北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊全部教案

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊全部教案

1.你能證明它們嗎（一）.

本章總體設(shè)計介紹

本章是八年級下冊第六章《證明（一）》的接著，教科書首先給出四

條公理，這四條公理與《證明（一）》中給出的兩條公理一起作為這一章

接著對命題進行證明的邏輯基礎(chǔ)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)對圖形的性質(zhì)與

其相互關(guān)系進行了大量的探究，探究的同時也經(jīng)驗過一些簡潔的推理過

程，已經(jīng)具備了確定的推理實力，樹立了初步的推理意識，從而為本章

進一步嚴(yán)格證明三角形有關(guān)定理打下了基礎(chǔ).本章所證明的命題都和等

腰三角形、直角三角形有關(guān)，主要包括：

1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理；

2.直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

3.線段的垂直平分線性質(zhì)和判定定理；

4.角平分線性質(zhì)定理和判定定理。

本章教學(xué)建議

對于已有命題的證明，教學(xué)過程中要留意引導(dǎo)學(xué)生回憶過去的探究、

說理過程，從中獲得嚴(yán)格證明的思路；對于新增命題，教學(xué)過程中要重

視學(xué)生的探究、證明過程，關(guān)注該命題與其他已有命題之間的關(guān)系；對

于整章的命題，留意關(guān)注將這些命題納入一個命題系統(tǒng)，關(guān)注命題之間

的關(guān)系，從而形成對相關(guān)圖形整體的相識。

對于證明的方法，除了留意啟發(fā)和回憶，還應(yīng)留意關(guān)注證明方法的多

樣性，力圖通過學(xué)生的自主探究，獲得多樣的證明方法，并在比較中選

擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

證明過程中留意揭示蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納、類比

等。

作為初中階段幾何證明的最終階段，教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生駕馭綜合法和

分析法證明命題的基本要求，駕馭規(guī)范的證明表述過程，達成課程標(biāo)準(zhǔn)

對證明表述的要求。

1.你能證明它們嗎（一）.

一、學(xué)生學(xué)問狀況分析

在八年級下冊第六章《證明（一）》，學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，

并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習(xí)得了一些基木的證明方法和基本

規(guī)范，積累了確定的證明閱歷；在七年級下，學(xué)生也已經(jīng)探究得到了有

關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題，這些都為證明本節(jié)有關(guān)命題做

了很好的鋪墊。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)將進一步回顧和證明全等三角形的有關(guān)定理，并進一步利用這些

定理、公理證明等腰三角形的有關(guān)定理，由于具備了上面所說的活動閱

歷和認知基礎(chǔ)，為此，本節(jié)可以讓學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上，自主地尋求命

題的證明，為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.學(xué)問目標(biāo)：

理解作為證明基礎(chǔ)的兒條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形

的性質(zhì)定理；

在證明過程中，進一步感受證明過程，駕馭推理證明的基本要求，明

確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性

質(zhì)定理和判定定理；

熟識證明的基本步驟和書寫格式。

2.實力目標(biāo)：

經(jīng)驗“探究一發(fā)覺一猜想一證明”的過程，讓學(xué)生進一步體會證明是

探究活動的自然持續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的實

力；

激勵學(xué)生在溝通探究中發(fā)覺證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平;

3.情感與價值目標(biāo)

啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探究結(jié)論和證明結(jié)論，與合情推理與演絳的相互依

靠和相互補充的辯證關(guān)系；

培育學(xué)生合作溝通的實力，以與獨立思索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

4.教學(xué)重、難點

重點：探究證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，駕馭證明的基本

要求和方法；

難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言

正確表達等。

三、教學(xué)過程分析

學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊試驗用）；

老師課前準(zhǔn)備：制作好的幾何畫板課件.

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回顧舊知導(dǎo)出公理；其

次環(huán)節(jié)：折紙活動探究新知；第三環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過程；第四環(huán)

節(jié)：隨堂練習(xí)鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：回顧舊知導(dǎo)出公理

活動內(nèi)容：提請學(xué)生回憶并整理《證明（一）》中列出的六條公理：

1.兩直線被第三條直線所截,假如同位角相等,則這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；

3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（）；

4.兩角與其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（）；

5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（）；

6.全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等。

在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件：（推論）兩角與其中一

角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（），并要求學(xué)生利用前面所提到的

公理進行證明。

活動目的：經(jīng)過一個暑假，學(xué)生難免有所遺忘，因此，在第一課時,

回顧有關(guān)內(nèi)容，既是對前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個簡潔梳理，也為后續(xù)有關(guān)證

明做了學(xué)問準(zhǔn)備；證明這個推論，可以讓學(xué)生熟識證明的基本要求和步

驟，為后面的其他證明做好準(zhǔn)備。

活動效果與留意事項：由于有了前面的鋪墊，學(xué)生一般都能得到該推

論的證明思路，但由于有了一個暑假的遺忘，可能部分學(xué)生的表述未必

嚴(yán)謹、規(guī)范，教學(xué)中留意提請學(xué)生分析條件和結(jié)論，畫出簡圖，寫出已

知和求證，并規(guī)范地寫出證明過程。具體證明如下:

已知：如圖，ZZD,ZZ.

求證：△名△.

證明：VZZD,ZZE（已知），

又NNN180。，ZZZ1800（三角形內(nèi)角和等于

180°）,

AZ1800-（ZZB）,

Z180°-（ZZE）,

AZZF（等量代換）。

又（己知），

其次環(huán)節(jié)：折紙活動探究新知

活動內(nèi)容：在提問：“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探究

這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質(zhì)嗎？并依據(jù)折紙過

程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)驗這些定理的活

動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學(xué)生先獨自折紙視察、探究

并寫出等腰三片形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進行溝通，相互彌補

活動目的：射臺小4活動過程，獲得閆看題的證明思路，“過進

一步的整理，聲儀感受則是探究的自沏長和發(fā)展，熟識皿的基本

步驟和書寫橘金。\//_/_____

活動謖果與留意事項：旺于有了整庭再平學(xué)生的活云此@1與具缽的

折紙操作，學(xué)生一般都能得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理，當(dāng)然，可能

部分學(xué)生得到的定理并不全面，在學(xué)生小組的溝通中，通過同伴的相互

補充，一般都可以得到全部性質(zhì)定理。當(dāng)然，在教學(xué)過程中，老師應(yīng)留

意小組的巡察，提示學(xué)生思索多種證明思路，思索不同的協(xié)助線之間的

關(guān)系從而得到“三線合一”。

第三環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過程

活動內(nèi)容：1、在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，老師通過分析、提問，和

學(xué)生一起完成以上兩個特性質(zhì)定理的證明，留意最好讓兩至三個學(xué)生板

演證明，其余學(xué)生選擇其一證明.其后，老師通過課件匯總各小組的結(jié)果

以與具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過程。

(1)等腰三角形的兩個底角相等；

(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合

2、提請學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思索等邊三角形

的特殊性質(zhì)，從而得到：等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等

于60°.

活動目的：和學(xué)生一起完成性質(zhì)定理的證明，可以讓學(xué)生自主經(jīng)驗命

題的證明過程；明晰證明過程，意圖給學(xué)生明晰確定的規(guī)范，起到一種

引領(lǐng)作用；活動2,則是前面命題的干脆推論，力圖讓學(xué)生形成拓廣命題

的意識，同時也是一個很好的鞏固練習(xí)。

活動效果:學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫出對于“等

邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°”的證明過程：

己知：如圖，△中，.

求證：ZZZ600.

證明：在△中，:，???/NC(等邊對等角).

同理：NNA,???NNNC(等量代換).

又???NNNC=180。(三角形內(nèi)角和定理)，???NNNC=60。.

第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)鞏固新知

活動內(nèi)容：學(xué)生自主完成P4第2題：如圖(圖略)，在△中是上的一

點，且-L,，

(1)求證：△是等腰三角形；

(2)求/的度數(shù)。

活動目的：鞏固全等三角形判定公理的應(yīng)用，復(fù)習(xí)等腰三角形“等邊

對等角”的用法。

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以與其中的思想方法等。

活動目的：形成與時總結(jié)語反思的意識與習(xí)慣，提高學(xué)生實力。

活動效果與留意事項：老師留意對學(xué)生的感想進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并在

學(xué)生溝通的基礎(chǔ)上，明晰部分收獲供學(xué)生共享，如：

1、具體有關(guān)性質(zhì)定理；

2、通過折紙活動獲得三個定理，均賜予了嚴(yán)格的證明，為今后解決

有關(guān)等腰三角形的問題供應(yīng)了豐富的理論依據(jù).

3、體會了證明一個命題的嚴(yán)格的要求，體會了證明的必要性.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

P5習(xí)題1,2.

四、教學(xué)反思

本節(jié)關(guān)注學(xué)生已有活動閱歷的回顧過程，關(guān)注了“探究一發(fā)覺一猜

想一證明”的活動過程，關(guān)注了學(xué)生自主探究過程，學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性

發(fā)揮較好，應(yīng)當(dāng)說取得了較好的教學(xué)效果。當(dāng)然，在具體活動中，如何

在學(xué)生活動與規(guī)范表達之間形成一個恰當(dāng)?shù)钠胶?，具體各部分時間比例

的安排可能還須要依據(jù)班級學(xué)生具體狀況進行適度的調(diào)整。

第一章證明（二）

1.你能證明它們嗎（二）.

一、學(xué)生學(xué)問狀況分析

在八年級下冊第六章《證明（一）》，學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，

并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本

規(guī)范，積累了確定的證明閱歷；在七年級下，學(xué)生也已經(jīng)探究得到了有

關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題；而前一課時，學(xué)生剛剛證明白

等腰三角形的性質(zhì)，這為本課時拓展等腰三角形的性質(zhì)、探討等要三角

形的判定定理都做了很好的鋪墊。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)將利用前一課時所證明的等腰三角形的性質(zhì)定理,進一步探討等

腰三角形的一些特殊性質(zhì)，以與等腰三角形的判定定理，前者是性質(zhì)定

理的干脆運用與拓廣，后者則是前者的逆命題，可以發(fā)展學(xué)生的逆向思

維實力，同時后者的證明過程中，須要借助反證法，因而反證法的學(xué)習(xí)

與運用也成為本課時的教學(xué)任務(wù)之一，為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如

下：

1.學(xué)問目標(biāo)：

①探究一一發(fā)覺一一猜想一一證明等腰三角形中相等的線段，證明等

腰三角形的判定定理，進一步熟識證明的基本步驟和書寫格式，體會證

明的必要性；

②初步了解反記法的含義，并能利用反證法證明簡潔的命題；

2.實力目標(biāo)：

①經(jīng)驗“探究一發(fā)覺一猜想一證明”的過程，讓學(xué)生進一步體會證明

是探究活動的自然持續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的

實力；

②在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問題的實力，拓展命題的實力，從

而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)實力和思維實力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性；

③在圖形的視察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對稱性，發(fā)展學(xué)生的幾

何直覺；

④引導(dǎo)學(xué)生體會蘊含在問題解決過程中的思想方法，如歸納、類比、

反證法等。

3.情感與價值觀要求

①激勵學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的新穎心和求知欲.

②體驗數(shù)學(xué)活動中的探究與創(chuàng)建，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性.

4.教學(xué)重、難點

重點：經(jīng)驗“探究一一發(fā)覺一一猜想一一證明”的過程，能夠用綜合

法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論.結(jié)合實例體會反證法的含

義.

難點：①由一般結(jié)論歸納出特殊結(jié)論.

②探求證明思路，特殊是反證法的思路含義.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了八個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課；其次

環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)；第四環(huán)節(jié)：逆向思

索，導(dǎo)出反證法；第五環(huán)節(jié)：適時提問導(dǎo)出反證法；第六環(huán)節(jié)：與時

鞏固隨堂練習(xí)；第七環(huán)節(jié)：.探討收獲課時小結(jié)；第八環(huán)節(jié)：布置作

業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課

活動內(nèi)容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)覺

其中一些相等的線段嗎你能證明你的結(jié)論嗎

活動目的：回顧性質(zhì)，既為后續(xù)探討判定供應(yīng)了基礎(chǔ)；同時，干脆提

出新的問題，過渡自然，引入本課探討內(nèi)容，而新的問題是原有性質(zhì)的

一個自然拓廣，有助于提高學(xué)生提出問題的實力。

其次環(huán)節(jié)：自主探究

活動內(nèi)容：在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、

高等），視察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明。

活動目的：讓學(xué)生再次經(jīng)驗“探究一一發(fā)覺一一猜想一一證明”的過

程，進一步體會證明的必要性，并進行證明，從中進一步體會證明過程,

感受證明方法的多樣性。

活動效果與留意事項：活動中，老師應(yīng)留意賜予適度的引導(dǎo)，如可以

漸次提出問題：

你可能得到哪些相等的線段？

你如何驗證你的揣測？

你能證明你的揣測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程：

還可以有哪些證明方法？

通過學(xué)生的自主探究和同伴的溝通，學(xué)生一般都能在直觀揣測、測量

驗證的基礎(chǔ)上探究出：

等腰三角形兩個底角的平分線相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中線相等.

并對這些命題賜予多樣的證明。

如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學(xué)生得到了下面的證明

方法：

已知：如圖，在△中，，、是△的角平分線.

求證：.

證法LV,

???//（等邊對等角）.

VZ1=Z,Z2=Z,

AZ1=Z2.

在△和△中，

ZZ,,Z1=Z2.

???（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

證法2：證明：???，

又???N3=N4.

在△和△中，

Z3=Z4,,ZZA.

???（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

在證明過程中，學(xué)生思路一般還較為清晰，但終歸嚴(yán)格證明表述閱歷

尚顯不足，因此，教學(xué)中老師應(yīng)留意對證明規(guī)范提出確定的要求，因此,

留意請學(xué)生板書其中部分證明過程，借助課件展示部分證明過程；可能

部分學(xué)生還有一些困難，留意對有困難的學(xué)生賜予幫助和指導(dǎo)。

第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)

活動內(nèi)容：提請學(xué)生思索，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外,

還可以有哪些線段相等？并在學(xué)生思索的基礎(chǔ)上，探討課本“議一議”：

在課本圖1一4的等腰三角形中，

（1）假如NN,NN呢由此，你能得到一個什么結(jié)論

（2）假如，，則嗎假如，呢由此你得到什么結(jié)論

活動目的：提高學(xué)生變式實力、問題拓廣實力，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的自主

性。

活動留意事項與效果：教學(xué)中應(yīng)留意對學(xué)生的引導(dǎo)，因為學(xué)生從前這

樣的閱歷比較少，可能學(xué)生一時不知如何探討問題，老師可以引導(dǎo)學(xué)生

思索：把底角一等份的線段相等.假如是三等份、四等份……結(jié)果如何

呢從而引出“議一議二

由于課堂時間有限，假如學(xué)生全部解決上述問題，時間不就，可以在

引導(dǎo)學(xué)生提出上述這些問題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生證明其中部分問題，而將

其余問題作為課外作業(yè)，延長到課外；當(dāng)然，也可以對不同的學(xué)生提出

不同的要求，如一般學(xué)生僅僅證明其中部分問題，而要求部分學(xué)優(yōu)生解

決全部的問題，甚至要求這部分學(xué)優(yōu)生思索“還可以提出哪些類似問題,

你是如何想到這些問題的二

在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上，老師還應(yīng)留意揭示蘊含其中的思想方法。

下面是學(xué)生的課堂表現(xiàn)：

［生］在等腰三隹形中，假如NN,則.這和證明等腰三角形兩底角的

角平分線相等類似.證明如下：

???//（等邊對等角）.

又〈NN,???//,

在△和△中，

，（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

［生］假如在△中，，ZZ,ZZZ,則也是成立的.因為，所以NN,

利用等量代換便可得到NN,△與△全等的條件就能滿意，也就能得

到.由此我們可以發(fā)覺：

在△中，，ZZZ,ZZ,就確定有成立.

［生］也可以更干脆地說：在△中一ZZ,則.

［師］這兩位同學(xué)都由特殊結(jié)論猜想出了一般結(jié)論.請同學(xué)們把一般

結(jié)論的證明過程完整地書寫出來.（老師可巡察指導(dǎo)）下面我們來探討第

（2）問，請小組代表發(fā)言.

［生］在△中，，假如，，貝打假如，，則.由此我們得到了一個更一般

的結(jié)論：在△中，一，則.證明如下：

又,：，,

在△和△中，

,ZZA,,

.??（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

［生］一般結(jié)論也可更簡潔地敘述為：在△中，假如，，則.

［師］這里的兩個問題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們探

討數(shù)學(xué)問題常用的一種思想方法，它會使我們得到意想不到的效果.例

如通過對這兩個問題的探討，我們可以發(fā)覺等腰三角形中，相等的線段

有多數(shù)組.這和等腰三角形是軸對稱圖形這特性質(zhì)是密不行分的.

第四環(huán)節(jié)：逆向思索，導(dǎo)出反證法

活動過程與效果：

老師：上面，我們變更問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是探討

問題的一種常用方法，除此之外，我們江可以“反過來”思索問題，這

也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑.例如“等邊對等角”，反過來成立嗎也就

是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎

［生］如圖，在△中，ZZC,要想證明，只要構(gòu)造兩個全等的A

三角形，使與成為對應(yīng)邊就可以了.A

［師］你是如何想到的/\

［生］由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作的中線，或作A的/\

平分線，或作上的高，都可以把△分成兩個全等的三角形./\

［師］很好.同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分BC

組探討.

［生］我們組發(fā)覺，假如作的中線，雖然把△分成了兩個三角形，但無

法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)?因為我們得到的條件是兩個三

角形對應(yīng)兩邊與其一邊的對角分別相等，是不能夠推斷兩個三角形全等

的.后兩種方法是可行的.

［師］則就請同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出

來.（老師可讓兩個同學(xué)在黑板上演示，并對推理證明過程講評）

（?證明略）

［師］我們用“反過來”思索問題，獲得并證明白一個特別重要的定理

一一等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這

確定理可以簡潔敘述為：等角對等邊.我們不僅發(fā)覺了幾何圖形的對稱

美，也發(fā)覺了數(shù)學(xué)語言的對稱美.

第五環(huán)節(jié)：適時提問導(dǎo)出反證法

我們類比歸納獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過來”思索問題也獲得了一個

數(shù)學(xué)結(jié)論.假如否定命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論嗎我們一

起來“想一想”：

小明說，在一個三角形中，假如兩個角不相等，則這兩個角所對的邊

也不相等.你認為這個結(jié)論成立嗎假如成立，你能證明它嗎

有學(xué)生提出：“我認為這個結(jié)論是成立的.因為我畫了幾個三角形，

視察并測量發(fā)覺，假如兩個角不相等，它們所對的邊也不相等.但要像

證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結(jié)論都是否定

的

的確如此.像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有

沒有別的證明思路和方法呢1

我們來看一位同學(xué)的想法：/\

如圖，在△中，已知NBWNC,此時與要么相等，要么/\

不相等./\

假設(shè)，則依據(jù)“等邊對等角”定理可得/NB,但已知/------------Y

條件是NBWNC.“NNB”與已知條件“NBWNC”相沖

突，因此W

你能理解他的推理過程嗎

再例如，我們要證明△中不行能有兩個直角，也可以采納這位同學(xué)

的證法，假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)N90°,Z90°,可得NN180。，

但△中NNN180。，“NN180。”與“NNN180。”相沖突，因此

△中不行能有兩個直角.

引導(dǎo)學(xué)生思索：上一道面的證法有什么共同的特點呢引出反證法。

都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與己知或公理或已

證明過的定理相沖突，從而證明命題的結(jié)論確定成立.這也是證明命題

的一種方法，我們把它叫做反證法.

第六環(huán)節(jié)：與時鞏固隨堂練習(xí)

已知：如圖，N是△的外角，〃且N1=N2.

求證：.

證明：???〃，/

???（兩直線平行，同位角相等）,

N1=NBA/1―

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）./Y一

又AZZC./\

???（等角對等邊）./\

第七環(huán)節(jié)：.探討收獲課時小結(jié)L______A

本節(jié)課我們通過視察探究、發(fā)覺并證明白等腰三角塔中相等幽段，

并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，接著用“反過來”思索問題的方法獲得

并證明白等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最終結(jié)合實例了解了

反證法的含義.

第八環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

課本P9習(xí)題1.2第2、3題

四、教學(xué)反思

本節(jié)課關(guān)注了問題的變式與拓廣，事實上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)驗了提出問題、

解決問題的過程，因而較好地提高了學(xué)生的探討實力、自主學(xué)習(xí)實力，

但也應(yīng)留意依據(jù)學(xué)生的狀況進行適度的調(diào)整，因為學(xué)生從前這樣的閱歷

較少，因而對一些班級學(xué)生而言，完成全部這些教學(xué)任務(wù)，可能時間偏

緊，為此，教學(xué)中可以適當(dāng)削減一些內(nèi)容，將部分內(nèi)容延長到課外，當(dāng)

然，也可以設(shè)計為兩個課時，將探討過程進一步綻開。

第一章證明（二）

1.你能證明它們嗎（三）.

一、學(xué)生學(xué)問狀況分析

在前兩節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)驗了獨立探究發(fā)覺定理的過程，并能基本規(guī)

范地證明相關(guān)命題，這些都為本節(jié)課進一步探究發(fā)覺相關(guān)定理供應(yīng)了較

好的學(xué)問基礎(chǔ)和活動閱歷基礎(chǔ)。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課，學(xué)生將探究等邊三角形判定定理和含30°角的直角三角形

的性質(zhì)定理，應(yīng)當(dāng)說，這兩個定理的證明和探究相對而言，并不困難，

更多的是前面定理的干脆運用，因此，本節(jié)課可以更多地讓學(xué)生自主探

究。但第一個定理證明中，須要分類探討，因此留意揭示其中的分類思

想；第2個定理結(jié)論比較特殊，干脆從定理條件動身，學(xué)生一般難能得

到這個結(jié)論，因此，教科書中設(shè)計了一個學(xué)生活動，在活動的基礎(chǔ)上“無

意”中發(fā)覺了其特殊的結(jié)論，這事實上也是一種數(shù)學(xué)發(fā)覺的方法，因此

也應(yīng)留意讓學(xué)生體會。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)問目標(biāo)：

理解等邊三角形的判別條件與其證明，理解含有30°角的直角三角形

性質(zhì)與其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡潔的問題。

2.實力目標(biāo)：

①經(jīng)驗運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步

的符號感，發(fā)展抽象思維.

②經(jīng)驗實際操作，探究含有30°角的直角三角形性質(zhì)與其推理證明過

程，發(fā)展合情推理實力和初步的演繹推理的實力；

③在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類探討、逆向思維的思

想，提高學(xué)生的實力。

3.情感與價值觀要求

①主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有新穎心和求知欲.

②在數(shù)學(xué)活動中獲得勝利的體驗，熬煉克服困難的意志，建立自信念.

教學(xué)重點

①等邊三角形判定定理的發(fā)覺與證明.

②含30。角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)覺與證明.

4.教學(xué)難點

①含30。角的直角三角形性質(zhì)定理的探究與證明.

②引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思索問題.

三、教學(xué)過程分析

學(xué)具準(zhǔn)備：兩個帶30度角的三角板。

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：其次環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：實際

操作提出問題；第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：暢談收獲

課時小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課

活動內(nèi)容：老師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，干

脆提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？

又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。

活動目的：開宗明義，引入新課，同時回顧，也為后續(xù)探究供應(yīng)了鋪

墊。

活動效果：在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；

對于等邊三角形的判別，學(xué)生可能會出現(xiàn)多種狀況，如干脆從等邊三角

形性質(zhì)動身，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分步進行，現(xiàn)確定它是等腰三角形,

再增補條件，確定它是等邊三角形。這是老師可以適時提出問題：假如

己知一個三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？

下面是實際教學(xué)中的部分師生活動實況：

［生］等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，

等腰三角形就成了等邊三角形.

［生］等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且分別都等于60°.我認為等

腰三角形的三個內(nèi)角都等于60°,等腰三角形就是等邊三角形了.

（此時，部分同學(xué)同意此生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引

起激烈地爭辯.老師可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法.）

［生］我不同意這位同學(xué)的看法.因為任何一個三角形滿意這個條件都

是等邊三角形.依據(jù)等角對等邊，三個內(nèi)角都是60°,所以它們所對的

邊確定相等.但這一問題中“已知是等腰三角形，滿意什么條件時便是

等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，奢侈！

［師］給三個角都是60°,這個條件的確有點奢侈，則給什么條件不

奢侈呢下面同學(xué)們可在小組內(nèi)溝通自己的看法.

（2）你認為有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形嗎你能證明

你的結(jié)論嗎把你的證明思路與同伴溝通.

（老師應(yīng)給學(xué)生自主探究、思索的時間）

其次環(huán)節(jié)：自主探究

活動內(nèi)容：學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并溝通

匯報各自的結(jié)論，老師適時要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊

三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：

性質(zhì)判定的條件

等腰三角等邊對等角等角對等邊

形（含等邊“三線合一”即等有一角是60°

三角形）腰三角形頂角平分

線，底邊上的中線、

高相互重合

等邊三角形三個角三個角都相等的

都相等，且每個角三角形是等邊三

都是60°角形

活動目的：經(jīng)驗定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時提高學(xué)生的

自主探究實力。

活動留意事項與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出：

頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

底角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

三個角都相等的三角形是等邊三角形；

三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

對于前兩個定理的形式相近，老師可以進一步提出要求：能否用更簡

捷的語言描述這個結(jié)論嗎從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個角是60。的等腰三

角形是等邊三角形。

在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，老師留意引導(dǎo)學(xué)生說明道理，給出證

明的思路，選擇部分命題，給與嚴(yán)格的證明，由于“有一個角是60。的

等腰三角形是等邊三角形”的證明須要分類探討，因此，可以以此問題

作為對學(xué)生證明的要求，并與同伴溝通證明思路.并要求學(xué)生思索證明

中的留意事項，從而點明其中的分類思想，提請學(xué)生留意：思索問題要

全面、周到.

第三環(huán)節(jié)：實際操作提出問題

活動內(nèi)容：老師干脆提出問題：我們還學(xué)習(xí)過直角三角形，今日我們

探討一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做

一做：

用含30。角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形能拼出一個

等邊三角形嗎

在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段

存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由.

活動目的：讓學(xué)生經(jīng)

驗拼擺三角尺的活動，發(fā)

覺結(jié)論：在直角三角形中，

假如一個銳角等于30。，

則它所對的直角邊等于斜

邊的一半.

活動留意事項與效

果：學(xué)生一般可以得出下

面兩種圖形：其中第1個

圖形是等邊三角形，對于該圖學(xué)生也可以得出,從而得出：在直角三角

形中，假如一個銳角等于30°,則它所對的直角邊等于斜邊的一半.

留意，教學(xué)過程中，老師應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)生說明為什么所得到的三角形

是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：

方法1：因為△物，所以.又因為△中，Z6O0,所以N60°,有一

個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

方法2：圖（1）中，ZZ60,ZZZ3O0+30°=60。,所以//N60°,

即△是等邊三角形.

假如學(xué)生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，老師可以在圖

上標(biāo)出各個字母，并要求學(xué)生思索其中哪些線段干脆存在倍數(shù)關(guān)系，并

在將三角板分開，思索從中可以得到什么結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論

的基礎(chǔ)上，再證明該定理。

定理：在直角三角形中，假如一個銳角等于30°,則它所對的直角

邊等于斜邊的一半.

已知：如圖，在△中，Z90°,Z30°.

求證：.

分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長至D,使，連接.

證明：在△中，Z90°,Z30°Z60°.

延長至D,使，連接（如圖所示）.

VZ90°AZ90°

???（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.A

???△是等邊三隹形（有一個角是60。的等腰三角形

是等邊三角形）.

第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練鞏固新知

活動1：十脆提請學(xué)生思索剛才命題的逆命題：在

BD

直角三角形中，假如一條直角邊等于斜邊的一半，則這

條直角邊所對的銳角等于30°嗎假如是，請你證明它.

在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：

已知：如圖，在△中，Z90°

求證：Z30°

證明：延長至D,使，連接.

VZ90°,AZ90°.

又???,

A

又.

即△是等邊三隹形.

AZ600.在△中，Z30°.

留意事項：該命題的證明中協(xié)助線較

困難，但恰有前面原命題探究活動過程

D

的鋪墊，可以給學(xué)生一些啟示，因此，

教學(xué)中，老師可以引導(dǎo)學(xué)生思索：從前

面定理證明的協(xié)助線的作法中能否得到啟示？

活動2：呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運用所學(xué)的新定理解答

例題。

［例題］等腰三集形的底角為15°,腰長為2a,求腰上的高的長.

分析：視察圖形可以發(fā)覺在△中，

2a而N是△的一個外角，而

ZX15°=30。，依據(jù)在直角三角形中，

30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可

求出.

解：VZZ150

AZZZ150+15°=30°

AX2a=a（在直角三角形中，假如一個銳角等于30°,則它所對的

直角邊等于斜邊的一半）.

活動目的：在例題求解中鞏固新知。

第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時小結(jié)

讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進行小結(jié)，留意總結(jié)具體的學(xué)問、結(jié)論，以與解決

問題的方法和蘊含其中的思想，如分類探討思想、逆向思維等。

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

P12習(xí)題1.31,2,3o

四、教學(xué)反思

本節(jié)課，難點在于探究兩個定理：“在三角形中，假如一條直角邊等

于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30。”和“直角三角形中，

30°所對的直角邊等于斜邊的一半。由于設(shè)計了三角板操作的實踐活

動，有效地突破了難點，因而，課堂學(xué)生思維特別敏捷，方法多樣，取

得較好的效果。

第一章證明(二)

2.直角三角形(一)

一、學(xué)生學(xué)問狀況分析

直角三角形全等的條件和勾股定理與其逆定理在前面己由學(xué)生通過

一些直觀的方法進行了探究，所以學(xué)生對這些結(jié)論已經(jīng)有所了解，對于

它們，教科書努力將證明的思路呈現(xiàn)出來.例如以前我們曾用割補法驗

證過勾股定理，而此處對勾股定理的證明應(yīng)以我們認定的幾條公理和由

此推出的定理為依據(jù)進行，雖然證明的方法有多種，但對學(xué)生來說，這

些都有難度，因此教科書將其兩種證明方法放在“讀一讀''中，供有

愛好的學(xué)生閱讀，不要求全部學(xué)生駕馭，其逆定理的證明方法對學(xué)生來

說也是有確定難度的.

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.學(xué)問目標(biāo)：

(1)經(jīng)驗和了解勾股定理與其逆定理的證明方法，進一步理解證明

的必要性.

(2)結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道

原命題成立，其逆命題不確定成立.

2.實力目標(biāo)：

(1)進一步經(jīng)驗用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，

建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維.

(2)進一步駕馭推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的實力.

3.情感與價值觀要求

①在數(shù)學(xué)活動中，獲得勝利的體驗，熬煉克服困難的意志，建立自信

念.

②主動參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)命題的獲得產(chǎn)生新穎心和求知欲.

4.教學(xué)重點、難點

重點

①了解勾股定理與其逆定理的證明方法.

②結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原

命題成立，其逆命題不確定成立.

難點

①勾股定理與其逆定理的證明方法.

②對不是“假如……則……”形式的逆命題的敘述.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；其次

環(huán)節(jié)：講解并描述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)：想一想；第五

環(huán)節(jié)：.隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

通過問題1,讓學(xué)生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。

［問題1］一個直角三角形房梁如圖所示，其中，，Z30°,10__L,

BCi,垂足分別是Bi、C.,則的長是多少呢

解：在△中，Z30°,10,

.*.==X10=5.

AZZ^OO0)

又???//8=90°

??.Zj=NA=30。\

在△］中，i==X5==2.5.上二________\

1-----「10—2.5—7.5().’

???在中,ZA=30°

AB.Ci=i=X7.5=3.75().

解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30。角的直角三角形

的性質(zhì)”.由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢”從而引

入勾股定理與其證明。

教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.假如利用公

理與由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎

請同學(xué)們打開課本P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出

的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方法.

其次環(huán)節(jié)：講解并描述新課

閱讀完畢后，針對“讀一讀，，中運用的兩種證明方法，著重探討第一

種，其次種方法請有愛好的同學(xué)課后閱讀.

1.勾股定理與其逆定理的證明.

己知：如圖，在△中，ZC=90°,=a,=b,=c.

求證：a22=c2.

證明：延長至D,使=6作/=/A,并取=c,連接、（如圖），則

△且△.

???N=90°,=a（全等三角形的對應(yīng)角相等，對1

???四邊形是直隹梯形.

???S梯形=（）（）=（產(chǎn)

AZ=180°-（Z+Z）=180°-90°=90°,

/.SA=c2

VS梯形=5△△△，

A02=c2++,

E

即a?++b2=c2+,

.?.a22_—c2

兩千多年來，人們對勾股定理進行了大量的探

討，給出了多達數(shù)百種的證明方法.假如學(xué)生有愛D

好，激勵他們查閱有關(guān)資料，了解勾股定理的其他證明方法.

老師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)

論，并強調(diào).具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方.

反過來，假如在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時,

我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論.你能證

明此結(jié)論嗎

這對同學(xué)們來說也是具有確定難度的.于是師生共同來完成.

己知：如圖：在△中，22=2

求證：△是直髡三角形.

分析：要從邊的關(guān)系，推出NA=90。是不簡潔的，

假如能借助于△與一個直角三角形全等，而得到NA

與對應(yīng)角（構(gòu)造的三角形的直角）相等，可證.

證明：作4A'B'C’,使NA'=90°,A'B'=,

A'C'、（如圖）,

則A，B'、+A'C'-（勾股定理）.

V2+2=2,A'R'=,A'

.?.2=B，c，2

???=B'C'

:?△絲B'C’（）

???NA=NA'=90°（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

因此，△是直隹三角形.

老師用多媒體顯示定理內(nèi)容：

定理：假如三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是

直角三角形.

2.互逆命題和互逆定理.

視察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系在前面的學(xué)

習(xí)中還有類似的命題嗎

通過視察，學(xué)生會發(fā)覺：

上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是其次個

定理的結(jié)論，結(jié)論是其次個定理的條件.

這樣的狀況，在前面也曾遇到過.例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，

交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.又如“在直角

三角形中，假如一個銳角等于3(r,則它所對的直角邊就等于斜邊的一

半”.交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，假如一條直

角邊等于斜邊的一當(dāng)，則這條直角邊所對的銳角等于30。

第三環(huán)節(jié)：議一議：

活動內(nèi)容：視察下面三組命題：學(xué)生以分組探討形式進行，最終在老

師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題的區(qū)分與聯(lián)系。

活動目的：讓學(xué)生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)分與聯(lián)系，

要能夠清晰地分別出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“假

如……；則……”的形式，以與能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題。

活動效果與留意事項：活動中，老師應(yīng)留意賜予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若

出現(xiàn)語言上不嚴(yán)謹時，要先讓這個疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié)。

活動時可以先讓學(xué)生視察下面三組命題：

假如兩個角是對頂角，則它們相等.

假如兩個角相等，則它們是對頂角.

假如小明患了肺炎，則他確定發(fā)燒.

假如小明發(fā)燒，則他確定患了肺炎.

三角形中相等的邊所對的角相等.

三角形中相等的角所對的邊相等.

上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎與同伴溝通.

不難發(fā)覺，每組其次個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，其次個命題

的結(jié)論是第一個命題的條件.

在兩個命題中，假如一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和

條件，則這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆

命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題.

再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，假如稱每組

的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題,請同學(xué)們推斷i每組原命

題的真假.逆命題呢

在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在其次組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第三組中，原命題和逆命題都是真命題.

由此我們可以發(fā)覺：原命題是真命題，而逆命題不確定是真命題.

第四環(huán)節(jié)：想一想

要寫出原命題的逆命題，需先弄清晰原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)

論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題.

請學(xué)生寫出命題“假如兩個有理數(shù)相等，則它們的平方相等”的逆命

題嗎它們都是真命題嗎？

從而引導(dǎo)學(xué)生思索：原命題是真命題嗎逆命題確定是真命題嗎并通

過具體的實例說明。

假如有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，則我們稱它們

為互逆定理.

其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理.

能舉例說出我們已學(xué)過的互逆定理

如我們剛證過的勾股定理與其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”

與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.“全等三角形對應(yīng)邊相等”和“三邊對

應(yīng)相等的三角形全等"、”等邊對等角”和“等角對等邊”等.

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)

說出下列命題的逆命題，并推斷每對命題的真假；

(1)四邊形是多邊形；

(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補；

(3)假如=0,則a=0,b=0

［分析］互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來應(yīng)不會有什么困

難，尤其是對以“假如……則……”形式給出的命題，寫出其逆命題較

為簡潔，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有確定

困難.可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題.

解：(1)多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.原命題與逆命題同為正.

(3)假如a=0,6=0,則=0.原命題是假命題，而逆命題是真命題.

第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)

這節(jié)課我們了解了勾股定理與逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活

中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立,

其逆命題不確定成立，駕馭了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理實力.

第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

習(xí)題1.4第1、3題

四、教學(xué)反思

學(xué)生對于命題和逆命題中題設(shè)和結(jié)論分析和把握不是太準(zhǔn)，部分學(xué)

生尤其是在語言表述方面仍舊有些欠缺，明顯，作為老師要關(guān)注到學(xué)生

的個體差異，對于學(xué)習(xí)本節(jié)學(xué)問有困難的學(xué)生要賜予與時的幫助和指導(dǎo)。

使每一個學(xué)生都能經(jīng)驗證明的過程，為他們供應(yīng)充分地找尋證明思路的

時間、空間和方法，體會證明的必要性.另外學(xué)生對于命題成立的證明

方法，熬煉他們的演繹推理實力離目標(biāo)還是有確定的差距。所以作為老

師確定要重視這個事實，不能急躁，耍本著以學(xué)生為本的目的，留意學(xué)

生個體差異，對學(xué)習(xí)證明有困難的學(xué)生賜予幫助和指導(dǎo).

第一章證明（二）

2.直角三角形（二）

一、學(xué)生學(xué)問狀況分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形全等判定定理之前已經(jīng)接觸過，只是原

來僅屬于了解階段。現(xiàn)在是要重新相識這個定理，并且要駕馭這個定理

的證明以與利用這個定理解決相關(guān)問題有一個較高的要求。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.學(xué)問目標(biāo)：

①能夠證明直隹三角形全等的“"的判定定理，進一步理解證明的必

要性

②利用‘定理解決實際問題

2.實力目標(biāo)：

①進一步駕馭推理證明的方法，發(fā)展演繹推理實力

②初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題，理解問題，體驗解決問題的多樣

性，發(fā)展實踐實力和創(chuàng)新精神.

3.情感與價值觀要求

①主動參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有新穎心

②形成實事求是的看法以與進行質(zhì)疑和獨立思索的習(xí)慣

4.教學(xué)重點與難點

定理的推導(dǎo)與應(yīng)用

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提問質(zhì)疑；其次環(huán)節(jié)：引入

新課；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：.課時小結(jié)；

第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：提問質(zhì)疑

我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂

角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。

則我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對等角”.

要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過程如下：

已知：在△中，.

求證：ZZC.

證明：過A作，，垂足為C,

AZZ9O0

AZZC(全等三角形的對應(yīng)角相等)

在實際的教學(xué)過程中，有學(xué)生對上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點

在于“在證明△會△時、用了“兩邊與其中一邊的對角對相等的兩個三

角形全等”.而我們在前面學(xué)習(xí)全等的時候知道，兩個三角形，假如有

兩邊與其一邊的對角相等，這兩個三角形是不確定全等的.可以畫圖說

明.(如圖所示在和△中，，NNB,,但△與△不全等)”.

也有學(xué)生認同上述的證明。

老師順?biāo)浦?，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的

邊即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等."，從而引入新

課。

其次環(huán)節(jié)：引入新課

1.””定理.由師生共析完成

已知：在△和AA'B'Cf中，NNC'=90°,，B，，，。.

求證：B'C'

證明：在△中，2—2(勾股定理).A，

又??,在△A'B'C'中，A'C''C''B'2—B'C'2A/

(勾股定理).//

，B「C-CL//

老師用多媒體演示：/「/「

定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直BCCf

角三角形全等.

這確定理可以簡潔地用“斜邊、直角邊”或表示.

從而確定了第一位同學(xué)通過作底邊的高證明兩

個三角形全等，從而得到“等邊對等角”的證法是正/

確的.

練習(xí)活動：利用投影打出題目推斷對錯，讓學(xué)生

說明理由。/

活動目的：讓學(xué)生辨析一個命題的真假不是靠感---------'c

覺而是依靠于原有的定理或公理。要經(jīng)過很好的理性

思索之后才能推斷對錯。

活動過程如下：

推斷下列命題的真假，并說明理由：

(1)兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

(2)斜邊與一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

(3)兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形

全等.

對于（1）、（2）、（3）一般可順當(dāng)通過，這里老師將講解的重心放在

了問題（4）,學(xué)生感覺是真命題，一時有無法干脆利用已知的定理支持,

老師引導(dǎo)學(xué)生證明.

已知：R△和4A'B'C,NNC'=90。，'C',、B'D'分別是、A'C'

邊上的中線且一B'D'（如圖）.

求證：,

證明：在△和△B'D'C'中，Aq

???’D''C',//

（定理）./D/L

又?.,2,A'C_2C'D???'C'./1//1

???在△和AA'B'C'中，BCB'C'

???'C',NNC'=90°,'C',

???△?△A'B'C0.

活動效果與留意事項:通過上述師生共同活動，學(xué)生板書推理過程之

后可發(fā)動學(xué)生去糾錯，老師最終再總結(jié)。這樣的評價活動的效果估計

應(yīng)當(dāng)是更好一些。

第三環(huán)節(jié)：做一做

問題你能用三角尺平分一個已知角嗎請同學(xué)們用手中的三角尺操

作完成，并在小組內(nèi)溝通，用自己的語言清晰表達自己的想法.

學(xué)生完成的實況如下：

［生］用三角尺可以作已知角的平分線：如圖，在已知/的兩邊上分別

取點M,N,使，再過點M作的垂線，過點N作的垂線，兩垂線交于點P,

則射線就是么的平分線.

［師］同學(xué)們表現(xiàn)都很棒.你能說明這樣做的理由嗎也就是說，你能證

明就是N平分線嗎

［生］可以.已知：如上圖，由作圖步驟可知，上，上，M、N分別為

垂足.

求證：ZZ.

證明：±,±,

AZZ90°.

在△和△中,

???△/△（定理）.

NN（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

第四環(huán)節(jié)：議一議

如圖，已知N/90°,要使△之，還須要什么

條件把它們分別寫出來.

這是一個開放性問題，答案不唯一，須要我們敏捷地運用公理和已學(xué)

過的定理，視察圖形，主動思索，并在獨立思索的基礎(chǔ)上，通過同學(xué)之

間的溝通，獲得各種不同的答案.

（老師確定要供應(yīng)時間和空間，讓同學(xué)們細致思索，勇于向困難提出

挑戰(zhàn)）

學(xué)生完成的實況如下：

［生］視察圖形不難發(fā)覺.在△和△中，除么NN900外，它們有一條

公共邊，依據(jù)直角三角形全等的判定可知添加的條件可以是直角三角形

的銳角，也可以是直角三角形中的直角邊.從添加角來說，可以添加/

/或NN；從添加邊來說，可以是，也可以是.

［生］還可以將、的交點設(shè)為0,若，則△之△.

［師］第一位同學(xué)的想法思路清晰明白，其次位同學(xué)敢打破常規(guī)思

路.獨辟蹊徑，并且很有見地.請同學(xué)們思索，其次位同學(xué)添加的條件

可以嗎若可以，請同學(xué)們推導(dǎo)證明；若不行以，說明理由.

［生］我認為可以，我是這樣推導(dǎo)出來的.

己知：如上圖，、交于點0,且.ZZ900,

求證：△且△.

證明：在△和△中

?二，NN90。

△棄頂角相等），

'（定理）.

［生］我還有一種方法，假如把剛才添加的條件“”4B

改寫成也可以使△名△.

［師］請同學(xué)們思索這樣做可以嗎

［生］我認為可以.推導(dǎo)過程如下：

己知：如上圖，ZZ900

求證：△且△.

證明：在△和△中

VZZ900,,NN（對頂角相等）,

???（全等三角形對應(yīng)邊相等）

在△和△中，

，△二（定理）.

［生］我又有一種想法，若添加NN”，可以得出△絲△嗎

［生］我認為不行以，因為添“NN”，則在△和△中，有三個內(nèi)角對

應(yīng)相等，不能證明△之△,也就不能獲得△和△全等的條件.

［師］同學(xué)們分析得很透徹，由此我們得到了六種不同的答案.例

如.⑴；（2）；（3）ZZ=Z；⑷NN；（5）；（6）,等.

下面我們再來看一例題.

［例題］如圖,在△^△A'B'C'中，，C'D'分別分別是高,并且=A'C',

，D,.NNA'C'B'.

求證：△?△A'B'C'.

分析：要證△也AA'B'C',由已知中XX

找到條件：一組邊‘C',一組角/\\

NNA'C'B'.假如尋求NNA',就可用證/