓規(guī)作出等腰三角形.

能力目標(biāo)：能夠證明線段的垂直平分線相交于一點(diǎn)這一定理，并在實(shí)際中應(yīng)用.（重點(diǎn)）

情感目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的推理證明意識與能力，理解“三線共點(diǎn)”的證明思路.（難點(diǎn)）

教法及學(xué)法指導(dǎo)：

我選擇的教法是“自主探究-合作交流-歸納總結(jié)”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，主動(dòng)思考，小組討論，歸納應(yīng)用.

”線段的垂直平分線”是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,在解決問題時(shí)有其實(shí)用性和簡潔性，學(xué)法上既要求學(xué)生動(dòng)手操作，又

要求學(xué)生主動(dòng)思考,合作交流,在動(dòng)手中得出知識,不能依靠教師講解后的記憶.

課前準(zhǔn)備：

制作導(dǎo)學(xué)案,課件,安排學(xué)生復(fù)習(xí)曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的關(guān)于“線段的垂直平分線”知識.準(zhǔn)備三角板.

教學(xué)過程：

一、回顧與思考

在AABC中，4=90°,折疊后，使A、B兩點(diǎn)重合，得到折痕EZ）,再沿函折疊，C點(diǎn)恰好與。點(diǎn)重合.

1.請找出圖中相等的線段，任選其中一組嘗試口頭證明.

生一：AE=BE、AD=BD,DE=CE我選擇的是AE=BE,可以通過證明AAEDWABED得來

生二：老師，我是應(yīng)用的折疊直接得來的AE=BE

師：還有沒有別的方法呢？

生：由折疊可以看做對稱，就能繼續(xù)應(yīng)用線段的垂直平分線線定理了

二、創(chuàng)設(shè)情境，動(dòng)手操作

操作一:請您做出一個(gè)任意三角形，做出此三角形的三條邊的垂直平分線.

操作二:任意剪出一個(gè)三角形，用折疊的方法折出三角形的三條邊的垂直平分線.

安排:全班同學(xué)可以分為兩組分別操作其一.也可以要求全班同學(xué)都要操作.

師：同學(xué)們，您們作出（剪出）的三角形一樣么？

生:不一樣.

師:大家觀察您們做出的三條邊的垂直平分線位置上有什么特點(diǎn).

生：三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn).

三、探究新知識

師:您能用一句話總結(jié)出您的結(jié)論么？

生:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn).

A

P

BC

師:前面我們用動(dòng)手操作的方法得出了這個(gè)結(jié)論，您能證明它們么？

操作:請兩位同學(xué)上臺展示，做出圖形,寫出已知求證,寫出證明過程.

已知：Z\ABC的邊AB、BC垂直平分線相交于點(diǎn)N

求證:點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上.

簡析：要證明三條直線相交于一點(diǎn)，只要證明第三條直線也通過這兩條直線的交點(diǎn)即可.

生一、生二同時(shí)上臺展示.

A

證明：連接（如下圖二）

?.?點(diǎn)尸在4B的垂直平分線上

，PB=PA

?.?點(diǎn)尸在AC的垂直平分線上

BC

：.PB-PC

：.PA=PC

，點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上

師:您能介紹一下您的思路么？添加輔助線的靈感呢？

生:添加輔助線的靈感就來自線段的垂直平分線定理，證明思路就是應(yīng)用了線段的垂直平分線定理的逆定理.

師:您面對證明三線共點(diǎn)有什么收獲？

生:我們可以通過證明第三條線過其余兩條線的交點(diǎn)來完成，今天，剛才王宇同學(xué)就是使用線段垂直平分線定理

逆定理來證明的.

師:上面圖形中有沒有相等的線段,并進(jìn)行證明.

^.:PA=PB=PC

師:歸納：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),

師:請用幾何符號語言表示：；

.:a=PB=PC

四、訓(xùn)練與鞏固：

1.操場上有三個(gè)班級的同學(xué)在上體育課，學(xué)校打算設(shè)立一個(gè)飲水站，要求離三個(gè)班級的距離想等,請您找出飲水站

的設(shè)立地點(diǎn).

2.已知：如圖，ZUBC中，4B=AC,/4=120°.

（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交BC、AB于點(diǎn)M、N（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）猜想CM與之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

A

作法;

1）作線段BC="h

BD

1Z

2）作線段BC的垂直平分線/,交BC于點(diǎn)D

3）在/上作線段D4,使D4=h

4）連接A8、AC

AABC為所求的等腰三角形

師：作圖題的作圖痕跡和作圖語言都很重要，作圖語言是世界上和法律語言一樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言之一，我們要引起足

夠的重視.

七、深化提高：

1.已知線段a,求作以a為底，以'a為高的等腰三角形，這個(gè)等腰三角形有什么特征？

2

設(shè)計(jì)意圖：是“做一做”的變形，直接服務(wù)于這節(jié)課的重點(diǎn).A

2.如圖1,在4ABe中，已知AC=27,AB的垂直平分線交4B于點(diǎn)。，/\交AC于點(diǎn)

E,△BCE的周長等于50,求8c的長.\

3.如圖，在AABC中，BC=12,ZBAC=1OO°,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D,AC的垂直平分

線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)M.

（1）求4AEN的周長.

（2）求NEAN的度數(shù).（選作）

（3）如果DE交MN于點(diǎn)P,猜想APBC的形狀.

師安排：學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上面做，然后用實(shí)物投影有針對的展示點(diǎn)撥.B.

作業(yè)：1.課本習(xí)題1.7第二題

2.課本習(xí)題1.7第三題（選作）

板書設(shè)計(jì):

線段的垂直平分線（2）

回顧與思考定理:作圖題

折紙游戲

學(xué)生展示:學(xué)生展示:學(xué)生展示:

【教學(xué)反思】

應(yīng)用了動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)的方法，學(xué)生表現(xiàn)出了很大的熱情，都能夠在實(shí)踐中得出相關(guān)的結(jié)論，都有自己的發(fā)現(xiàn)，能

夠和同學(xué)們相互探討，教師在點(diǎn)撥的時(shí)候感到很輕松，學(xué)生集體的力量很大，教師在授課時(shí)應(yīng)該充分的應(yīng)用，線段的

垂直平分線定理的證明有一定的難度，在以后的教學(xué)中可以適當(dāng)延長一點(diǎn)討論時(shí)間.

角的平分線的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：應(yīng)用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理.

能力、情感目標(biāo)：會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)己知角的平分線.

教學(xué)重點(diǎn)：利用尺規(guī)作已知角的平分線.

教學(xué)難點(diǎn)：角的平分線的作圖方法的提煉.

教學(xué)過程

I.提.出問題，創(chuàng)設(shè)情境A

問題1：三角形中有哪些重要線段.

問題2：你能作出這些線段嗎？

II.導(dǎo)入新課

在學(xué)直角三角形全等的條件時(shí)做過這樣一個(gè)題：

在NAOB的兩邊0A和0B上分別取OM=ON,MC±OA,NC±OB.MC與NC交于C點(diǎn).

求證：ZMOC=ZNOC.

通過證明RtZXMOC絲RtZ\NOC,即可證明NM0C=NN0C,所以射線0C就是NA0B的平分線.

受這個(gè)題的啟示，我們能不能這樣做：

在已知NA0B的兩邊上分別截取OM=ON,再分別過M、N作MCJ_OA,NC±0B,MC?

于C點(diǎn)，連接0C,那么0C就是NA0B的平分線了.

思考：這個(gè)方案可行嗎？（學(xué)生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認(rèn)為可行）。同

議一議：下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的，頂點(diǎn)，

沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理

要說明AC是NDAC的平分線，其實(shí)就是證明NCAD=NCAB.

ZCAD和NCAB分別在ACAD和ACAB中，那么證明這兩個(gè)三角形全等就可以了.

看看條件夠不夠.

AB=AD

<BC=DC

AC=AC

所以△AK絲AADC(SSS).

所以NCAD=NCAB.

即射線AC就是NDAB的平分線.

作已知角的平分線的方法：

已知：ZAOB.求，作：NAOB的平分線.

作法：

(1)以0為圓心，適當(dāng)長為泮徑作弧，分別交OA、0B于M、N.

A

(2)分別以M、N為圓心，大于LMN的長為半徑作弧.兩弧在NAOB內(nèi)部,交于點(diǎn)C.。之1/B

2

.(3)作射線0C,射線0C即為所求.

議一議:

1.在上面作法的第二步中，去掉"大于‘MN的長”這個(gè)條件行嗎？

2

2.第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在NAOB的內(nèi)部嗎？

練一練：

任意畫一角NAOB,作它的平分線.

探索活動(dòng)

按以下步驟折紙

1.在準(zhǔn)備好的三角形的每個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)好字母；A、B、C?把角A對折，使得這個(gè)角的兩邊重合。2、在折痕(即平分

線)上任意找一點(diǎn)C,

3、過點(diǎn)C折OA邊的垂線，得到新的折痕CD,其中.，點(diǎn)D是折痕與OA的交點(diǎn)，即垂足。4、將紙打開，新的，折痕

與OB邊交點(diǎn)為E。

角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

下面用我們學(xué)過的知識證明發(fā)現(xiàn)：nz

如圖，己知A0平分NBAC,OE1AB,OD1AC

求證：OE=OD?

m.隨堂練習(xí)ADc

課本練習(xí).

練后總結(jié)；

平角NAOB的平分線0C與直線AI5垂直.將0C反向延長得到直線CD,直線CD與AB?也垂直.

IV.課時(shí)小結(jié)

V.課后作業(yè)

【教學(xué)反思】

第二章一元一次不等式與一元一次不等式組

2.1不等關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)：

知識、能力、情感目標(biāo)：理解不等式的概念，感受生活中存在的不等關(guān)系

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：

對不等式概念的理解

難點(diǎn)：

怎樣建立量與量之間的不等關(guān)系。

教學(xué)過程:

從問題中來，到問題中去。

1.如圖1-1,用用根長度均為/cm的繩子，分別圍成一個(gè)正方形和圓。

(1)如果要使正方形的面積不大于25cm2,那么繩長/應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

(2)如果要使圓的面積大于100cm2,那么繩長/應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

(3)當(dāng)/=8時(shí)，正方形和圓的面積哪個(gè)大？/=12呢？

(4)改變/的取值再試一試，在這個(gè)過程中你能得到什么啟發(fā)？

分析解答：在上面的問題中，所圍成的正方形的面積可以表示為(')2,圓的面積可以表示為萬

4127r

(1)要使正方形的面積不大于25cm2,就是

I2

<25,即一425。

16

(2)要使圓的面積大于100cm2,就是

/12

即—>100

44

?2o2

(3)當(dāng)/=8時(shí)，正方形的面積為二=4(c加2),圓的面積為一?5.1(c/n2),

1644

4<5.1,此時(shí)圓的面積大。

當(dāng)/=12時(shí)，正方形的面積為一=9(cw2),圓的面積為——?11.5(c/n2),

164萬

9<11.5,此時(shí)還是圓的面積大。

(4)不論怎樣改變/的取值，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：總是網(wǎng)的面積大，因此，我們可以猜想，用長度增色為/an的兩根繩

子分別圍成一個(gè)正方形和圓，無論/取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即

I-I2

一>—

4萬16

2.(1)通過測量一棵樹的樹圍(樹干的周長)可能計(jì)算出它的樹齡，通常規(guī)定以樹干離地面1.5m的地方作為測量

部位。某樹栽種時(shí)的樹圍為5cm,以后樹圍每年增加約3cm,這棵樹至少要生長多少年其樹圍才能超過2.4m?(只

列關(guān)系式)

(2)燃放某種禮花彈時(shí)，為了確保安全，人在點(diǎn)燃導(dǎo)火線后要在燃放前轉(zhuǎn)移到10m以外的安全區(qū)域。已知導(dǎo)火

線的燃燒速度為0.2m/s,人離開的速度為4m/s,導(dǎo)火線的長度x(m)應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

答案：(1)設(shè)這棵樹生長x年其樹圍才能超過2.4m,則5+3x>240。

inx

(2)人離開10m以外的地方需要的時(shí)間，應(yīng)小于導(dǎo)火線燃燒的時(shí)間，只有這樣才能保證人的安全：—<—

40.2

分析鞏固練習(xí)：

用不等式表示：

(1)a的相反數(shù)是正數(shù)；

2

(2)m與2的差小于一；

3

(3)x的，與4的和不是正數(shù)；

3

(4)y的一半與x的2倍的和不小于3o

解答：(1)a的相反數(shù)是-a,正數(shù)是比零大的數(shù)，所以“a的相反數(shù)是正數(shù)”就是-a>0；

22

(2)“m與2的差”就是m-2,“差小于一”即是m-2V—；

33

(3)“x的就是』x,"x的」與4的和不是正數(shù)”就是lx+4W0；

3333

(4)“y的一半”不是;y,“x的2倍”就是2x,“不小于3”即指大于或等于3,故“y的一半與x的2倍的和不

小于”就是;y+2x》3。

3.下列各數(shù)：-4,7T,0,5.2,3其中使不等式x-2>l,成立是()

2

1

A.-4,乃,5.2B.n,5.2,3C.一,0,3D.1,5.2

2

答案：D

4.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖1-2所示，所仁心的值()

a+b

ii?ii.

-1a01b

A.>0B.<0C.=0D.

答案：B

小結(jié)提問，快速回答：

1.表示不等式關(guān)系的符號有哪些？

2.用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系：

（1）x的5倍與3的差比x的4倍大；

（2）。的,的相反數(shù)是非負(fù)數(shù)；

4

（3）x的3倍不小于y的8倍。

3.下列不等式中，總能成立的是（）

7

A.a->0B.-a2<0C.2a>aD.a~>a

作業(yè)要求：作業(yè)本

【教學(xué)反思】

2.2不等式的基本性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：經(jīng)歷不等式基本性質(zhì)的探索過程，初步體會(huì)不等式與等式的異同。

能力、情感目標(biāo)：掌握不等式的基本性質(zhì)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

不等式的基本性質(zhì)的掌握與應(yīng)用。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.比較歸納，產(chǎn)生新知

我們知道，在等式的兩邊都加上或都減去同一個(gè)數(shù)或整式，等式不變。

請問：如果在不等式的兩邊都加上或都減去同一個(gè)整式，那么結(jié)果會(huì)怎樣？請興幾例試一試，并與同伴交流。

類比等式的基本性質(zhì)得出猜想：不等式的結(jié)果不變。試舉幾例驗(yàn)證猜想。如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1

<7+1；3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-aV7-a等。都能說明猜想的正確性。

2.探索交流，概括性質(zhì)

完成下列填空。

2<3,2X53X5；

1

22X

2一

C

233,2X(

22X(-1

3,-5

2<3,2X（-1）3X（--）

22

你發(fā)現(xiàn)了什么？請?jiān)倥e幾例試試，與同伴交流。

通過計(jì)算結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)：前兩個(gè)空填“<”，后三個(gè)空填

得出不等式的基本性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

（通過自我探索與具體的例子使學(xué)生加深對不等式性質(zhì)的印象）

3.練習(xí)鞏固，促進(jìn)遷移

1.(1)用號或號填空，并簡說理由。

①6+2-3+2；②6X(-2)-3X(-2)；

③64-2-34-2；@64-(-2)-3+(-2)

(2)如果a>b,則

①a+b_______b+c②a-b___________b-c^

Ca

③acbe(c>0)④一-(c<0)

2.利用不等式的基本性質(zhì)，填“>”或“<”：

(1)若a>b,貝i」2a+l,2b+l;

5

—y

(2)若4<10,則y-8；

(3)若a<b,且c>0,貝ijac+cbc+c；

(4)若。K),b<0,c<0,(a-b)c0。

4.鞏固應(yīng)用，拓展研究.

1.按照下列條件，寫出仍能成立的不等式，并說明根據(jù)。

(1)兩邊都加上-4；(2)-3a<b兩邊都除以-3；

(3)兩邊都乘以2；(4)aW2b兩邊都加上c；

2.根據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化為x>a或x<a的形式(a為常數(shù))：

(1)—x>--x-2；(2)—x<—(6-x)；

3322

(3)-3x>2；(4)-3x+2<2x+3

5.課內(nèi)深化，提升能力

比較下列各題兩式的大小：

/、aa,、.a2-b2+2|_<22-2b2+1

(1)--3與一，(2)a+b^a-b,(3y)--------與----------

3323

6.回顧聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)

想一想：本節(jié)課學(xué)了哪些知識？有哪些性質(zhì)？在運(yùn)用性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意什么？

(通過問題的回答，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，把分散的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成知識網(wǎng)絡(luò)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深

對所學(xué)知識的理解.)

7.課外作業(yè)與拓展

課外作業(yè)：課本第9頁“習(xí)題1.2”

【教學(xué)反思】

2.3不等式的解集

一、教學(xué)目標(biāo)

知識、能力、情感目標(biāo)：1、理解不等式解與解集的意義。

2.了解不等式解集的數(shù)軸表示。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)是區(qū)分不等式解與解集的概念，難點(diǎn)是在數(shù)軸上表示不等式的解集。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)出問題

（課本問題）燃放某中禮花彈時(shí)，為了確保安全，人在點(diǎn)燃導(dǎo)火線后要在燃放前10m以外的安全區(qū)域。己知導(dǎo)火線

的燃燒速度為0.02m/s,人離開的速度為4m/s,那么導(dǎo)火線的長度應(yīng)為多少厘米？

（在建立不等式之前，先讓學(xué)生分析清楚問題中量與量之間的關(guān)系：為了使人有足夠的時(shí)間到達(dá)安全區(qū)域，導(dǎo)

火線燃燒的時(shí)間應(yīng)大于人到達(dá)安全區(qū)域的時(shí)間。）

設(shè)導(dǎo)火線的長度應(yīng)為xcm,根據(jù)題意，得

0.02x100,W

即x>5

2.探索交流，得出概念

1.想一想：（1）你能找出幾個(gè)使不等式x>5成立的x的值嗎？

（2）x=5,6,8能使不等式x>5成立嗎？

（字母可以表示任何數(shù)，但對于滿足x>5中的字母x,它能夠取任意數(shù)嗎？如果不能，它能取哪些數(shù)呢？啟發(fā)學(xué)生

動(dòng)手驗(yàn)證、動(dòng)腦思考，并從中初步體會(huì)不等式解的意義及不等式解與方程解的不同之處。）

能使不等式成立得未知數(shù)得值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x>5一個(gè)解，7,8,9,……也是不等式x>5的解。

一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。例如不等式X-5W-1的解集為爛4；不等式x?>0的

解集是所有非零實(shí)數(shù)。

求不等式解集的過程叫做解不等式。

2.議一議：請你用自己的方式將不等式x>5的解集和X-5W-1的解集分別表示在數(shù)軸上，并與同伴交流。

（引導(dǎo)學(xué)生回憶實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識數(shù)軸上的點(diǎn)是有序的，實(shí)數(shù)是可以比較大小的，讓學(xué)生用具體實(shí)數(shù)

對應(yīng)的點(diǎn)加以說明）

3.練習(xí)鞏固，促進(jìn)遷移

1.判斷下列說法是否正確；

（1）x=2是不等式x+3<4的解；

（2）x=2是不等式3x<7的解集；

（3）不等式3x<7的解是x=2；

（4）x=3是不等式3x》9的解。

答案：（1）不正確；（2）不正確：（3）不正確；（4）正確。

2.在數(shù)軸上表示出下列不等式的解集：

（1）x>-l；（2）x>-l；（3）%<-1；⑷xW-1

答案：

（1）數(shù)軸上實(shí)心與空心的區(qū)別在于：空心點(diǎn)表示解集不包括這一點(diǎn)，實(shí)心點(diǎn)表示解集包括這一點(diǎn)。

（2）數(shù)軸上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”這一原則。

-（2）—產(chǎn)耳

4.回顧聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)

想一想：本節(jié)課學(xué)了哪些知識？在運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意什么？

(通過問題的回答，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，把分散的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成知識網(wǎng)絡(luò)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加

深對所學(xué)知識的理解.)

5.課外作業(yè)與拓展

課外作業(yè)：課本第12頁“習(xí)題1.3”

【教學(xué)反思】

2.4一元一次不等式(1)

教學(xué)目標(biāo)；

知識、能力、情感目標(biāo)：會(huì)用一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示其解集。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：一元一次不等式的解法

難點(diǎn)：解決一元一次不等式時(shí)等號方向的改變。

教學(xué)過程：

1.觀察下列不等式：

(1)2x-2.5>15；(2)x<8.75(3)x<4(4)5+3x>240

這些不等式有哪些共同特點(diǎn)？

這些等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,象這樣的不等式，叫做一元一次不

等式。

2.先閱讀每(1)題的解法，然后仿做第(2)題，最后談?wù)勛约鹤x題、做題的體會(huì)。

(1)解不等式2土」，并把它的解集表示在數(shù)軸上。

23

解去分母，得3(x-2)>2(7-x)

去括號，得3x-6>14-2x

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

5%>20

兩邊都除以5,得

x>4

這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下(圖1-13)

-1012345678

xx—2

(2)解不等式已23+土子，并把它的解集表示的數(shù)軸上。

…20

答案：x<——

3

其解集在數(shù)軸上表示如下圖1-40

-7-6-5-4-3-2-10

3.解不等式10-4*-3)421-1),并把它的解集在數(shù)軸上表示出來。

解答：去括號，得10-4x+1242x—2,

移項(xiàng)，得10+2+12V2x+4x。

合并同類項(xiàng)，得24<6x

系數(shù)化為1,得4得xN4。

在數(shù)軸上表示不等式解集如圖

'-I—」■■■1■一

-2-1012345

4.解不等式四-2」2匕L并把它的解集在數(shù)軸上表示出來。

326

解答：去分母，得2(y+l)-3(y)—lVy—1

答案：y<3

這個(gè)不等式的解集數(shù)軸上表示如圖

-4-3-2-101234

5.y取何正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式2(y-l)的值不大于10-4(y-3)的值。

解答：根據(jù)題意列出不等式：

2(y-l)<10-4(y-3)

答案：解這個(gè)不等式，得y44,解集y44中的正整數(shù)解是：1,2,3,4。

6.解關(guān)于x的不等式：k(x+3)>x+4;

解答：去括號，得kx+3k>x+4;

答案：若k-l=O,即k=1時(shí)，0>1不成立，，不等式無解。

4一3人

若k-l>0,即k>l時(shí)，x>-----o

k-\

4一32

若k-lVO,即kVl時(shí)，X<-----o

k-\

7.m取何值時(shí)，關(guān)于x的方程土-如1=x-型1的解大于1。

632

解答：解這個(gè)方程：

x-2（6加-1）=6x-3（5/n-1）

3機(jī)一1

??x=------

5

3777—1

根據(jù)題意，得——>1

5

解得m>2

8.是否存在整數(shù)m,使關(guān)于x的不等式1+與3r〉土x+二9X與—2+二+l是同解不等式？如果存在，求出整數(shù)

m'mm"3

m和不等式的解集；如果不存在，請說明理由。

答案：%>-8

因此，存在符合題意的機(jī)，當(dāng)m=-ll時(shí)，兩個(gè)不等式同解，解集為x>-8。

小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)了什么？

作業(yè)布置

【教學(xué)反思】

一元一次不等式（2）

教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：加強(qiáng)鞏固一元一次不等式的解法

能力、情感目標(biāo)：及用數(shù)軸表示不等式的解集，了解不等式在生活中的應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：有分母的一元一次不等式的解法

一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的應(yīng)用

教學(xué)過程：

解下列不等式。并把它們的解集

S在數(shù)軸上表示出來

2+生圮<3上

84

2x-l2x+510x-17.

------------>-------+1

234

7X_11(X13)<￡-13_1(3X_7)

36

解：在不等式的兩邊同時(shí)解乘以8得；即

化簡得；

3(y+l)v-1

8x[2+-^-~^]<[3-^-]x8

3y+6y<24+6—16—3

11

y<一

9

例一教師師范板演。其他學(xué)生模仿聯(lián)系

解下列不等式.并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來

x-1x+\一

----<-----2

7HY\

0.5A:.4>-(045——)——

524

例3、一次環(huán)保知識競賽，共有25道題，規(guī)定答對一題得4分，答錯(cuò)一或不答扣一分。

①小明得了85分，他答對了多少題？

②小立在這次競賽中被評為優(yōu)秀(85分或85分以上)，小立可能答對了多少題？她至少答對了多少題？

解：①設(shè)小明答對了x道題，那么答錯(cuò)或不答(25-x)道題。

根據(jù)題意、得4x-(25-x)=85

解這個(gè)方程、得x=22

所以小明答對了22道題。

②設(shè)小立可能答對了x道題，那么答錯(cuò)或不答(25-x)道題。

根據(jù)提意，得4x-(25-x)>=85

解這個(gè)不等式，得x>=22

因?yàn)閤答對題的個(gè)數(shù)，所以取不等式的正整數(shù)解，又只有25道題，因此小立可能答對了22,23,24,25道

題。她至少答對了22道題。

說明：第一小題是列一元一次方程解應(yīng)用題，第二小題是列一元一次不等式解應(yīng)用題，目的是讓學(xué)生認(rèn)識兩者的

區(qū)別與聯(lián)系。

二、出示投影片2：例四、小穎準(zhǔn)備用21元錢買筆和筆記本。已知每支筆3元，每個(gè)